Derivative of vectors

1.सदिशों का अवकलज (Derivative of vectors):

Derivative of vectors

• सदिशों का अवकलज (Derivative of vectors) के इस आर्टिकल में दो सदिशों के अदिश गुणनफल को एक उदाहरण द्वारा समझाया गया है।
  माना r=f(t), अदिश चर t का एकमानी एवं एकमानी फलन है।
  माना t में लघुवृद्धि \delta{t} होने पर r में संगत वृद्धि \delta{r} होगी।
  यदि \delta{t}\rightarrow{0} होने पर अनुपात \frac{\delta{r}}{\delta{t}} का सीमान्त मान अस्तित्वमय है तो \frac{dr}{dt} से प्रकट करते हैं और यह r का t के सापेक्ष अवकल गुणांक (differential coefficient) या अवकलज (derivative) कहलाता है।
  अतः अब \frac{dr}{dt}=\lim_{\delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\delta{r}}{\delta{t}}
  \frac{dr}{dt}=\lim_{\delta{t}\rightarrow{0}}\frac{(r+\delta{r})-(r)}{\delta{t}}
  \frac{dr}{dt}=\lim_{\delta{t}\rightarrow{0}}\frac{f(r+\delta{r})-f(r)}{\delta{t}}
  अककल गुणांक को ज्ञात करने के प्रक्रम को अवकलज (differentiation) कहते हैं।
• इस आर्टिकल में Derivative of vectors के बारे में उदाहरण के द्वारा समझाया गया है।इसका अर्थ है कि किसी सदिश का अवकलज ज्ञात करना। सामान्य अवकलज की तरह सदिश का अवकलज ज्ञात किया जाता है फर्क सिर्फ इतना है कि इसमें दिशा का ध्यान रखना होता है।जब किसी एक चर के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं तो अन्य चरों को अचर मान लिया जाता है।
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2.दो सदिशों के अदिश गुणनफल का अवकलज (Derivative of Scalar Product of Two Vectors):

Derivative of vectors

• माना r=a.b
  जहाँ a और b अदिश चर t के अवकलनीय फलन हैं।
  अदिश चर t में लघुवृद्धि \delta{t} होने पर a और b में संगत वृद्धि \delta{a} और \delta{b} मानी जाएं तो
  r+\delta{r}=(a+\delta{a}).(b+\delta{b})
  \delta{r}=a.\delta{b}+\delta{a}.b+\delta{a}.\delta{b})
  दोनों पक्षों में \delta{t} का भाग देने पर:
  \frac{\delta{r}}{\delta{t}}=a.\frac{\delta{b}}{\delta{t}}+\frac{\delta{a}}{\delta{t}}.b+\frac{\delta{a}.\delta{b}}{\delta{t}}
  जब \delta{t}\rightarrow{0} तब सीमा \delta{t}\rightarrow{0} लेने पर,
  \frac{dr}{dt}=\lim_{{\delta{t}\rightarrow{0}}}\frac{\delta{r}}{\delta{t}}
  \Rightarrow \frac{dr}{dt}=\underset{\delta \to 0}{Lt}[a.\frac{\delta{b}}{\delta{t}}+\frac{\delta{a}}{\delta{t}}.b+\frac{{\delta{a}}{\delta{b}}}{\delta{t}}]
  =\underset{\delta \to 0}{Lt} a.\frac{\delta{b}}{\delta{t}}+\underset{\delta \to 0}{Lt}\frac{\delta{a}}{\delta{t}}.b+\underset{\delta \to 0}{Lt}\frac{\delta{a}}{\delta{b}}{\delta{t}}
  =a.\frac{db}{dt}+\frac{da}{dt}.b+0 \left[\because {\delta{t}\rightarrow {0}}\Rightarrow \delta{b}\rightarrow{0}\right]
  \therefore \frac{d}{dt}(a.b)=a.\frac{db}{dt}+\frac{da}{dt}.b
  विशेष स्थिति:यदि a=b तब \frac{d}{dt}(a^{2})=2a.\frac{da}{dt}

Derivative of vectors

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• उपर्युक्त आर्टिकल में सदिशों का अवकलज (Derivative of vectors) के बारे में बताया गया है।