1.बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Volume of Cylinder),बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9):

Imp Examples of Volume of Cylinder

बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cylinder) के इस आर्टिकल में बेलन के आयतन पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cylinder):

Example:1.एक लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई 7 सेमी और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है।इसका वक्रपृष्ठ,सम्पूर्ण पृष्ठ एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन की ऊँचाई (h)=7 सेमी
आधार की त्रिज्या (r)=3 सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 7=132$ वर्गसेमी
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 3(7+3) \\ =\frac{2 \times 22 \times 3 \times 10}{7} \\ =\frac{1320}{7} \\ \approx 188.57$  वर्गसेमी
बेलन का आयतन=$\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 7 \\ =198$ घनसेमी
Example:2.एक लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई 15 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 7 सेमी है।इसका वक्रपृष्ठ,सम्पूर्ण पृष्ठ एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन की ऊँचाई (h)=15 सेमी
आधार की त्रिज्या (r)=7 सेमी
बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 15 \\ =660$ वर्गसेमी
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 7(15+7) \\ =44 \times 22 \\ =968$ वर्गसेमी

बेलन का आयतन=$\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15 \\ =2310$ घनसेमी
Example:3.एक बेलन का आयतन $30 \pi$ घनसेमी तथा आधार का क्षेत्रफल $6 \pi$ वर्गसेमी है।बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का आयतन=$30 \pi$ घनसेमी
आधार का क्षेत्रफल=$6 \pi$ वर्गसेमी
बेलन की ऊँचाई= $\frac{\text { बेलन का आयतन }}{\text { बेलन के आधार का क्षेत्रफल }} \\ =\frac{30 \pi}{6 \pi} \\=5$ सेमी
Example:4.बेलन के एक सिरे का क्षेत्रफल 154 वर्गसेमी तथा इसकी ऊँचाई 21 सेमी है।बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन के एक सिरे का क्षेत्रफल
$\pi r^2$=154 वर्गसेमी
बेलन की ऊँचाई (h)=21 सेमी
बेलन का आयतन=बेलन के सिरे का क्षेत्रफल×ऊँचाई
=$\pi r^2 \times h \\ =154 \times 21 \\ =3234$ घनसेमी 
Example:5.एक बेलन का आयतन और वक्रपृष्ठ क्रमशः 1650 घनसेमी और 660 वर्गसेमी है।बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का आयतन $\pi r^2 h=1650 \cdots(1)$
बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल $2 \pi r h=660 \cdots(2)$
(1) में (2) का भाग देने पर:
$\frac{\pi r^2 h}{2 \pi r h}=\frac{1650}{660} \\ \frac{r}{2}=\frac{5}{2} \Rightarrow r=5$ सेमी
r का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$\frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times h=1650 \\ \Rightarrow h=\frac{1650 \times 7}{22 \times 5 \times 5} \\ =\frac{11550}{550} \\ =21 \\ \Rightarrow$ h=21 सेमी,r=5 सेमी
Example:6.काँच के एक बेलनाकार जार में 5390 घनसेमी पानी भरा जा सकता है।यदि इसकी भीतरी ऊँचाई 35 सेमी है,तो जार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनाकार जार का आयतन
$\pi r^2 h=5390 \\  h=35$ सेमी रखने पर:
$\frac{22}{7} \times r^2 \times 35=5390 \\ r^2= \frac{5390 \times 7}{22 \times 35} \\ = \frac{37730}{770} \\ = 49 \\ \Rightarrow r=\sqrt{49} \\ \Rightarrow r=7$ सेमी

Imp Examples of Volume of Cylinder

Example:7.एक 21मीटर गहरा और 6 मीटर व्यास वाला कुआँ बनाने के लिए कितने घनमीटर मिट्टी खोदनी पड़ेगी? यह भी ज्ञात कीजिए कि कुएँ की आन्तरिक सतह को 95 रुपये प्रति वर्गमीटर की दर से प्लास्टर करवाने का खर्च क्या होगा?
Solution:बेलनाकार कुएँ की गहराई (h)=21 मीटर
कुएँ की त्रिज्या (r)=$\frac{6}{2}$=3 सेमी
बेलनाकार कुएँ का आयतन=$\frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 21 \\ =\frac{4158}{7} \\ =594 =594$ घनमीटर
कुएँ के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 21 \\ =\frac{2772}{7} \\ =396$ वर्गसेमी
कुएँ की आन्तरिक सतह पर प्लास्टर करवाने का खर्च=396×95
=37620 रुपये
Example:8.एक खोखला बेलन दोनों सिरो से खुला हुआ है।उसकी ऊँचाई 20 सेमी है तथा अन्तःव्यास एवं बाह्य व्यास क्रमशः 26 सेमी और 30 सेमी है।इस खोखले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:खोखले बेलन की ऊँचाई (h)=20 सेमी
बेलन की अन्तःत्रिज्या $\left(r_2\right)=\frac{26}{2}$=13 सेमी
बेलन की बाह्य त्रिज्या $\left(r_1\right)=\frac{30}{2}$=15 सेमी
खोखले बेलन का आयतन=$\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) h \\ =\frac{22}{7} \times \left(15^2-13^2\right) \times 20 \\ =\frac{22}{7} \times(225-169) \times 20 \\ =\frac{22}{7} \times 56 \times 20 \\ =\frac{24640}{7} \\ =3520$ घन सेमी 
Example:9.एक बेलनाकार बर्तन में 30800 घनसेमी पानी भरा जा सकता है।यदि बर्तन की भीतरी त्रिज्या 14 सेमी है,तो उसका भीतरी वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनाकार बर्तन का आयतन =$\pi r^2 h =30800$
r=14 सेमी रखने पर:
$\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h=30800 \\ h=\frac{30800 \times 7}{22 \times 14 \times 14} \\ =\frac{215600}{4312} \\ \Rightarrow h=50$ सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 50 \\ =\frac{30800}{7} \\=4400$ वर्गसेमी
Example:10.एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्गसेमी है।इसका वक्रपृष्ठ,सम्पूर्ण पृष्ठ का आधा है तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

$2 \pi r(h+r)=616 \cdots(1)$
बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल

$2 \pi r h=308 \cdots(2)$
समीकरण (1) में (2) से मान रखने पर:
$2 \pi r h+2 \pi r^2=616 \\ \Rightarrow 308+2 \pi r^2=616 \\ \Rightarrow 2 \pi r^2=616-308 \\ \Rightarrow 2 \pi r^2=308 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^2=308 \\ \Rightarrow r^2=\frac{308 \times 7}{2 \times 22} \\ \Rightarrow r^2=\frac{2156}{44} \\ \Rightarrow r^2=49 \\ \Rightarrow r=\sqrt{49} \\ \Rightarrow r=7$ सेमी
r का मान समीकरण (2) में रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h=308 \\ \Rightarrow h=\frac{308}{2 \times 22}=\frac{308}{44} \\ \Rightarrow h=7$ सेमी
बेलन का आयतन=$\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \\ =1078$ घन सेमी
Example:11.20 मीटर गहरा तथा 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया है।इससे निकली मिट्टी से 22 मी×14 मी माप का एक चबूतरा बनाया गया है।चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनाकार कुएँ का आयतन
=$\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20 \\ =770$  घनमीटर
आयताकार चबूतरे का आयतन=lbh
=22×14×h
=308h
चबूतरे का आयतन=कुएँ का आयतन
$308 h=770 \\ h=\frac{770}{308} \\ \Rightarrow h=2.5$ मीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cylinder),बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9) को समझ सकते हैं।

3.बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Volume of Cylinder):

Imp Examples of Volume of Cylinder

(1.)एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 1:3 है।यदि बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ 1232 वर्गसेमी है,तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
(2.)एक आयताकार कागज का टुकड़ा 30सेमी×18सेमी नाप का है।इसे लम्बाई तथा चौड़ाई की ओर मोड़कर बेलन बनाए जा सकते हैं।दोनों तरफ से प्राप्त बेलनों के आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)3234 घनसेमी (2.)5:3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cylinder),बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Volume of Cylinder),बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बेलन का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cylinder) के इस
आर्टिकल में बेलन के आयतन पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का
प्रयास करेंगे।