How to Use Duality to Solve LPP?

Mathematics Satyam May 3, 2024 Linear Programming No Comments

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1 1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems):

1.1 2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें पर आधारित उदाहरण (Illustration Based on How to Use Duality to Solve LPP?):

1.2 3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.1 प्रश्न:1.द्वैतता के मूल प्रमेय का कथन कीजिए। (State fundamental theorem of duality):

1.2.2 प्रश्न:2.किसी द्वैती समस्या का हल अपरिबद्ध कब होता है? (When is the solution of a dual problem unbound?):

1.2.3 प्रश्न:3.द्वैती समस्याओं के मूलभूत गुणधर्मों के प्रमेय का कथन लिखिए। (Write statement of theorems on fundamental problems of dual problems):

1.2.3.1 (How to Use Duality to Solve LPP?)

2 रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?)

2.1 (How to Use Duality to Solve LPP?)

1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems):

How to Use Duality to Solve LPP?

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?) के इस आर्टिकल में द्वैत सिद्धान्त से रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें पर आधारित उदाहरण (Illustration Based on How to Use Duality to Solve LPP?):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को उनकी द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से हल कीजिए:
(Use duality to solve the following LPP’s)
Illustration:4.अधिकतम करो (max): $Z=2 x_1+3 x_2+5 x_3$
प्रतिबन्ध (s.t.) $x_1+x_2+x_3 \leq 7 \\ x_1+2 x_2+2 x_3 \leq 13 \\ 3 x_1-x_2+x_3 \leq 5$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:दी गई आद्य समस्या मानक रूप में है,अतः इसकी द्वैती निम्न प्रकार होगी:
न्यूनतम करो: $Z_D=7 w_1+13 w_2+5 w_3$
प्रतिबन्ध $w_1+w_2+3 w_3 \geq 2 \\ w_1+2 w_2-w_3 \geq 3 \\ w_3+2 w_2+w_3 \geq 5$
तथा $w_1, w_2, w_2 \geq 0$
प्रतिबन्ध को समीकरणों में परिवर्तन करने हेतु आधिक्यपूरक चरों का समावेश करने पर तथा उद्देश्य फलन को अधिकतम रूप में लिखने पर उपर्युक्त द्वैत समस्या निम्नांकित है:
अधिकतम करोः $z^*=-7 w_1+3 w_2-5 w_3+0 w_4+0 w_3+0 w_6$
प्रतिबन्ध $w_1+w_2+3 w_3-w_4+0 w_5+10 w_6=2 \\ w_1+2 w_2-w_3+0 w_4-w_5+0 w_6=3 \\ w_1+2 w_2+w_3+0 w_4+0 w_5- w_6=5$
तथा $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6 \geq 0$
यहाँ पर आधारी मैट्रिक्स $B\left(e_1, e_2, e_3\right)$ की प्राप्ति हेतु प्रथम,द्वितीय व तृतीय असमिका में कृत्रिम चर क्रमशः $w_7, w_8, w_9$ जोड़ने तथा उद्देश्य फलन में मूल्य -M रखने पर जहाँ M एक बहुत बड़ी धनात्मक संख्या है।
अधिकतम करो: $z^*=-7 w_1-13 w_2-5 w_3+0 w_4+0 w_3 +0 w_6-M w_7-M w_8-M w_9$
प्रतिबन्ध $w_1+w_2+3 w_3-w_4+0 w_5+0 w_6+w_7+0 w_8+0 w_9=2 \\ w_1+2 w_2-w_3+0 w_4-w_5+0 w_6+0 w_7+w_8+0 w_9=3 \\ w_1+2 w_2+w_3+0 w_4+0 w_5-w_6+0 w_7+0 w_8+w_9=5$
तथा $w_i \geq 0, i=1,2,3, \ldots, 9$
अतः प्रतिबन्ध निकाय में गुणांक मैट्रिक्स
$A=\left[\begin{array}{ccccccccc} 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] =\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8 \alpha_9\right)$ (माना)
प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_7 , \alpha_8, \alpha_9\right)=I_3$ लेने पर,प्रारम्भिक सिम्पलेक्स सारणी निम्न प्रकार है:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 & -M & -M & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 & y_9 \\ \hline -M & \alpha_7 & w_7 & 2 & 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -M & \alpha_8 & w_8 & 3 & 1 & \fbox{2} & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -M & \alpha_9 & w_9 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j}\rightarrow & -3M+7 & -5M+13 & -3M+5 & M & M & M & 0 & 0 & 0\\ \hline & & & & & \uparrow & & & & & & \downarrow \end{array}$
अतः प्रथम सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि के मान ऋणात्मक हैं i.e. $Z_2^*-C_2=-5 M+13$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान द्वितीय स्तम्भ में है,इसलिए $\alpha_2$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{1}, \frac{3}{2},\frac{5}{2}\right\} \\ =\frac{3}{2}=\frac{W_{B2}}{y_{22}}$
अतः $y_{22}$ अर्थात् 2 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_8$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_8$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 2 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}=1,-\frac{1}{2}, \frac{0}{2}=0,-\frac{1}{2}, \frac{0}{2}=0, \frac{0}{2}=0, \frac{0}{2}=0$
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
$2-\frac{3}{2} \times 1=\frac{1}{2}, 1-\frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2}, 1-1 \times 1=0,3-\left(-\frac{1}{2}\right) \times 1=\frac{7}{2}, -1-0(1)=-1,0-\left(-\frac{1}{2}\right) \times 1=\frac{1}{2}, 0-0 \times 1=0,1-0 \times 1=1,0-0 \times 1=0$
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 2 से गुणा करके घटा देंगे:
$5-\frac{3}{2} \times 2=2,1-\frac{1}{2} \times 2=0,2-0 \times 2=0,1-\left(-\frac{1}{2}\right) \times 2=2,0-0 \times 2=0,0-\left(-\frac{1}{2}\right) \times 2=1,-1-0 \times 2=-1,0-0 \times 2=0 ,1-0 \times 2=1$
द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 & -M & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_9 \\ \hline -M & \alpha_7 & w_7 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \left[\frac{7}{2}\right] & -1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ -13 & \alpha_2 & w_2 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\ -M & \alpha_9 & w_9 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & -\frac{M}{2}+\frac{1}{2} & 0 & -\frac{11}{2} M+\frac{23}{2} & M & -\frac{3}{2}M+\frac{13}{2} & M & 0 & 0 \\ \hline & & & & & & \uparrow & & & & \downarrow \end{array}$
अतः द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_3^*-C_3=-\frac{11}{2} M+\frac{23}{2}$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान तृतीय स्तम्भ में है,इसलिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}},\frac{2}{2}\right\} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}} =\frac{W_{B1}}{y_{13}}$
अतः $y_{13}$ अर्थात् $\frac{7}{2}$ मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_7$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_7$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{7}{2}$ का भाग देंगे।

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{1}{7}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{1}{7}, \frac{0}{\frac{7}{2}}=0, \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}=1, \frac{-1}{\frac{7}{2}}=\frac{-2}{7} ,\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{1}{7}, \frac{0}{\frac{7}{2}}=0, \frac{0}{\frac{7}{2}}=0$
द्वितीय पंक्ति:तृतीय सारणी के लिए द्वितीय पंक्ति तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{1}{2}$ से गुणा करके घटा देंगे।

$\frac{3}{2}-\frac{1}{7} \times-\frac{1}{2}=\frac{11}{7}, \frac{1}{2}-\frac{1}{7} \times-\frac{1}{2}=\frac{4}{7}, 1-0 \times -\frac{1}{2}=1,-\frac{1}{2}-1 \times-\frac{1}{2}=0,0-\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{7}, -\frac{1}{2}-\frac{1}{7} \times-\frac{1}{2}=\frac{-3}{7}, 0-0 \times-\frac{1}{2}=0,0-0 \times-\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
तृतीय पंक्ति:तृतीय सारणी के लिए तृतीय पंक्ति तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव के संगत अवयव 2 से गुणा करके घटा देंगे।
$2-\frac{1}{7} \times 2=\frac{12}{7}, 0-\frac{1}{7} \times 2=\frac{-2}{7}, 0-0 \times 2=0, 2-1 \times 2=0,0-\left(-\frac{2}{7}\right)(2)=\frac{4}{7}, 1-\frac{1}{7} \times 2=\frac{5}{7}, -1-0 \times 2=-1,1-0 \times 2=1$
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_9 \\ \hline -5 & \alpha_3 & w_3 & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & 0 & 1 & -\frac{2}{7} & \left[\frac{1}{7}\right] & 0 & 0 \\ -13 & \alpha_2 & w_2 & \frac{11}{7} & \frac{4}{7} & 1 & 0 & -\frac{1}{7} & \frac{1}{7} & 0 & 0\\ -M & \alpha_9 & w_9 & \frac{12}{7} & -\frac{2}{7} & 0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{5}{7} & -1 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & \frac{2M}{7}-\frac{8}{7} & 0 & 0 & -\frac{4M}{7}+\frac{23}{7} & -\frac{5M}{7}+\frac{34}{7} & M & 0 \\ \hline & & & & & & \downarrow & & \uparrow & & \end{array}$
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम नहीं है, क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक हैं i.e. $Z_4^*-C_4=-\frac{5}{7} M+\frac{34}{7}$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान पाँचवे स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_5$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 4}}, y_{i 4}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}},\frac{\frac{12}{7}}{\frac{5}{7}} \right\} \\ =\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}} =\frac{W_{B1}}{y_{14}}$
अतः $y_{14}$ अर्थात् $\frac{1}{7}$ मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_3$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः चतुर्थ सारणी के लिए प्रथम पंक्ति तैयार करने हेतु तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{1}{7}$ का भाग देने पर तैयार होगी:

$\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}=1, \frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}=1, \frac{0}{\frac{1}{7}}=0, \frac{1}{\frac{1}{7}}=7,\frac{\frac{-2}{7}}{\frac{1}{7}}=-2 ,\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}=1, \frac{0}{\frac{1}{7}}=0, \frac{0}{\frac{1}{7}}=0$
द्वितीय पंक्ति:चतुर्थ सारणी के लिए द्वितीय पंक्ति तैयार करने हेतु तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{3}{7}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{11}{7}-1 \times-\frac{3}{7}=2, \frac{4}{7}-1 \times \frac{-3}{7}=1,1-0 \times \frac{-3}{7}=1 ,0-7 \times -\frac{3}{7}=3,-\frac{1}{7}-(-2) \times \frac{-3}{7}=-1, -\frac{3}{7}-1 \times-\frac{3}{7}=0,0- 0 \times \frac{-3}{7}=0,0-0 \times \frac{-3}{7}=0$
तृतीय पंक्ति:चतुर्थ सारणी के लिए तृतीय पंक्ति तैयार करने हेतु तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $\frac{5}{7}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{12}{7}-1 \times \frac{5}{7}=1,-\frac{2}{7}-1 \times \frac{5}{7}=-1,0-0 \times \frac{5}{7}=0 ,0-7 \times \frac{5}{7}=-5, \frac{4}{7}-(-2) \times \frac{5}{7}=2,\frac{5}{7}-1 \times \frac{5}{7}=0,-1-0 \times \frac{5}{7}=-1,1-0 \times \frac{5}{7}=1$
चतुर्थ सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_9 \\ \hline 0 & \alpha_5 & w_5 & 1 & 1 & 0 & 7 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ -13 & \alpha_2 & w_2 & 2 & 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -M & \alpha_9 & w_9 & 1 & -1 & 0 & -5 & \fbox{2} & 0 & -1 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & M-6 & 0 & 5 M-34 & -2 M+13 & 0 & M & 0 \\ \hline & & & & & & & & \uparrow & & \downarrow \end{array}$
चतुर्थ सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_4^*-C_4=-2 M+13$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान चतुर्थ स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_4$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 4}}, y_{i 4}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{1}{2} \right\} \\ =\frac{1}{2} =\frac{W_{B3}}{y_{34}}$
अतः $y_{34}$ अर्थात् 2 मुख्य अवयव (key element) $\alpha_9$ तथा अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_9$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
पंचम सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार करने के लिए चतुर्थ सारणी की तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 2 का भाग देंगे:

$\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{0}{2}=0, \frac{-5}{2}, \frac{2}{2}=1, \frac{0}{2}=0,-\frac{1}{2}$
प्रथम पंक्ति:पंचम सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार करने हेतु चतुर्थ सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयवों वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव -2 से गुणा करके घटा देंगे:
$1-\frac{1}{2} \times(-2)=2,1-\left(-\frac{1}{2}\right) \times-2=0,0-(0) \times 2=0,7-(-\frac{5}{2})(-2)=2 ,-2-(1)(-2)=0,1-0 \times -2=1,0-\left(-\frac{1}{2}\right) \times (-2)=-1$
द्वितीय पंक्ति:पंचम सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार करने हेतु चतुर्थ सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयवों वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव के संगत अवयव -1 से गुणा करके घटा देंगे:
$2-\frac{1}{2}(-1)=\frac{5}{2}, 1-\left(-\frac{1}{2}\right)(-1)=\frac{1}{2}, 1-0 \times-1=1, 3-\left(-\frac{5}{2}\right)(-1)=\frac{1}{2},-1-1 \times(-1)=0,0-0 \times-1=0 ,0-\left(-\frac{1}{2}\right)(-1)=-\frac{1}{2}$
पंचम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_5 & w_5 & 2 & 0 & 0 & \fbox{2} & 0 & 1 & -1 \\ -13 & \alpha_2 & w_2 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \alpha_4 & w_4 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{5}{2} & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} & 0 & 0 & \frac{13}{2} \\ \hline & & & & & & \uparrow & & \downarrow & \end{array}$
पंचम सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_3^*-C_3=-\frac{3}{2}$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान तृतीय स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{2},\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \right\} \\ =\frac{2}{2} =\frac{W_{B1}}{y_{13}}$
अतः $y_{13}$ अर्थात् 2 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_5$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
षष्ठम सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार करने के लिए पंचम सारणी की प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 2 का भाग देंगे:

$\frac{2}{2}=1, \frac{0}{2}=0, \frac{0}{2}=0, \frac{2}{2}=1, \frac{0}{2}=0, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}$
द्वितीय पंक्ति:षष्ठम सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार करने हेतु पंचम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयवों वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $\frac{1}{2}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{5}{2}-1 \times \frac{1}{2}=2, \frac{1}{2}-0 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2},1-0 \times \frac{1}{2}=1, \frac{1}{2}-1 \times \frac{1}{2}=0 \\ 0-0 \times \frac{1}{2}=0,0-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=-\frac{1}{4},-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$
तृतीय पंक्ति:षष्ठम सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार करने हेतु पंचम सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयवों वाली पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव के संगत अवयव – $\frac{5}{2}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{1}{2}-1 \times \frac{-5}{2}=3,-\frac{1}{2}-0 \times \frac{-5}{2}=-\frac{1}{2}, \\ 0-0 \times \frac{-5}{2}=0,-\frac{5}{2}-1 \times \frac{-5}{2}=0,1-0 \times \frac{-5}{2}=1, 0-\frac{1}{2} \times \frac{-5}{2}=\frac{5}{4},-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2} \right) \times \frac{-5}{2}=-3$
षष्ठम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -7 & -13 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline -5 & \alpha_3 & w_3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -13 & \alpha_2 & w_2 & 2 & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & \alpha_4 & w_4 & 3 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & \frac{5}{4} & -3 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j} \rightarrow & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{23}{4} \\ \hline \end{array}$
चूँकि इस सारणी में $Z_j^*-C_j\geq 0$ ,j के सभी मानों के लिए,अतः इसका आधारी हल परिवर्तित समस्या का इष्टतम हल होगा:

$w_1=0, w_2=2, w_3=1$
अतः द्वैती समस्या का इष्टतम हलः

$w_1=0, w_2=2, w_3=1$
तथा न्यूनतम $Z_D=7 w_1+13 w_2+5 w_3 \\ =7 \times 0+13 \times 2+5 \times 1 \\ \Rightarrow \min Z_D=31$
तथा $x_1=Z_4^*-C_4=0 \\ x_2=Z_5^*-C_5=\frac{3}{4}, x_3=Z_6^*-C_6=\frac{23}{4}$
अधिकतम Z=31

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems) को समझ सकते हैं।

How to Use Duality to Solve LPP?

Illustration:5.अधिकतम करो (max.) $Z=3 x_1-2 x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $x_1 \leq 4 \\ x_2 \leq 6 \\ x_1+x_2 \leq 5 \\ -x_2 \leq-1$
तथा (and) $x_1, x_2 \geq 0$
Solution:दी गई आद्य समस्या मानक रूप में है,अतः इसकी द्वैती समस्या निम्न प्रकार होगी:
न्यूनतम करो: $Z_D=4 w_1+6 w_2+5 w_3-w_4$
प्रतिबन्ध $w_1+w_3 \geq 3 \\ \Rightarrow w_2+w_3-w_4 \geq -2 \\ \Rightarrow -w_2-w_3+w_4 \leq 2$
तथा (and) $w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0$
प्रतिबन्ध को समीकरणों में परिवर्तन करने हेतु आधिक्यपूरक चर तथा न्यूनतापूरक चरों का समावेश करने पर तथा उद्देश्य फलन को अधिकतम रूप में लिखने पर उपर्युक्त द्वैत समस्या निम्नांकित है:
अधिकतम करोः $Z^*=-4w_1-6 w_2-5 w_3+w_4+0 w_5+0 w_6$
प्रतिबन्ध $w_1+0 w_2+w_3+0 w_4-w_5+0 w_6=3 \\ 0 w_1-w_2-w_3+w_4+0 w_5+w_6=2$
तथा $w_1, w_2, w_3, w_4 w_5, w_6, 0 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय में गुणांक मैट्रिक्स
$A=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] =\left(\begin{array}{c}\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \end{array}\right)$ (माना)
प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha, \alpha_6\right)=I_2$ लेने पर,प्रारम्भिक सिम्पलेक्स सारणी निम्न प्रकार है:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & -4 & -6 & -5 & 1 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline -4 & \alpha_1 & w_1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \alpha_6 & w_6 & 2 & 0 & -1 & -1 & \fbox{1} & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & 0 & 6 & 1 & -1 & 4 & 0 \\ \hline & & & & & & & \uparrow & & \downarrow \end{array}$
अतः प्रथम सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_4^*-C_4=-1$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान चतुर्थ स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_4$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 4}}, y_{i 4}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{3}{1} \right\} \\ =\frac{3}{1} =\frac{W_{B2}}{y_{24}}$
अतः $y_{24}$ अर्थात् 1 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_6$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी

$w_1=3, w_2=0, w_3=0, w_4=2 w_1=3, w_2=0, w_3=0, w_4=2$
तथा न्यूनतम $Z_D =4 w_1+6 w_2+5 w_3-w_4 \\ =4 \times 3+6 \times 0+5 \times 0-2 \\ \Rightarrow \min Z_D=10$
तथा $x_1=Z_5^*-C_5=4, x_2=Z_6^*-C_6=1$
अधिकतम Z=10
Illustration:6.अधिकतम करो (max.) $Z=3 x_1+2 x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $x_1-x_2 \geq 1 \\ x_1+x_2 \leq 7 \\ x_1+2 x_2 \geq 10 \\ x_2 \leq 3$
तथा (and) $x_1,x_2 \geq 0$
Solution:आद्य समस्या मानक रूप में नहीं है,इसलिए सर्वप्रथम इस आद्य समस्या को मानक रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
अधिकतम करो: $Z=3 x_1+2 x_2$
प्रतिबन्ध $-x_1+x_2 \leq -1 \\ x_1+x_2 \leq 7 \\ -x_1-2 x_2 \leq-10 \\ x_2 \leq 3$
तथा $x_1, x_2 \geq 0$
अब यह समस्या अपने मानक रूप में है।इसकी द्वैती समस्या निम्न प्रकार होगी:
न्यूनतम करो: $Z_D=-w_1+7 w_2-10 w_3+3 w_4$
प्रतिबन्ध $-w_1+w_2-w_3 \geq 3 \\ w_1+w_2+2 w_3+w_4 \geq 2$
इसे सिम्पलेक्स विधि से हल करने के लिए प्रतिबन्ध निकाय के समीकरणों में बदलना होगा।अतः $w_5,w_6$ दो आधिक्यपूरक चर एवं $w_7$ एक कृत्रिम चर के जोड़ने पर तथा उद्देश्य फलन को अधिकतम रूप में लिखने पर उपर्युक्त द्वैत समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: $Z^{*}=w_1-7 w_2+10 w_3-3 w_4 +0 w_5+0 w_6-M w_7$
प्रतिबन्ध $-w_1+w_2-w_3+0 w_4-w_5+0 w_6+w_7=3 \\ w_1+w_2-2 w_3+w_4+0 w_5-w_6+0 w_7=2$
तथा $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय में गुणांक मैट्रिक्स
$A=\left[\begin{array}{ccccccc} -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \end{array}\right)$ (माना)
प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_4 \alpha_7\right)=I_2$ लेने पर,प्रारम्भिक सिम्पलेक्स सारणी निम्न प्रकार है:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & -7 & 10 & -3 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 \\ \hline -M & \alpha_7 & w_7 & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & \alpha_4 & w_4 & 2 & 1 & \fbox{1} & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & M-4 & -M+4 & M-4 & 0 & M & 3 & 0 \\ \hline & & & & & \uparrow & & \downarrow & & & \end{array}$
अतः प्रथम सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_2^*-C_2=-M+4$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान द्वितीय स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_2$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{3}{1},\frac{2}{1} \right\} \\ =\frac{2}{1} =\frac{x_{B2}}{y_{22}}$
अतः $y_{22}$ अर्थात् 1 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_4$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & -7 & 10 & -3 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 \\ \hline -M & \alpha_7 & w_7 & 1 & 2 & 0 & \fbox{1} & -1 & -1 & 1 & 1 \\ -7 & \alpha_2 & w_2 & 2 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & 2M-8 & 0 & -M+4 & M-4 & M & -M+7 & 0 \\ \hline & & & & & & \uparrow & & & & \downarrow \end{array}$
अतः द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी से स्पष्ट है कि प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है,क्योंकि $Z_j^*-C_j$ के मान ऋणात्मक है i.e. $Z_3^*-C_3=-M+4$ जो कि न्यूनतम राशि है तथा यह मान तृतीय स्तम्भ में है इसलिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{1}{1} \right\} \\ =\frac{1}{1} =\frac{x_{B1}}{y_{13}}$
अतः $y_{13}$ अर्थात् 1 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_7$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_7$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & -7 & 10 & -3 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 10 & \alpha_3 & w_3 & 1 & -2 & 0 & +1 & -1 & -1 & 1 \\ -7 & \alpha_2 & w_2 & 4 & -3 & 1 & 0 & -1 & -2 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 \\ \hline \end{array}$
चूँकि इस सारणी में $Z_j^*-C_j \geq 0$ ,j के सभी मानों के लिए,अतः इसका आधारी हल परिवर्तित समस्या का इष्टतम हल होगा:

$w_1=0, w_2=4, w_3=1, w_4=0$
अतः द्वैती समस्या का इष्टतम हलः

$w_1=0, w_2=4, w_3=1, w_4=0$
तथा न्यूनतम $Z_D=-w_1+7 w_2-10 w_3+3 w_4 \\ =-0+7 \times 4-10 \times 1 +3 \times 0 \\ =28-10 \\ \Rightarrow \min Z_D=18$
तथा $x_1=Z_5^*-C_5=4, x_2=Z_6^*-C_6=3$
अधिकतम Z=18
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems) को समझ सकते हैं।

How to Use Duality to Solve LPP?

Also Read This Article:- Use Duality to Solve LPP

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.द्वैतता के मूल प्रमेय का कथन कीजिए। (State fundamental theorem of duality):

उत्तर:यदि किसी आद्य समस्या का एक परिमित इष्टतम हल विद्यमान हो तो इसकी संगत द्वैती समस्या का भी एक परिमित इष्टतम हल होगा तथा विलोमतः भी एवं दोनों समस्याओं के उद्देश्य फलनों के मान भी इष्टतम हल पर बराबर होंगे।

प्रश्न:2.किसी द्वैती समस्या का हल अपरिबद्ध कब होता है? (When is the solution of a dual problem unbound?):

उत्तर:यदि किसी आद्य समस्या का हल अपरिबद्ध हो तो उसकी द्वैती समस्या का हल या तो अपरिबद्ध होगा अथवा कोई हल नहीं होगा।

प्रश्न:3.द्वैती समस्याओं के मूलभूत गुणधर्मों के प्रमेय का कथन लिखिए। (Write statement of theorems on fundamental problems of dual problems):

उत्तर:(1.) किसी आद्य समस्या के द्वैती की द्वैती आद्य समस्या ही होती है।
(2.)यदि किसी आद्य समस्या
निम्नतम करोः $Z_p=CX ; X,C \in R^n$
प्रतिबन्ध $A X \geq b$ तथा $X \geq b ; b \in R^m$
तथा A एक वास्तविक m×n क्रम की मैट्रिक्स है,का X एक सुसंगत हल हो तथा W इसकी द्वैती का कोई सुसंगत हल हो तो
$C X \geq b^{\top} W$ अर्थात् $Z_p \geq Z_D$
(3.)यदि आद्य समस्या अधिकतम करो,प्रतिबन्ध $A X \leq b ; X \geq 0$ का $X_0$ एक सुसंगत हल हो तथा $W_0$ आद्य के द्वैत का सुसंगत हल हो तो सिद्ध करो कि $C X_0 \leq b^{T} W_0$
(4.)यदि $X_0$ निम्न आद्य समस्या
निम्नतम करो $Z_p=C X$
प्रतिबन्ध $A X \geq b$ तथा $X \geq 0$
का सुसंगत हल है तथा $W_0$ इस समस्या की द्वैती
अधिकतम $Z_D=b^{\top} W$
प्रतिबन्ध $A^{\top} W \leq C T$ तथा $W \geq 0$
का सुसंगत हल है जहाँ X तथा $C \in R^n$ , w तथा $b \in R^m$ , A एक वास्तविक m×n कोटि का मैट्रिक्स है।यदि $C X_0=b^{T} W_0$
तब दोनों $X_0$ तथा $W_0$ क्रमशः आद्य समस्या एवं द्वैती समस्या के इष्टतम हल है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से कैसे हल करें? (How to Use Duality to Solve LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त से हल करें (Use Duality to Solve Linear Programming Problems) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(How to Use Duality to Solve LPP?)

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्वैत सिद्धान्त
के प्रयोग से कैसे हल करें?
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About Author

Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.