Conic Sections Class 11
1.शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Conic Sections Class 11),कक्षा 11 में शंकु परिच्छेद (Conic Sections in Class 11):
शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Conic Sections Class 11) के इस आर्टिकल में परवलय,दीर्घवृत्त तथा अतिपरवलय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.शंकु परिच्छेद कक्षा 11 के उदाहरण (Conic Sections Class 11 Illustrations):
Illustration:1.यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमी और गहराई 5 सेमी है।नाभि ज्ञात कीजिए।
Solution:नाभि का व्यास=20 सेमी
तथा गहराई 5 सेमी है।अतः परवलयाकार परावर्तक पर स्थित व्यास के सिरे के निर्देशांक (5,10) होंगे।यह बिन्दु परवलय पर स्थित है अतः
y^2=4 a x \\ \Rightarrow(10)^2=4 a \times 5 \\ \Rightarrow a=\frac{100}{4 \times 5} \\ \Rightarrow a=5 सेमी
अतः नाभि (a) परवलयाकार परावर्तक के व्यास के मध्य बिन्दु पर स्थित है।
Illustration:2.एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष उर्ध्वाधर है।मेहराब 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है यह,परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष में कितना चौड़ा होगा?
Solution:माना कि OX तथा OY इसके निर्देश अक्ष है तथा समीकरण है x^2=-4 a y
मेहराब की ऊँचाई OL=10 मीटर
चौड़ाई AB=5 मीटर
LB=\frac{1}{2} A B=\frac{5}{2}
B बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{5}{2}, 10\right)
बिन्दु \left(\frac{5}{2}, 10\right) परवलय x^2=4 ay पर स्थित है।
\therefore \left(\frac{5}{2}\right)^2=-4 a \times 10 \\ \Rightarrow 9=\frac{-25}{4} \times \frac{1}{4 \times 10} \\ \Rightarrow a=\frac{-5}{32}
परवलय का समीकरण x^2=-4 a y \\ x^2=-4 \times \frac{-5}{32} y \\ \Rightarrow x^2=\frac{5}{8} y
शीर्ष O से 2 मीटर नीचे,माना मेहराब की चौड़ाई 2x है।P के निर्देशांक (2x,2) हैं जो परवलय x^2=\frac{5}{8} y पर स्थित है।
\therefore x^2 =\frac{5}{8} \times 2 \\ \Rightarrow x^2 =\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x =\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow 2 x =\sqrt{5} \\ =2.236 \\ \Rightarrow 2x \approx 2.23 मीटर
Illustration:3.एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है।सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लम्बा है तथा केबिल से जुड़े उर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है,जिसमें सबसे लम्बा तार 6 मीटर है।मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक (supporting) तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:शीर्ष मूलबिन्दु से 6 मीटर की ऊँचाई पर स्थित है।परवलय का समीकरण हैः
x^2=4 a(y-6)
चूँकि यह (50,30) से गुजरता है अतः
परवलय का समीकरण x^2=\frac{625}{6}(y-6) मध्य से 18 मीटर जुड़े समर्थक तार की लम्बाई y है।अतः B के निर्देशांक (18,y) है।इसलिए
x^2=\frac{625}{6}(y-6) \\ \Rightarrow 18 \times 18=\frac{625}{6}(y-6) \\ \Rightarrow \frac{18 \times 18 \times 6}{625}=y-6 \\ \Rightarrow y=6+\frac{1944}{625} \\ =6+3.11 \\ \Rightarrow y \approx 9.11 मीटर (लगभग)
Illustration:4.एक मेहराब अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है।यह 8 मीटर चौड़ा और केन्द्र से 2 मीटर ऊँचा है।एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:दीर्घवृत्त का दीर्घअक्ष 2a=8 मीटर
a=\frac{8}{2}=4 मीटर
b=2 मीटर
दीर्घवृत्त का समीकरण
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1
एक सिरे 1.5 मीटर दूर बिन्दु A की O से दूरी है x=4-1.5=2.5, मीटर
B के निर्देशांक (2.5,y)
\frac{(2.5)^2}{16}+\frac{y^2}{4} =1 \\ \Rightarrow \frac{y^2}{4} =1-\frac{6.25}{16} \\ \Rightarrow y^2 =4-\frac{6.25}{4} \\ =4-1.5625 \\ y^2=2.4375 \\ \Rightarrow y =\sqrt{2.4375} \\ =1.5612 \\ \Rightarrow y \approx 1.56 मीटर (लगभग)
Illustration:5.एक 12 सेमी लम्बी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षों को स्पर्श करते हैं।छड़ के बिन्दु P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के सम्पर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है।
Solution:मान लीजिए छड़ AB, OX के साथ \theta कोण बनाती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।AB पर बिन्दु P(x,y) इस प्रकार है कि AP=3 सेमी
क्योंकि AB=12 सेमी
P से PQ और PR क्रमशः y-अक्ष और x-अक्ष पर लम्ब डालिए।
\triangle PBQ से, \cos \theta=\frac{x}{9}
\triangle PRA से, \sin \theta=\frac{y}{3}
क्योंकि \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1 \\ \Rightarrow\left(\frac{x}{9}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1
Illustration:6.त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x^2=12 y के शीर्ष को इसकी नाभिलम्ब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
Solution:- परवलय का समीकरण: x^2=12 y
नाभिलम्ब AB=4a=\frac{12}{4}=3
अतः \triangle OAB का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}×आधार×ऊँचाई
=\frac{1}{2} \times AB \times O C \\ =\frac{1}{2} \times 12 \times 3 \\ =18 वर्ग इकाई
Illustration:7.एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है।और झंडा चौकियों के बीच दूरी 8 मीटर है।व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:व्यक्ति से दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग
2 \sqrt{b^2+c^2}=2 a=10 \\ \Rightarrow a=\frac{10}{2}=5 \\ \Rightarrow a^2=25 \\ \Rightarrow 2 \sqrt{b^2+c^2}=10 \\ \Rightarrow b^2+c^2=25 \cdots(1)
झंडा चौकियों के बीच दूरी 2c=8 \\ \Rightarrow c=\frac{8}{2}=4 \\ \Rightarrow c^2=16
समीकरण (1) व (2) से:
b^2+16=25 \\ \Rightarrow b^2=25=16 \\ \Rightarrow b^2=9
अतः व्यक्ति द्वारा बनाए गए पथ का समीकरण
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
Illustration:8.परवलय y^2=4ax के अन्तर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है।त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:परवलय का शीर्ष O त्रिभुज का शीर्ष है।त्रिभुज का आधार AB है।
माना A के निर्देशांक \left(a t^2, 2 a t\right) तथा B के निर्देशांक \left(a t^2, -2 a t\right) है।
O (0,0) तथा A \left(a t^2, 2 a t\right) के बीच दूरी
OA=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{\left(a t^2-0\right)^2+(2 a t-0)^2} \\ \Rightarrow O A=\sqrt{a^2 t^4+4 a^2 t^2} \\ AB=\sqrt{\left(a t^2-a t^2\right)^2+(2 a t+2 a t)^2} \\ =\sqrt{(4 a t)^2} \\ =\sqrt{16 a^2 t^2}
समबाहु त्रिभुज है अतः
O A=AB \\ \Rightarrow \sqrt{a^2 t^4+4 a^2 t^2}=\sqrt{16 a^2 t^2} \\ \Rightarrow a^2 t^4+4 a^2 t^2=16 a^2 t^2 \\ \Rightarrow a^2 t^4=12 a^2 t^2 \\ \Rightarrow t^2=12 \\ \Rightarrow t=\sqrt{12} \\ \Rightarrow t=2 \sqrt{3}
अतः समबाहु त्रिभुज की भुजा=A B=\sqrt{16 a^2 t^2} \\ =4 a t \\ =4 a \times 2 \sqrt{3} \\ =8 \sqrt{3} a
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Conic Sections Class 11),कक्षा 11 में शंकु परिच्छेद (Conic Sections in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.शंकु परिच्छेद कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Illustrations Based on Conic Sections Class 11):
(1.)उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए जिसका लघुअक्ष उसकी नाभियों की दूरी के बराबर है तथा केन्द्र मूलबिन्दु पर और अक्ष निर्देश अक्ष के संपाती है।
(2.)यदि एक अतिपरवलय तथा इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केन्द्रतायें क्रमशः e तथा e’ हों,तो सिद्ध कीजिए कि \frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^{\prime 2}}=1
उत्तर (Answers): (1.) e=\frac{1}{\sqrt{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Conic Sections Class 11),कक्षा 11 में शंकु परिच्छेद (Conic Sections in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Conic Sections Class 11),कक्षा 11 में शंकु परिच्छेद (Conic Sections in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.परवलय की नाभिलम्ब जीवा की परिभाषा दीजिए। (Define Latus Rectum of Parabola):
उत्तर:परवलय की नाभि से जाने वाली और परवलय की अक्ष के लम्बवत रेखाखण्ड जिसके अन्त्य बिन्दु परवलय पर हों,को परवलय की नाभिलम्ब जीवा कहते हैं।
प्रश्न:2.दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा की परिभाषा दीजिए। (Define Latus Rectum of Ellipse):
उत्तर:दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाली और दीर्घअक्ष पर लम्बवत रेखाखण्ड जिसके अन्त्य बिन्दु दीर्घवृत्त पर हों,को दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा कहते हैं।
प्रश्न:3.अतिपरवलय नाभिलम्ब जीवा की परिभाषा दीजिए। (Define Latus Rectum of Hyperbola):
उत्तर:अतिपरवलय की नाभियों से जानेवाली और अनुप्रस्थ अक्ष पर लम्बवत रेखाखण्ड जिसके अन्त्य बिन्दु अतिपरवलय पर हों,को अतिपरवलय की नाभिलम्ब जीवा कहते हैं।
प्रश्न:4.परवलय का मानक समीकरण स्थापित करो। (Establish Standard Equation of Parabola):
उत्तर:मान लीजिए कि नाभि F और नियता l है।नियता पर लम्ब FM खींचिए और FM को बिन्दु O पर समद्विभाजित कीजिए।MO को X तक बढ़ाइए।परवलय की परिभाषा के अनुसार मध्य बिन्दु O परवलय पर है और परवलय का शीर्ष कहलाता है।O को मूलबिन्दु मानकर OX को x-अक्ष और इसके लम्बवत OY को y-अक्ष लीजिए।मान लीजिए कि नाभि की नियता से दूरी 2a है।तब नाभि के निर्देशांक (a,0),a>0 है तथा नियता का समीकरण x+a=0 जैसा कि आकृति में है।
मान लीजिए परवलय पर कोई बिन्दु P(x,y) इस प्रकार है कि
PF=PB … (1)
जहाँ PB रेखा l पर लम्ब है।B के निर्देशांक (-a,y) है।दूरी सूत्र से हम पाते हैं
P F=\sqrt{(x-a)^2+y^2} और P B=\sqrt{(x+a)^2}
क्योंकि PF=PB, हम पाते हैं
\sqrt{(x-a)^2+y^2}=\sqrt{(x+a)^2}
इसलिए (x-a)^2+y^2=(x+a)^2 \\ \Rightarrow x^2-2 a x+a^2+y^2=x^2+2 a x+a^2 \\ \Rightarrow y^2=4 a x
इस प्रकार परवलय पर कोई बिन्दु समीकरण y^2=4 a x
को सन्तुष्ट करता है। …. (2)
विलोमतःमाना (2) पर P(x,y) एक बिन्दु है।
अब PF=\sqrt{(x-a)^2+y^2}=\sqrt{(x-a)^2+4ax} \\ =\sqrt{(x+a)^2}=P B \cdots(3)
इसलिए P(x,y) परवलय पर स्थित है।
इस प्रकार (2) और (3) से हमने सिद्ध किया कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर नाभि (a,0) तथा नियता x=-a का समीकरण y^2=4ax होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा शंकु परिच्छेद कक्षा 11 (Conic Sections Class 11),कक्षा 11 में शंकु परिच्छेद (Conic Sections in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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तथा अतिपरवलय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
