1.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of 1st Order But Not of 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (Differential Equations of First Order But Not of First Degree):

DE of 1st Order But Not of 1st Degree

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of 1st Order But Not of 1st Degree)के इस आर्टिकल में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों,समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों से सम्बन्धित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों पर आधारित उदाहरण (Examples Based on DE of 1st Order But Not of 1st Degree):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. p^3(x+2 y)+3 p^2(x+y)+(y+2 x) p=0
Solution: p^3(x+2 y)+3 r^2(x+y)+(y+2 x)p=0 \\ p\left[p^2(x+y)+3 p(x+y)+(y+2 x)\right]=0 \\ p=0, p^2(x+y)+3 p(x+y)+(y+2 x)=0
जब  p=0 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow y=e \Rightarrow y-c=0 \cdots(1)
जब p^2(x+2 y)+3 p(x+y)+(y+2 x)=0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने पर:

p=\frac{-3(x+y) \pm \sqrt{\{3(x+y)\}^2-4 x(x+2 y)(y+2 x)}}{2 \times(x+2 y)} \\ =\frac{(-3 x-3 y) \pm \sqrt{\left(9 x^2+3 y^2+18 x y-8 x^2-8 y^2-20xy\right)}}{2(x+2 y)} \\ =\frac{(-3 x-3 y) \pm \sqrt{\left(x^2 +y^2-2 x y\right)}}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-3 x-3 y \pm \sqrt{(x-y)^2}}{2(x+2 y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-3 x-3 y \pm(x-y)}{2(x+2 y)} \cdots(2)
(2) में धनात्मक चिन्ह लेने परः

\frac{d y}{d x} =\frac{-3 x-3 y+x-y}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-2 x-4 y}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-2(x+2 y)}{2(x+2 y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-1 \\ \Rightarrow \int d y=-\int 1 \cdot d x \\ \Rightarrow y=-x+c \\ \Rightarrow 4+x-c=0 \cdots(3)
पुनः (2) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{-3 x-3 y-(x-y)}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-3 x-3 y-x+y}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-4 x-2 y}{2(x+2 y)} \\ =\frac{-2(2 x+y)}{2(x+2 y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-2 x-y}{x+2 y}
यह एक समघात अवकल समीकरण है,अतः इसमें y=vx लेने पर:

\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{2 x-v x}{x+2 v x} \\ =\frac{x(-2-v)}{x(1+2 v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-2-v}{1+2 v}-v \\ =\frac{-2-v-v-2 v^2}{1+2 v} \\ =-\frac{2\left(1+ v+v^2\right)}{1+2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{1+2 v}{1+v+v^2}=\int \frac{-2}{x} d x \\ \Rightarrow \log \left(1+v+v^2\right)=-2 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1+v+v^2\right)=\log \frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow 1+v+v^2=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow 1+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{x^2+x y+y^2}{x^2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow\left(x^2+x y+y^2-c\right)=0
इसलिए (1),(3) व (4) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

(y-c)(y+x-c)\left(x^2+x y+y^2-c\right)=0
Example:2. p^2+p x+p y+x y=0
Solution: p^2+p x+p y+x y=0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने पर:

p=\frac{-(x+y) \pm \sqrt{(x+y)^2-4 \times 1 \times x y}}{2 \times 1} \\ =\frac{-x-y \pm \sqrt{x^2+y^2+2 x y-4 x y}}{2} \\ =\frac{-x-y \pm \sqrt{x^2+y^2-2 x y}}{2} \\ =-x-y \pm \sqrt{(x-y)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-x-y^2 \pm(x-y)}{2} \cdots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{-x-y+x-y}{2} \\ =\frac{-2 y}{2} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=-\int d x \\ \Rightarrow \log y=-x+c \\ \Rightarrow \log y+x-c=0 \cdots(2)
पुनः (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x}=-\frac{x-y-(x-y)}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x-y-x+y}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-2 x}{2} \\ \Rightarrow \int d y=-\int x \\ \Rightarrow 2 y=-x^2+c \\ \Rightarrow 2 y+x^2-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

(\log y+x-c) \left(2 y+x^2-c\right)=0
Example:3. p^2-2 p \cosh x+1=0
Solution: p^2-2 p \cosh x+1=0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने पर:

p=\frac{-(-2 \cosh x) \pm \sqrt{(-2 \cosh x)^2-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \\=\frac{2 \cosh x \pm \sqrt{4 \cosh ^2 x-4}}{2} \\=\frac{2 \cosh x \pm \sqrt{\left.4 \cosh ^2 x-1\right)}}{2} \\=\frac{2 \cosh x \pm 2 \sqrt{\sinh ^2 x}}{2} \\=\frac{2 \cosh x \pm 2 \sqrt{\sinh ^2 x}}{2} \\ =\frac{2 \cosh x \pm 2 \sinh x}{2} \\ =\frac{2(\cosh x \pm \sinh x)}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\cosh x \pm \sinh x \cdots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x} =\cosh x+\sinh x \\ =\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^x}{2} \\ \Rightarrow \int d y =\int e^x d x \\ y=e^x+c \\ y -e^x-c=\cdots(2)
पुनः (1)  में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x} =\cosh x-\sinh x \\ =\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right) \\ =\frac{e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x}}{2}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{-x} \\ \Rightarrow \int d y=\int e^{-x} d x \\ \Rightarrow y=-e^{-x}+c \\ \Rightarrow y+e^{-x}-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(y-e^x-c\right)\left(y+e^{-x}-c\right)=0
Example:4. 4 x p^2=(3 x-a)^2
Solution: 4 x p^2=(3 x-a)^2 \\ \Rightarrow p =\frac{(3 x-a)^2}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{3 x-a}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \int d y=\frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x-\frac{a}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} d x \\ \Rightarrow y+c=\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2}}-\frac{a}{2} \times \frac{2}{1} x^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow y+c=x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}} a \\ \Rightarrow y+c=x^{\frac{1}{2}}(x-a) \\ \Rightarrow(y+c)^2=x(x-a)^2
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Example:5. 4 p^2 x(x-a)(x-b)=\left[3 x^2-2(a+b) x+a b\right]^2
Solution: 4 p^2 x(x-a)(x-b)=\left[3 x^2-2(a+b) x+a b\right]^2 \\ \Rightarrow p=\frac{\left[3 x^2-2(a+b) x+a b\right]}{2 \sqrt{x(x-a)(x-b)}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2-2(a+b) x+a b}{2 \sqrt{x^3-(a+b) x^2+a b x}} \\ \Rightarrow \int d y=\frac{1}{2} \int \frac{3 x^2-2(a+b) x+a b}{\sqrt{x^3-(a+b) x^2+a b x}} d x \\ \text { Put } x^3-(a+b) x^2+a b x=t \\ \left[3 x^2-2(a+b) x+a b\right] d x=d t \\ \Rightarrow \int d y=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \times \frac{2}{1} \sqrt{t}+c \\ \Rightarrow y=\sqrt{t} \\ y-c=\sqrt{x^3-(a+b) x^2+a b x} \\ \Rightarrow(y-c)^2=x(x-a)(x-b)
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Example:6. y p^2+(x-y) p-x =0
Solution: y p^2+(x-y) p-x =0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने पर:

p=\frac{-(x-y) \pm \sqrt{(x-y)^2-4 \times y \times -x}}{2 x y} \\ =\frac{-x+y \pm \sqrt{x^2+y^2-2 x y+4 x y}}{2 y} \\ =\frac{-x+y \pm \sqrt{x^2+y^2+2 x y}}{2 y} \\ =\frac{-x+y \pm \sqrt{(x+y)^2}}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-x+y \pm(x+y)}{2 y}-\cdots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{-x+y+x+y}{2 y} \\ =\frac{2 y}{2 y} \\ \Rightarrow \int d y= \int d x \\ \Rightarrow y-x+c \\ \Rightarrow y-x-c=0 \cdots(2)
पुनः (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{-x+y-(x+y)}{2 y} \\ =\frac{-x+y-x-y}{2 y} \\ =\frac{-2 x}{2 y} \\ \Rightarrow 2 \int y d y=-2 \int x d x \\ \Rightarrow y^2=-x^2+c \\ \Rightarrow x^2+y^2-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

DE of 1st Order But Not of 1st Degree

Example:7. p^3-\left(x^2+x y+y^2\right) p^2+\left( x^3 y+x^2 y^2+ x y^3\right) p-x^3 y^3=0
Solution: p^3-\left(x^2+x y+y^2\right) p^2+\left( x^3 y+x^2 y^2+ x y^3\right) p-x^3 y^3=0 \\ \Rightarrow p^3-x^3 y^3-\left(x^2+x y+y^2\right) p^2+x y\left(x^2+x y+y^2\right) p=0 \\ \Rightarrow (p-x y)\left(p^2+p x y+x^2 y^2\right)-\left(x^2+x y+y^2\right)p(p-x y)=0 \\ \Rightarrow(p-x y) \left(p^2+p x y+x^2 y^2-p x^2-p x y-p y^2\right)=0 \\ \Rightarrow(p-x y)\left(p^2+x^2 y^2-p^2-p y^2\right)=0 \\ p-x y=0, p^2-p\left(x^2+y^2\right)+x^2 y^2=0 \\ p-x y=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=x y \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=\int x d x \\ \Rightarrow \int^{d x} \frac{d y}{y}=\int x d x \\ \Rightarrow \log y+\log c=\frac{1}{2} x^2 \\ \Rightarrow \log c y=\frac{1}{2} x^2 \\ \Rightarrow c y=e^{\frac{1}{2} x^2} \\ \Rightarrow c y-e^{\frac{1}{2} x^2}=0 \cdots(1) \\ p^2-p\left(x^2+y^2\right)+x^2 y^2=0
यह समीकरण p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) है अतः हल करने पर:

p=\frac{x^2+y^2 \pm \sqrt{\left[-\left(x^2+y^2\right)\right]^2-4 \times 1 \times x^2 y^2}}{2 \times 1} \\ =\frac{x^2+y^2 \pm \sqrt{\left(x^4+y^4+2 x^2 y^2-4 x^2 y^2\right)}}{2} \\ =\frac{x^2+y^2 \pm \sqrt{\left(x^4+y^4-2 x^2 y^2\right)}}{2} \\ =\frac{x^2+y^2 \pm \sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2}}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{x^2+y^2 \pm\left(x^2+y^2\right)}{2} \cdots(2)
(2) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2+x^2-y^2}{2} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2 x^2}{2} \\ \Rightarrow 3 \int d y=3 \int x^2 d x \\ 3 y=x^3+c \\ \Rightarrow x^3-3 y+c=0 \cdots(3)
पुनः (2) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2-\left(x^2-y^2\right)}{2} \\ =\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{2} \\ =\frac{2 y^2}{2} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y^2}=\int d x \\ -\frac{1}{y}=x+c \\ \Rightarrow x y+c y+1=0 \cdots(4)
इसलिए (1),(3) और (4) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(c y-e^{\frac{1}{2} x^2}\right)\left(x^3-3 y+c\right)(x y+c y+1)=0
Example:8. \left(a^2-x^2\right) p^3+b x\left(a^2-x^2\right) p^2-p-b x=0
Solution: \left(a^2-x^2\right) p^3+b x\left(a^2-x^2\right) p^2-p-b x=0 \\ \Rightarrow\left(a^2-x^2\right) p^2(p+b x)-1(p+b x)=0 \\ \Rightarrow(p+b x)\left[\left(a^2-x^2\right) p^2-1\right]=0 \\ p+b x=0, \quad\left(a^2-x^2\right) p^2-1=0 \\ p=-b x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-b x \\ \int d y=-\int b x d x \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{2} b x^2+c \\ \Rightarrow y+\frac{1}{2} b x^2-c=0 \cdots(1) \\ \left(a^2-x^2\right) p^2-1=0 \\ \Rightarrow\left(a^2-x^2\right) p^2=1 \\ \Rightarrow p^2=\frac{1}{a^2-x^2} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \\ \Rightarrow \int d y=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} d x \\ \Rightarrow y=\sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)+c \\ \Rightarrow y-c=\sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \\ \Rightarrow \frac{x}{a}-\sin (y-c)=0 \cdots(2)
इसलिए (1) और (2) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(y+\frac{1}{2} b x^2-c\right)\left[\frac{x}{a}-\sin (y-c)\right]=0
Example:9. y=x p^2+p
Solution: y=x p^2+p \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=p^2+2 x p \frac{d p}{d x}+\frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p^2+(2 x p+1) \frac{d p}{d x}\left[\because \frac{d y}{d x}=p\right] \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}+\frac{2 p x}{p(p-1)}=-\frac{1}{p^2-p} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}+\frac{2 x}{p-1}=-\frac{1}{p(p-1)}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तथा इसमें x आश्रित चर है तथा p स्वतन्त्र चर है।

\therefore \text{I.F.} =e^{\int \frac{2}{p-1} d p} \\ =e^{2 \log (p-1)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=(p-1)^2
अतः (2) का अभीष्ट हल होगा:

x \cdot(p-1)^2 =\int(p-1)^2 x-\frac{1}{p(p-1)^2} d p+c \\ =-\int \frac{p-1}{p} d p+c \\ =-\int 1 \cdot d p+\int \frac{1}{p} d p+c \\ \Rightarrow x(p-1)^2 =c-p+\log p \cdots(3)
(1) व (3) में से p का विलोपन करना आसान नहीं है इसलिए (3) से x का मान (1) में रखने पर:

y=p^2\left(\frac{c-p+\log p}{(p-1)^2}\right)+p \\ \Rightarrow y(p-1)^2=p^2(c-p+\log p)+p(p-1)^2 \cdots(4)
अतः सम्बन्ध (3) व (4) मिलकर अभीष्ट हल प्रदान करते हैं।
Example:11. y=3 x+a \log p
Solution: y=3 x+a \log p \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x} =3+\frac{a}{b} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=3+\frac{a}{b} \frac{d p}{d x}\left[\because \frac{d y}{d x}=p\right] \\ \Rightarrow p-3=\frac{a}{b} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow d x=\frac{a}{p(p-3)} d p \\ \int d x=\int\left[-\frac{a}{3 p}+\frac{a}{3(p-3)}\right] dp \\ \Rightarrow 3 x=-a \log p+\log (p-3)+\log C \\ \Rightarrow \frac{3 x}{a}=\log \frac{(p-3) c_1}{p} \\ \Rightarrow \frac{(p-3)}{p}=\frac{1}{C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}} \\ \Rightarrow 1-\frac{3}{p}=\frac{1}{C_1} e^{\frac{3 x}{a}} \\ \Rightarrow \frac{3}{p}=\left(1-\frac{1}{C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}}\right) \\ \Rightarrow p=\frac{3}{\left(1-\frac{1}{C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}}\right)}
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=3 x+a \log \frac{3}{\left(1-\frac{1}{C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}}\right)} \\ \Rightarrow y=3 x-a \log \left(\frac{1-\frac{1}{C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}}}{3}\right) \\ \Rightarrow y=3 x-a \log \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3C_{1}} e^{\frac{3 x}{a}}\right) \\ \Rightarrow y=3 x-a \log \left(\frac{1}{3}-C e^{\frac{3 x}{a}}\right)
Example:12. y=b+\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}
Solution: y=b+\frac{1}{\sqrt{1+p^2}} \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

(1) से
(y-b)^2=\frac{1}{1+p^2} \cdots(3)
(2) व (3) से जोड़े पर:
\Rightarrow(x+c)^2+(y-b)^2=\frac{p^2}{1+p^2}+\frac{1}{1+p^2} \\\Rightarrow(x+c)^2+(y-b)^2=\frac{1+p^2}{1+p^2} \\ \Rightarrow(x+c)^2+(y-b)^2=1
जो कि दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Example:13. p^3+m p^2=a(y+m x)
Solution: p^3+m p^2=a(y+m x)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\left(3 p^2+2 m p\right) \frac{d b}{d x}=a\left(\frac{d y}{d x}+m\right) \\ \left(3 p^2+2 m p\right) \frac{d r}{d x}=a\left(\frac{d y}{d x}+m\right) \\ \left(\frac{3 p^2+2 m p}{m+p}\right) d p=a d x \quad \left[\because \frac{d y}{dx}=p\right] \\ \Rightarrow \int\left(3 p-m+\frac{m^2}{m+p}\right) d p=\int a d x \\ \Rightarrow \frac{3}{2} p^2-m p+m^2 \log (m+p)=a x+c \\ \Rightarrow a x+c=\frac{3}{2} p^2-m p+m^2 \log (m+p)
दिए हुए समीकरण के साथ
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of 1st Order But Not of 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों की समस्याएँ (DE of 1st Order But Not of 1st Degree Problems):

DE of 1st Order But Not of 1st Degree

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) 4 p^2+3 p x=y
(2.) x-y p=a p^2
उत्तर (Answers): (1.) x=-\frac{12}{7} p^2+\frac{c}{3} p^{-\frac{3}{2}}
(2.) y=\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}\left(c+a \sin ^{-1} p\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of 1st Order But Not of 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Frequently Asked Questions Related to DE of 1st Order But Not of 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of 1st Order But Not of
1st Degree) के इस आर्टिकल में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों,समीकरण जो y
के लिए हल होने योग्य हों से सम्बन्धित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।