1.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Example of Congruency in Triangles),त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9):

Imp Example of Congruency in Triangles

त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles) के इस आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles):

Example:1.आकृति में AE=EC और DE=BE तो बताइए
(i)क्या $\triangle AED$ और $\triangle CEB$ सर्वांगसम हैं? क्यों?
(ii) $\angle A$ के बराबर का कोण ज्ञात कीजिए।

Imp Example of Congruency in Triangles

Solution: $\triangle AED$ और $\triangle CEB$
AE=EC  (दिया है)
DE=BE   (दिया है)
$\angle AED=\angle BEC$ (सम्मुख कोण)
$\triangle AED \cong \triangle CED \\ \angle A=\angle C$ (अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
Example:2.आकृति में AB=AC,AP=AQ तो क्या $\triangle ABQ$ और $\triangle APC$ सर्वांगसम हैं? क्यों? इसके और क्या परिणाम निकलते हैं।

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Solution: $\triangle ABQ$ और $\triangle ACP$ में
AB=AC  (दिया है)
AQ=AP   (दिया है)
$\angle A=\angle A$ (उभयनिष्ठ है)
(अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
$\triangle ABQ \cong \triangle ACP \\ \angle ABQ=\angle ACP$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
और BQ=CP
Example:3.दी गई आकृति में O,सरल रेखा AB का मध्य बिन्दु है।A और B बिन्दुओं से समान्तर रेखाएँ AX और BY खींची गई हैं।यदि POM कोई सरल रेखा AX और BY को क्रमशः P तथा M बिन्दु पर सम्पाती है तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु O सरल रेखा PM का मध्य बिन्दु है।

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Solution:दिया है (Given): $A X \| B Y$, AO=BO तथा PM व AB तिर्यक रेखा इनको काटती है।
सिद्ध करना है (To Prove):OP=OM
उपपत्ति (Proof): $A X \| B Y$ तथा AB तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
$\therefore \angle XAB=\angle ABY$ (एकान्तर कोण)….(1)
अब $\triangle PAO$ तथा $\triangle MBO$ में
AO=OB   (दिया है)
$\angle PAO =\angle OBM$ [(1) से]
$\angle AOP=\angle BOM$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\triangle PAO \cong \triangle MBO \\ \therefore OP=OM$ (कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
OP=OM  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:4.आकृति में D बिन्दु $\triangle ABC$ की भुजा BC का मध्य बिन्दु है CK तथा BH भुजा AD अथवा AD बढ़ाई हुई पर लम्ब डाले गए हैं।सिद्ध कीजिए कि BH=CK

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Solution:दिया है (Given): $\triangle ABC$ की भुजा का मध्य बिन्दु D है  तथा $CK \bot AD$ व $BH \bot AH$
सिद्ध करना है (To Prove):BH=CK
उपपत्ति (Proof):D भुजा BC का मध्य बिन्दु है
$\therefore$ BD=DC
अब $\triangle BHD$ तथा $\triangle CKD$ में
BD=DC
$\angle BHD=\angle CKD =90^{\circ} \\ \angle BDH=\angle KDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
$\triangle BHD \cong \triangle CKD \\ \therefore BH=CK$  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:5.आकृति में CB=AD और AD=CD तो क्या $\angle ABC$ और $\angle ADC$ को बराबर कह सकते हो? और क्यों?

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Solution: $\triangle ABC$ तथा $\triangle CDA$ में
CB=AD  (दिया है)
AB=CD   (दिया है)
AC=AC   (उभयनिष्ठ है)
(भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
$\triangle ABC \cong \triangle CDA \\ \angle ABC = \angle ADC$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं)
Example:6.आकृति में $AD=BC, \angle 1=\angle 2$ और $\angle 3=\angle 4$ है तो कौन से त्रिभुजों के सर्वांगसम होने से AC=BD हो जायेगी।क्या ये सर्वांगसम हैं? क्यों?

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Solution: $\angle 1=\angle 2$ (दिया है) …..(1)
$\angle 3=\angle 4$ (दिया है)……(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

$\angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4 \\ \Rightarrow \angle DAB=\angle CBA \cdots(3) \\ \triangle ADB$ तथा $\triangle BCA$ में
AD=BC  (दिया है)
$\angle DAB=\angle CBA$ [(3) से]
AB=AB  (उभयनिष्ठ है)
(अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)

$\triangle ADB \cong \triangle BCA$
AC=BD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती है)
Example:7.आकृति में $\angle 1=\angle 2$ तथा $\angle 3=\angle 4$ ,तो क्या AC=AD और BC=BD है? क्यों?

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Solution: $\triangle ABC$ तथा $\triangle ABD$ में
$\angle 3=\angle 4$ (दिया है)
$\angle 1=\angle 2$ (दिया है)
AB=AB  (उभयनिष्ठ है)
(भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)

$\triangle ABC \cong \triangle ABD$
BC=BD  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
AC=AD  (“)
Example:8.आकृति में $\angle 1$=एक समकोण, $\angle 2$=एक समकोण तथा BC=CD तो क्या AB=DE है? क्यों?

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Solution: $\triangle ABC$ तथा $\triangle EDC$ में
$\angle 1=\angle 2=90^{\circ}$ (दिया है)
BC=CD (दिया है)
$\angle ACB=\angle ECD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)

$\triangle ABC \cong \triangle EDC$
AB=DE  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:9.आकृति में $CN \perp AB, DM \perp AB$ और CN=DM है।क्या OC और OD बराबर हैं? क्यों?

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Solution: $\triangle DOM$ तथा $\triangle CON$ में
DM=CN  (दिया है)
$\angle DOM=\angle CON$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\angle DMO=\angle CNO=90^{\circ}$ (दिया है)
(कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)

$\triangle DOM \cong \triangle CON$
OC=OD  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:10.आकृति में $AB \| DC$ और $AD \| BC$,क्यों और सर्वांगसम हैं? क्यों?

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Solution: $\triangle ADB$ और $\triangle CBD$ में
BD=BD  (उभयनिष्ठ है)
$\angle ADB=\angle CBD$ (एकान्तर कोण)
$\angle ABD=\angle CDB$ (एकान्तर कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)

$\triangle ADB \cong \triangle CBD$
Example:11.आकृति में यदि AB=AC,CD=CA तथा $\angle ADC=20^{\circ}$ हो,तो $\angle B$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Solution: $\triangle ACD$ में
AC=CD (दिया है)
अतः $\angle CAD=\angle ADC$ (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
$\Rightarrow \angle CAD=20^{\circ} \\ \angle CAD+\angle ADC+\angle ACD=180^{\circ}$  (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
$\Rightarrow 20^{\circ}+20^{\circ}+\angle ACD=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD =180^{\circ}-40^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD=140^{\circ} \\ \angle ACD+\angle ACB=180^{\circ}$ (रैखिक कोण युग्म)
$\Rightarrow 140^{\circ}+\angle ACB=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACB=180^{\circ}-140^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACB=40^{\circ} \\ \angle B=\angle ACB=40^{\circ}$ (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
Example:12.आकृति में AB=AC, $\angle A=32^{\circ},\angle BCE=42^{\circ}, \angle CBD=53^{\circ}$ सिद्ध कीजिए कि
(i)AE=CE  (ii)CD=BC

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Solution: $\triangle ABC$ में AB=AC
$\angle ABC=\angle ACB$ (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)……(1)

$\angle A + \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ} \\ \Rightarrow 32^{\circ}+\angle ABC+\angle ABC =180^{\circ}$ [(1) से]
$2 \angle ABC=180^{\circ}-32^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A B C=\frac{148^{\circ}}{2}=74^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ABC=\angle ACB=74^{\circ} \\ \angle ACB=\angle ACE+\angle BCE \\ \Rightarrow 74^{\circ}=\angle ACE+42^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACE=32^{\circ} \\ \angle ACE=\angle A$
अतः AE=CE  (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$\triangle BCD$ में
$\angle CBD+\angle BDC+\angle BCD=180^{\circ} \\ \Rightarrow 53^{\circ}+\angle BDC+74^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BDC=180^{\circ}-127^{\circ}=53^{\circ} \\ \angle CBD=\angle BDC=53^{\circ}$
अतः CD=BC  (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles)त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।

Imp Example of Congruency in Triangles

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3.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Example of Congruency in Triangles)त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles)
के इस आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।