1.खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Integration by Parts Class 12),कक्षा 12 में खण्डशः समाकलन (Integration by Parts in Class 12):

Integration by Parts Class 12

खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Integration by Parts Class 12) के इस आर्टिकल में दो फलनों के गुणनफल का समाकलन वाले सवालों को हल करना सीखेंगे।
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2.खण्डश: समाकलन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Illustration Based on Integration by Parts Class 12):

1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए।
Illustration:1. x \sin x
Solution: x \sin x \\ I=\int x \sin x d x
x को प्रथम तथा \sin x को द्वितीय फलन लेने पर:

=x \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin x d x\right] dx \\ =-x \cos x+\int \cos x d x \\ \Rightarrow I=-x \cos x+\sin x+C
Illustration:2. x \sin 3 x
Solution: x \sin 3 x \\ I=\int x \sin 3 x d x
x को प्रथम तथा \sin 3 x को द्वितीय फलन लेने पर:

=x \int \sin 3 x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin 3 x d x\right] d x \\ =- \frac{x \cos 3 x}{3}+\int \frac{\cos 3 x}{3} d x \\ I=-\frac{1}{3} x \cos 3 x+\frac{1}{9} \sin 3 x+C
Illustration:3. x^2 e^x
Solution: x^2 e^x \\ I=\int x^2 e^x d x \\ x^2 को प्रथम तथा e^x को द्वितीय फलन लेने पर:

=x^2 \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{d x} x^2 \int e^x d x\right] d x \\ =x^2 e^x-\int 2 x \cdot e^x d x \\ =x^2 e^x-2 x \int e^x d x+2 \int\left[\frac{d}{d x}(x) \int x^2 d x\right] d x \\ =x^2 e^x-2 x e^x+2 e^x+c \\ \Rightarrow I =x^2 e^x-2 x e^x+2 e^x+c \\ \Rightarrow I =e^x\left(x^2-2 x+2\right)+c
Illustration:4. x log x
Solution: x \log x \\ I=\int x \log x d x \\ \log x को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\log x \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x d x\right] d x \\ =\log x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} d x+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^2 \log x-\frac{1}{4} x^2+c
Illustration:5. x \log 2 x
Solution: x \log 2 x \\ I=\int x \log 2 x d x \\ \log 2 x को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\log 2 x \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\log 2 x) \int x d x\right] d x \\ =\log 2 x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{2 x} \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{x^2}{2} \log 2 x-\frac{1}{2} \int x d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^2 \log 2 x-\frac{1}{4} x^2+c
Illustration:6. x^2 \log x
Solution: x^2 \log x \\ I=\int x^2 \log x d x \\ \log x को प्रथम तथा x^2 को द्वितीय फलन लेने पर:

=\log x \int x^2 d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\log x) \int x^2 d x\right] d x \\ =\log x \cdot \frac{x^3}{3}-\int \frac{1}{x}-\frac{x^3}{3} d x+c \\ =\frac{1}{3} x^3 \log x-\int \frac{1}{3} x^2 d x+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{3} x^3 \log x-\frac{1}{9} x^3+c
Illustration:7. x \sin ^{-1} x
Solution: x \sin ^{-1} x \\ I=\int x \sin ^{-1} x d x \\ \sin ^{-1} x को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\sin ^{-1} x \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right) \int x d x\right] d x \\ =\sin ^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \sin ^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \sin ^{-1} x+\frac{1}{2} \int \sqrt{1-x^2} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \sin ^{-1} x+\frac{1}{2}\left[\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2}+ \frac{1}{2} \sin ^{-1} x\right]-\frac{1}{2} \sin ^{-1} x+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^2 \sin ^{-1} x+\frac{x}{4} \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4} \sin ^{-1} x+c
Illustration:8. x \tan ^{-1} x
Solution: x \tan ^{-1} x \\ I=\int x \tan ^{-1} x d x \\ \tan ^{-1} x  को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\tan ^{-1} x \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) \int x d x\right] d x \\ =\tan ^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \int-1 \cdot d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} x^2 \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C
Illustration:9. x \cos ^{-1} x
Solution: x \cos ^{-1} x \\ I=\int x \cos ^{-1} x d x \\ \cos ^{-1} x  को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\cos ^{-1} x \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right) \int x d x\right] d x \\ =\cos^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2}-\int\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) -\frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \cos ^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \cos ^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x+\frac{2}{2} \int \sqrt{1-x^2} d x \\ =\frac{1}{2} x^2 \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x-\frac{1}{2}\left[\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2} \sin ^{-1} x\right]+C^{\prime} \\ =\frac{1}{2} x \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x-\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4} \left(\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1} x\right)+c^{\prime} \\ =\frac{1}{2} x^2 \cos ^{-1} x-\frac{1}{4} \cos ^{-1} x-\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}+C \\ \Rightarrow I=\left(2 x^2-1\right) \frac{\cos^{-1} x}{4}-\frac{x}{4} \sqrt{1-x^2}+C
Illustration:10. \left(\sin ^{-1} x\right)^2
Solution: \left(\sin ^{-1} x\right)^2 \\ I=\int\left(\sin ^{-1} x\right)^2 d x \\ \left(\sin ^{-1} x\right)^2 को प्रथम तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर:

=\left(\sin ^{-1} x\right)^2 \int 1 \cdot d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)^2 \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =\left(\sin ^{-1} x\right)^2 \cdot x-\int \frac{2 \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x d x \\ \Rightarrow I=x\left(\sin ^{-1} x\right)^2-\int \frac{2 x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x
Put द्वितीय समाकल में \sin ^{-1} x=t \Rightarrow x=\sin t \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x=d t \\ = x\left(\sin ^{-1} x\right)^2-2 \int t \sin t d t \\ = x\left(\sin ^{-1} x\right)^2-2 t \int \sin t d t+2 \int \left[\frac{d}{dt}(t) \int \sin t d t\right] d t \\ = x\left(\sin ^{-1} x\right)^2+2 t \cos t-2 \sin t+C
t का मान रखने पर:

=x\left(\sin ^{-1} x\right)^2+2 \sqrt{1-x^2} \sin ^{-1} x-2 x+C \\ \left[\because \sin t=x \Rightarrow \cos^{-1} x=\sqrt{1-x^2}\right] \\ \Rightarrow I=x\left(\sin ^{-1} x\right)^2+2 \sqrt{1-x^2} \sin ^{-1} x-2 x+C
Illustration:11. \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}
Solution: \frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \\ I=\int \frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ \text{ put } \cos ^{-1} x=t \Rightarrow x=\cos t \\ \Rightarrow \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} d x=d t \\ I=-\int t \cos t d t
t को प्रथम तथा \cos t को द्वितीय फलन लेने पर:

=-t \int \cos t d t+\int\left[\frac{d}{d t}(t) \int \cos t d t\right] d t \\ =-t \sin t+\int \sin t d t \\ =-t \sin t-\cos t+c \\ \Rightarrow I =-\sqrt{1-x^2} \cos ^{-1} x-x+c
Illustration:12. x \sec ^2 x
Solution: x \sec ^2 x \\ I=\int x \sec ^2 x d x
x को प्रथम तथा \sec ^2 x को द्वितीय फलन लेने पर:

=x \int \sec ^2 x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^2 x d x\right] d x \\ =x \tan x-\int \tan x d x+c \\ \Rightarrow I=x \tan x+\log |\cos x|+C

Integration by Parts Class 12

Illustration:13. \tan ^{-1} x
Solution: \tan ^{-1} x \\ I=\int \tan ^{-1} x d x \\ \tan ^{-1} x को प्रथम तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर:

=\tan ^{-1} x \int 1 \cdot d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =\tan ^{-1} x \cdot x-\int \frac{1}{1+x^2} \cdot x d x
Put द्वितीय समाकल में 1+x^2=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ =x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t \\ \Rightarrow I =x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \log t+c \Rightarrow I=x \tan x-\frac{1}{2} \log \left(1+x^2\right) +C
Illustration:14. x(\log x)^2
Solution: x(\log x)^2 \\ I=\int x (\log x)^2 d x \\ (\log x)^2 को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:
=(\log x)^2 \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\log x)^2 \int x d x\right] d x \\ =(\log x)^2 \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\int x \log x d x
द्वितीय समाकल में \log x  को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\log x \int x d x+ \int \left[ \frac{d}{dx} (\log x) \int x dx\right] d x \\ =x^2(\log x)^2-\log x \cdot \frac{x^2}{2}+\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ =\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2} \log x+\frac{1}{2} \int x d x \\ \Rightarrow I =\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2} \log x+\frac{1}{4} x^2+c
Illustration:15. \left(x^2+1\right) \log x
Solution: \left(x^2+1\right) \log x \\ I=\int\left(x^2+1\right) \log x d x \\ \log x को प्रथम तथा  \left(x^2+1\right) को द्वितीय फलन लेने पर:

=\log x \int\left(x^2+1\right) d x-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int\left(x^2+1\right) d x\right] dx \\ =\log x \cdot\left(\frac{x^3}{3}+x\right)-\int \frac{1}{x} \cdot\left(\frac{x^3}{3}+x\right) d x \\ =\left(\frac{x^3}{3}+x\right) \log x-\int\left(\frac{x^2}{3}+1\right) d x \\ \Rightarrow I=\left(\frac{x^3}{3}+x\right) \log x-\left(\frac{x^3}{9}+x\right)+C
Illustration:16. e^x(\sin x+\cos x)
Solution: e^x(\sin x+\cos x) \\ =\int e^x(\sin x+\cos x) d x \\ =\int e^x \sin x d x+\int e^x \cos x d x \\ \sin x को प्रथम तथा e^x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\sin x \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{dx} \sin x \int e^x d x\right] d x+\int e^x \cos x dx \\ =\sin x \cdot e^x-\int e^x \cos x d x+\int e^x \cos x d x+c \\ \Rightarrow I=e^x \sin x+c
Illustration:17. \frac{x e^x}{(1+x)^2}
Solution: \frac{x e^x}{(1+x)^2} \\ I=\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} d x \\ =\int\left[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\right] e^x d x
इसे Question 16 की तरह भी किया जा सकता है तथा सूत्र \int e^x \left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x) dx+C से भी किया जा सकता है।
यहाँ f(x)=\frac{1}{1+x}, f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}
अतः I=\frac{e^x}{1+x}+c
Illustration:18. e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)
Solution: e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) \\ I=\int e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x \\ =\int e^x\left(\frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\right) d x \\ \left[\because \sin x=2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \text{ तथा } 1+\cos x=2 \cos^2 \frac{x}{2}\right] \\ =\int e^x\left(\frac{1}{2} \sec ^2 \frac{x}{2}+\tan \frac{x}{2}\right) d x
माना \tan \frac{x}{2}=f(x) \Rightarrow \frac{1}{2} \sec ^2 \frac{x}{2}=f^{\prime}(x)
अतः \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x) सूत्र से

I=e^x \tan \frac{x}{2}+c
Illustration:19. e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)
Solution:e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right) \\ I=\int e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right) d x
इसे \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x) सूत्र से भी किया जा सकता है परन्तु इसे प्रथम व द्वितीय फलन मानकर हल करेंगे।

I=\int \frac{e^x}{x} d x-\int \frac{e^x}{x^2} d x
प्रथम समाकल में \frac{1}{x} को प्रथम तथा e^x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\frac{1}{x} \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x}\right) \int e^x d x\right] d x-\int \frac{e^x}{x^2} d x \\ =\frac{e^x}{x}+\int \frac{e^x}{x^2} d x-\int \frac{e^x}{x^2} d x \\ \Rightarrow I=\frac{e^x}{x}+C
Illustration:20. \frac{x-3}{(x-1)^3} e^x
Solution: \frac{x-3}{(x-1)^3} e^x \\ I=\int \frac{(x-3)}{(x-1)^3} e^x d x \\ =\int \frac{(x-1-2)}{(x-1)^3} e^x d x \\ =\int\left[\frac{x-1}{(x-1)^3}-\frac{2}{(x-1)^3}\right] e^x d x \\ =\int\left[\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{2}{(x-1)^3}\right] e^x d x
इसे भी दोनों तरीकों से किया जा सकता है।
प्रथम समाकल में \frac{1}{(x-1)^2} को प्रथम तथा e^x को द्वितीय फलन लेने पर:

=\frac{1}{(x-1)^2} \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{dx}\frac{1}{(x-1)^2} \int e^x d x \cdot d x-\int \frac{2 e^x d x}{(x-1)^3}+c\right. \\ =\frac{e^x}{(x-1)^2}+\int \frac{2 e^x}{(x-1)^3} d x-\int \frac{2 e^x}{(x-1)^3} d x+C \\ \Rightarrow I=\frac{e^x}{(x-1)^3}+C
विकल्पतःमाना f(x)=\frac{1}{(x-1)^2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{-2 x}{(x-1)^3} अतः \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x)  सूत्र से

\Rightarrow I=\frac{e^x}{(x-1)^2}+C
Illustration:21. e^{2 x} \sin x
Solution: e^{2 x} \sin x \\ I=\int e^{2 x} \sin x d x \\ \sin x को प्रथम तथा e^{2 x} को द्वितीय फलन लेने पर:

=\sin x \int e^{2 x} d x-\int\left[\frac{d}{d x} \sin x \int e^{2 x} d x\right] d x \\ =\sin x \cdot \frac{e^{2 x}}{2}-\int \cos x \cdot \frac{e^{2 x}}{2} d x+c
पुनः \cos x को प्रथम तथा e^{2 x} को द्वितीय फलन लेने पर:

=\frac{1}{2} e^{2 x} \sin x-\frac{1}{2} \cos x \int e^{2 x} d x+\frac{1}{2} \int\left[\frac{d}{2 x} \cos x \int e^{2 x} d x\right] d x+c \\ =\frac{1}{2} e^{2 x} \sin x-\frac{1}{4} e^{2 x} \cos x-\frac{1}{4} \int e^{2 x} \sin x d x+C \\ I=\frac{1}{2} e^{2 x} \sin x-\frac{1}{4} e^{2 x} \cos x-\frac{1}{4} I+C \\ \Rightarrow I+\frac{1}{4} I=\frac{1}{2} e^{2 x} \sin x-\frac{1}{4} e^{2 x} \cos x+C \\ \Rightarrow \frac{5}{4} I=\frac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)+C \\ \Rightarrow I=\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C
Illustration:22. \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)
Solution: \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) \\ I=\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x \\ \text{put } x=\tan \theta \Rightarrow d x=\sec ^2 \theta d \theta \\ =\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 \cdot \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) \sec ^2 \theta d \theta \\ =\int \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \sec ^2 \theta d \theta \\ \left[\because \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}=\sin 2 \theta\right] \\ =\int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta \\  \theta को प्रथम तथा \sec ^2 \theta को द्वितीय फलन लेने पर:
=2 \theta \int \sec ^2 \theta d \theta-2 \int\left[\frac{d}{d \theta}(\theta) \int \sec^2 \theta d \theta\right] d \theta+C \\ =2 \theta \tan \theta-2 \int \tan \theta d \theta+C\\ =2 \theta \tan \theta-2 \log (\sec \theta)+c \\ \theta का मान रखने पर:

=2 \tan^{-1} x \cdot \tan \left(\tan ^{-1} x\right)-2 \log (\sec \tan^{-1} x)+ C\\ \left[\because \tan ^{-1} x=\sec ^{-1}\left(1+x^2\right)\right] \\ =2 x \tan ^{-1} x-2 \log \left(\sec \sec^{-1} \left(1+x^2\right) \right)+C \\ \Rightarrow I=2 x \tan ^{-1} x-2 \log \left(1+x^2\right)+C
प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए:
Illustration:23. \int x^2 e^{x^3} d x बराबर है:

(A) \frac{1}{3} e^{x^3}+c (B) \frac{1}{3} e^{x^2}+c
(C) \frac{1}{2} e^{x^3}+C (D) \frac{1}{2} e^{x^2}+c
Solution: \int x^2 e^{x^3} d x \\ \text{ put } x^3=t \Rightarrow 3 x^2 d x=d t \\ =\int e^t \cdot \frac{d t}{3}+C \\ =\frac{1}{3} e^t+c \\ =\frac{1}{3} e^{x^3}+c
अतः विकल्प (A) सही है।
Illustration:24. \int e^x \sec x(1+\tan x) d x बराबर है ?

(A) e^x \cos x+C (B) e^x \sec x+C
(C) e^x \sin x+C (D) e^x \tan x+C
Solution:  \int e^x \sec x(1+\tan x) d x \\ =\int e^x(\sec x+\sec x \tan x) d x \\ =\int e^x \sec x d x+\int e^x \sec x \tan x d x
प्रथम समाकल में को प्रथम \sec x तथा e^x को द्वितीय फलन लेने पर और \int e^x \sec x \tan x d x को यथावत रखने पर:

=\sec x \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{dx} \sec x e^x d x\right] d x +\int e^x \sec x \tan x d x \\ =\sec x \cdot e^x-\int e^x \sec x \tan x d x+ \int e^x \sec x \tan x d x+c \\ =e^x \sec x+C
विकल्पतः
माना f(x)=\sec x \Rightarrow f^{\prime}(x)=\sec x \tan x \\ \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x)+c सूत्र से
\because \int e^x(\sec x+\sec x \tan x) d x \\ =e^x \sec x+c
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Integration by Parts Class 12),कक्षा 12 में खण्डशः समाकलन (Integration by Parts in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.खण्डश: समाकलन कक्षा 12 की समस्याएँ (Integration by Parts Class 12 Problems):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:

(1.) e^x\left(\log x+\frac{1}{x^2}\right)
(2.) \frac{\log x}{(1+\log x)^2}
उत्तर (Answers): (1.) e^x\left(\log x-\frac{1}{x}\right)+C
(2.) \frac{x}{(1+\log x)}+C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Integration by Parts Class 12),कक्षा 12 में खण्डशः समाकलन (Integration by Parts in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Integration by Partial Fractions 12th

4.खण्डश: समाकलन के कुछ विशिष्ट सूत्र (Some Specific Formulas of Integration by Parts):

Integration by Parts Class 12

(1.)I=\int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x) \right] d x \\=\int e^x f(x) d x+\int e^x f^{\prime}(x) d x
केवल प्रथम समाकल में e^x को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर:

I=f(x) \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{d x} f(x) \int e^x d x\right] d x+\int e^x \cdot f^{\prime}(x) d x \\ =f(x) \cdot e^x-\int f^{\prime}(x) \cdot e^x d x+\int e^x f^{\prime}(x) d x
अतः I=e^x f(x)+c \\ \Rightarrow \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x)+c 
(2.) I=\int\left[f(\log x)+f^{\prime}(\log x)\right] d x
माना \log x=t \Rightarrow x=e^t \Rightarrow d x=e^t d t
अतः I=\int e^t\left[f(t)+f^{\prime}(t) d t\right] \\ =e^t f(t)+C [(1) से ]

=x f(\log x)+c \\ \Rightarrow \int \left[f(\log x)+f^{\prime}(\log x)\right]=x f(\log x)+C
(3.) I=\int\left[x f^{\prime}(x)+f(x)\right] d x \\ =\int x f^{\prime}(x) d x+\int f(x) d x
केवल प्रथम समाकल में x को प्रथम फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर:

5.खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Integration by Parts Class 12),कक्षा 12 में खण्डशः समाकलन (Integration by Parts in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

खण्डश: समाकलन कक्षा 12 (Integration by Parts Class 12) के इस आर्टिकल में
दो फलनों के गुणनफल का समाकलन वाले सवालों को हल करना सीखेंगे।