1.गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apse in Dynamics),स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance):

Apse in Dynamics

गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apse in Dynamics) के इस आर्टिकल में स्तब्धिका दूरी,स्तब्धिका कोण आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में स्तब्धिका के उदाहरण (Apse in Dynamics Examples):

Example:6.एक कण केन्द्रीय त्वरण=\frac{\mu}{\text{(दूरी)}^5} से गतिशील है और इसे a दूरी से स्तब्धिका से ऐसे वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है कि वह अनन्त दूरी से उस बिन्दु तक गिरने में प्राप्त वेग के n गुणा है,प्रदर्शित करो कि दूसरी स्तब्धिका दूरी \frac{a}{\sqrt{\left(n^2-1\right)}} है।यदि n=1 और कण को किसी भी दिशा में प्रक्षिप्त किया जाए तो सिद्ध करो कि कण का पथ बल केन्द्र में होकर जाने वाला एक वृत्त है।
(A particle moves with a central acceleration=\frac{\mu}{\text{(distance)}^5}, and is projected from an apse at a distance a with a velocity equal to n times that which would be acquired in falling from infinity; show that the other apsidal is \frac{a}{\sqrt{\left(n^2-1\right)}}.If n=1 and the particle be projected in any direction,show that the path is a circle passing through the centre of force.)
Solution: h^2 u^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=P=\mu u^5 \\ \therefore h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\mu u^3
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने पर:

h^2 \cdot 2 \frac{d u}{d \theta}\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\mu u^3 \cdot 2 \frac{d u}{d \theta} \\ \Rightarrow v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\mu \frac{u^4}{2}+A \cdots(1)
जब r=\infty ,i.e. u=0 तब v=0
\therefore A=0
अतः v^2=\frac{\mu}{2} u^4
स्तब्धिका पर वेग V^2=\frac{\mu}{2} \cdot \frac{1}{a^4} \\ \therefore V=\sqrt{\left(\frac{\mu}{2 a^4}\right)}
पुनः कण को स्तब्धिका से nV वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है और तब हम जानते हैं कि

u=\frac{1}{a}, \frac{d u}{d \theta}=0
समीकरण (1) में रखने पर:
\Rightarrow n^2 v^2=\left[\frac{\mu}{2 a^4}+A\right] \\ \Rightarrow n^2 \frac{\mu}{2 a^4}-\frac{\mu}{2 a^4}=A \\ \Rightarrow \frac{\mu}{2 a^4}\left(n^2-1\right)=A तथा  n^2 V^2=h^2\left[\frac{1}{a^2}+0\right] \\ \Rightarrow n^2 \frac{\mu}{2 a^4} \cdot a^2=h^2 \\ \Rightarrow \frac{n^2 \mu}{2 a^2}=h^2
समीकरण (1) में A तथा h^2 का मान रखने पर:

\frac{n^2 \mu }{2 a^2}\left[\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2+u^2\right]=\mu \frac{u^4}{2}+ \frac{\mu}{2 a^4}\left(n^2-1\right)
दोनों पक्षों से हटाने \frac{\mu}{2} तथा \frac{a^2}{n^2} से गुणा करने पर:

\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\frac{a^2}{n^2}\left[u^4+\frac{1}{a^4}\left(n^2-1\right)\right]-u^2 \\ =\frac{1}{n^2 a^2}\left(a^2 u^4-n^2 a^2 u^2+\left(n^2-1\right)\right] \cdots(2)
स्तब्धिका पर: \frac{d u}{d \theta}=0 \\ a^2 u^4-n^2 a^2 u^2+\left(n^2-1\right)=0 \cdots(3)
उपर्युक्त समीकरण से स्तब्धिका दूरी प्राप्त होती है
u=\frac{1}{r}  रखने पर:

x^4\left(n^2-1\right)-n^2 a^2 r^2+a^4=0
यह r^2 में द्विघात समीकरण है और यदि इसके मूल r_1^2 व r_2^2 हैं तो

r_1^2 r_2^2=\frac{a^4}{n^2-1} \\ \Rightarrow r_1 r_2 =\frac{a^2}{\sqrt{n^2-1}}
प्रथम स्तब्धिका दूरी a है अतः
r_1=a रखने पर:

a r_2=\frac{a^2}{\sqrt{n^2-1}} \Rightarrow r_2=\frac{a}{\sqrt{n^2-1}}
पुनः यदि n=1 तब (2) से:

\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\frac{1}{a^2}\left(a^4 u^4-a^2 u^2\right) \\ =u^2\left(a^2 u^2-1\right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=u \sqrt{a^2 u^2-1} \\ \Rightarrow \frac{a d u}{a u \sqrt{a^2 u^2-1}}=d \theta
समाकलन करने पर:

\sec ^{-1}(a u)=\theta+B \\ \left[\because \int \frac{d x}{x \sqrt{x-1}}=\sec ^{-1} x\right]
जब u=\frac{1}{a} तब माना \theta=\alpha \\ \therefore \beta=-\alpha \\ \sec ^{-1}(a u)=\theta-\alpha \\ \Rightarrow \sec (\theta-\alpha)=a u \\ \Rightarrow \frac{a}{r}=\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)} \\ \Rightarrow r=a \cos (\theta-\alpha)
जो कि ध्रुव से गुजरने वाले वृत्त के समीकरण को प्रदर्शित करता है।
Example:7.एक कण केन्द्रीय बल m \lambda\left(3 a^3 u^4+8 a u^2\right)  के अधीन गतिशील है।इसको बल केन्द्र से a दूरी पर स्तब्धिका से \sqrt{(10 \lambda)} वेग से प्रक्षिप्त किया गया है।प्रदर्शित करो कि द्वितीय स्तब्धिका दूरी पहले से आधी है और पथ का समीकरण निम्न है:

2 r=a\left[1+\operatorname{sech}\left(\frac{\theta}{\sqrt{5}}\right)\right]
(A particle moves under a central force m \lambda\left(3 a^3 u^4+8 a u^2\right)  ;it is projected from an apse at a distance a from the centre of force with velocity \sqrt{(10 \lambda)} ; show that the second apsidal distance is half the first and that the equation to the path is)

2 r=a\left[1+\operatorname{sech}\left(\frac{\theta}{\sqrt{5}}\right)\right]
Solution: h^2 u^2 \cdot\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=P=\lambda\left(3 a^3 u^4+8 a u^2\right) \\ \Rightarrow h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=\lambda\left(3 a^3 u^2+8 a\right)
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने पर:

\int h^2 \cdot 2 \frac{d u}{d \theta}\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)= \int \lambda (3a^3 u^2+8 a) 2 \frac{d u}{d \theta} \\ \Rightarrow v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right] =\lambda \left(2 a^2 u^3+16 a u\right)+A
प्रारम्भ में u=\frac{1}{a}, \frac{d u}{d \theta}=0, v^2=10 \lambda \\ \therefore 10 \lambda= h^2\left[\frac{1}{a^2}+0\right]=\lambda(2+16)+A \\ \therefore h^2=10 a^2 \lambda तथा A=-8 \lambda \\ 10 \lambda a^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\lambda\left(2 a^3 u^2+16 a u-8\right) \\ \Rightarrow 5 a^2\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\left(a^3 u^3-5 a^2 u^2+8 a u-u\right) \\ =(a u-1)\left(a^2 u^2-4 a u+4\right) \\ =(a u-1)(a u-2)^2 \\ \Rightarrow \int \frac{a d u}{(a u-2) \sqrt{(a u-2)}}= \int \frac{d \theta}{\sqrt{5}} \\ \text { Put } a u-1=t^2 \Rightarrow a d u=2 t d t \\ \therefore \int \frac{2 t d t}{t\left(t^2-1\right)}=\frac{\theta}{\sqrt{5}}+B \\ \Rightarrow \int \frac{2 d t}{\left(t^2-1\right)} =\frac{\theta}{\sqrt{5}}+B \\ \Rightarrow 2 \tanh^{-1} (t)=\frac{\theta}{\sqrt{5}}+B
जब u=\frac{1}{a}, t=a u-1  तथा \theta=0, B=0 \\ \therefore \tanh^{-1} (0)=0 \\ \therefore \sqrt{(a u-1)}=\tanh \left(\frac{\theta}{2 \sqrt{5}}\right) \\ \cos \theta=\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}
तथा \cosh \theta=\frac{1+\tanh ^2 \frac{\theta}{2}}{1-\tanh ^2 \frac{\theta}{2}} \\ \therefore \cosh \left(\frac{\theta}{\sqrt{5}}\right) =\frac{1+\tanh ^2\left(\frac{\theta}{2 \sqrt{5}}\right)}{1-\tanh ^2 \left(\frac{\theta}{2 \sqrt{5}}\right)} \\ =\frac{1+(a u-1)}{1-(a u-1)} \\ \therefore \sec \left(\frac{\theta}{\sqrt{5}}\right)=\frac{2-a u}{a u}=\frac{2 r-a}{a} \\ \therefore 2 r=a\left(1+\operatorname{sech} \frac{\theta}{\sqrt{5}}\right)
दूसरी स्तब्धिका दूरी के लिए हम जानते हैं कि

\frac{d u}{d \theta}=0 \Rightarrow(a u-1)(a u-2)^2=0 \\ \therefore u=\frac{1}{a}, \frac{2}{a} \Rightarrow r=a \text { या } \frac{a}{2}
अतः दूसरी स्तब्धिका दूरी \frac{a}{2} है जो प्रारम्भ की आधी है।

Apse in Dynamics

Example:8.एक कण जो सकेन्द्र कक्षा में केन्द्रीय त्वरण \mu u^3-\lambda u^5 से रचना करता है,को a दूरी पर स्तब्धिका से ऐसे वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है कि वह अनन्त से वेग के बराबर है,प्रदर्शित करो कि इसका पथ है

r=a \cosh \left(\frac{\theta}{n}\right) ,जहाँ n^2+1=\left(\frac{2 \mu a^2}{\lambda}\right)
साथ ही यह भी सिद्ध करो कि यह निम्न समय के अन्त पर कण r दूरी पर होगा

\sqrt{\left(\frac{a^2}{2 \lambda}\right)}\left[a^2 \log \left(\frac{\left(r+\sqrt{\left(r^2-a^2 \right)}\right.}{a}\right)+r \sqrt{\left(r^2-a^2\right)}\right]
(A particle describes an orbit with a central acceleration \mu u^3-\lambda u^5, being projected from an apse at distance a with a velocity equal to that from infinity ;show that its path is

\sqrt{\left(\frac{a^2}{2 \lambda}\right)}\left[a^2 \log \left(\frac{\left(r+\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}\right.}{a}\right)+r \sqrt{\left(r^2-a^2\right)}\right]
Solution:माना अनन्त पर वेग V है,तब

\frac{d v}{d x}=-P \\ \Rightarrow \int_0^V v d v=-\int_{\infty}^a\left(\frac{\mu}{x^3}-\frac{\lambda}{x^5}\right) d x \\ \left[\because u=\frac{1}{r}=\frac{1}{x}\right] \\ \therefore \frac{v^2}{2}=\frac{\mu}{2 a^2}-\frac{\lambda}{4 a^4} \\ \Rightarrow V^2=\frac{\lambda}{2 a^4}\left\{\frac{2 \mu a^2}{\lambda} -1\right\}=\frac{\lambda n^2}{2 a^4} \cdots(1)
परन्तु \Rightarrow v^2=h^2\left\{u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right\}=\mu u^2-\lambda \frac{u^4}{2}+C
प्रारम्भ में u=\frac{1}{a},v^2=V^2=\frac{\lambda n^2}{2 a^4} [(1) से]
तथा \frac{d u}{d \theta}=0 \\ \therefore \frac{\lambda}{2 a^4} n^2=h^2\left[\frac{1}{a^2}+0\right] =\frac{\mu}{a^2}-\frac{\lambda}{2 a^4}+C \\ =\frac{\lambda}{2 a^4}\left[\frac{2 \mu a^2}{\lambda}-1 \right] +C \\ =\frac{\lambda}{2 a^4} n^2+c \\ \therefore h^2=\frac{\lambda}{2 a^2} \cdot n^2
तथा C=0
समीकरण (2) में h^2 तथा C का मान रखने पर:
\frac{\lambda}{2 a^2} n^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{\lambda}{2}\left[\frac{2 \mu}{\lambda} u^2-u^4\right] \\ \Rightarrow n^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta} \right)^2 \right] =\frac{\lambda}{2}\left[\frac{2 \mu}{\lambda} u^2-u^4\right] \\ \Rightarrow n^2 \left(\frac{d u}{d \theta} \right)^2=\frac{2 \mu a^2}{\lambda} u^2-a^2 u^4-\left(n^2+1\right) u^2-a^2 u^4 \\ \Rightarrow n^2\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=u^2-a^2 u^4=u^3\left(1-a^2 u^2\right) \\ \text { Put } u=\frac{1}{r} तथा \frac{d u}{d \theta}=\frac{-1}{r^2} \frac{d r}{d \theta} \\ \therefore n^2 \cdot \frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2=\frac{1}{r^2}\left(\frac{r^2-a^2}{r^2}\right) \\ \therefore \frac{d r}{\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}}=\frac{1}{n} d \theta
समाकलन करने परः

\int \frac{d r}{\left(r^2-a^2\right)}=\frac{1}{n} \int d \theta \\ \Rightarrow \cosh^{-1} \left(\frac{r}{a}\right)=\frac{\theta}{n}+B
जब \theta=0 ,r=a तथा \cosh^{-1} (1)=0 ;B=0 \\ r=a \cosh \left(\frac{\theta}{n}\right)
जो कि पथ की अभीष्ट समीकरण है।

h=r^2\left(\frac{d \theta}{d t}\right) \\ \Rightarrow \sqrt{\left(\frac{\lambda}{2}\right)} \cdot \frac{n}{a}=r^2 \cdot\left(\frac{d \theta}{d r}\right)\left(\frac{d r}{d t}\right) \\ =r^2 \cdot \frac{n}{\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}} \cdot \frac{d r}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d t}=\sqrt{\left(\frac{\lambda}{2 a^2}\right)}= \frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r^2} \\ \Rightarrow \int \frac{r^2-a^2+a^2}{\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}} d r=\int \sqrt{\left(\frac{\lambda}{2 a^2}\right)} d t \\ \Rightarrow \int\left\{\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}+\frac{a^2}{\sqrt{\left(r^2-a^2\right)}}\right\} d r=\int \sqrt{\left(\frac{\lambda}{2a^2}\right)} d t \\ \Rightarrow \frac{r}{2} \sqrt{\left(r^2-a^2\right)}-\frac{a^2}{2} \cosh^{-1} \left(\frac{r}{a}\right)+a^2 \cosh^{-1} \left(\frac{r}{a}\right) =\sqrt{\left(\frac{\lambda}{2 a}\right) t} 
जब t=0 तो r=0 अतः अचर शून्य होगा

\therefore t=\sqrt{\left(\frac{2 a^2}{\lambda}\right)} \cdot \frac{1}{2}\left[r \sqrt{\left(r^2-a^2 \right)}+a^2 \cosh^{-1} \left(\frac{r}{a}\right)\right] \\ \Rightarrow t=\sqrt{\left(\frac{a^2}{2 \lambda} \right)} \cdot\left[r \sqrt{\left(r^2-a^2\right)}+a^2 \log \frac{r+\sqrt{r^2-a^2}}{a}\right]
Example:9.एक कण जो कि केन्द्र से एक अचर बल के अधीन गतिशील है,को ध्रुवान्तर रेखा के लम्बवत दिशा में ऐसे वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है कि जो कण द्वारा केन्द्र से प्रक्षेप बिन्दु तक गिरने से प्राप्त वेग के बराबर है,प्रदर्शित करो कि इसका पथ \left(\frac{a}{r}\right)^3=\cos ^2\left(\frac{3}{2} \theta\right)^2 है।
साथ ही यदि प्रक्षिप्त वेग दो गुना हो तो सिद्ध करो कि इसका पथ 

\frac{1}{2} \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{a}\right)}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{3 a}\right)}
(A particle moving under a constant force from a centre is projected in a direction perpendicular to the radius vector with the velocity acquired in falling to the point of projection from the centre.Show that its path is \left(\frac{a}{r}\right)^3=\cos ^2\left(\frac{3}{2} \theta\right)^2
If the velocity of projection be double that in the previous case, show that the path is

\frac{1}{2} \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{a}\right)}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{3 a}\right)}
Solution:बल अचर है अतः माना यह \mu है

P=-\mu \\ \therefore h^2 u^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=P=-\mu \\ \Rightarrow h^2\left(u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right)=-\frac{\mu}{u^2}
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने पर:

v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{2 \mu}{u}+A \cdots(1)
प्रारम्भ में जब u= \frac{1}{a}, \frac{d u}{d \theta}=0  तथा v^2=2 \mu a प्रक्षेप वेग है तो
2 \mu a=h^2 \cdot \frac{1}{a^2}=2 \mu a+A \\ \therefore h^2=2 \mu a^2 तथा A=0
अतः समीकरण (1) का रूप

2 \mu a^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\frac{2 \mu}{u} \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\frac{1}{a^3 u}-u^2 \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}= \frac{\sqrt{\left(1-a^3 u^3 \right)}}{\sqrt{\left(a^3 u\right)}} \\ \text { put } \frac{a^{\frac{3}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}}=\sin z \\ \Rightarrow \frac{3}{2} a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{1}{2}} d u=\cos z d z \\ \therefore \int \frac{2}{3} \frac{\cos z d z}{\sqrt{1-\sin ^2 z}}=\theta+B \\ \Rightarrow \frac{2}{3} Z=\theta+B \\ \Rightarrow \frac{2}{3} \sin ^{-1} \left(a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}\right)=\theta+B
प्रारम्भ में जब \theta=0, u=\frac{1}{a};\\ \therefore B=\frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} \\ \therefore \frac{2}{3}\left[\sin ^{-1}\left(a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}\right)-\frac{\pi}{2}\right]=\theta \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{3}{2} \theta+\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}=\sin \left(\frac{3}{2} \theta+\frac{\pi}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{a^{\frac{3}{2}}}{r^{\frac{3}{2}}}=\cos \left(\frac{3}{2} \theta\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{a}{r}\right)^3=\cos ^2 \left(\frac{3}{2} \theta\right)
यदि प्रक्षिप्त वेग दो गुना हो अर्थात् v=2 \sqrt{(2\mu a)}
समीकरण (1) से:
8 \mu a=\frac{h^2}{a^2}=2 \mu a+A \\ \therefore h^2=8 \mu a^2 तथा A=6 \mu a 
समीकरण (1) में उपर्युक्त मान रखने परः
8 \mu a^3 \left[u^2+ \left( \frac{du}{d \theta} \right)^2 \right]=\frac{2 \mu}{u}+6 \mu a \\ \text { put } u=\frac{1}{r} \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=-\frac{1}{r^2} \frac{d r}{d \theta} \\ \therefore 4 a^3\left[\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right]=r+3 a \\ \therefore 4 a^3\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2=r^4\left(r+3 a-\frac{4 a^3}{r^2}\right) \\ =r^2\left(r^3+3 a^2-4 a^3\right) \\ =r^2(r-a)\left(r^2+4 a r+4 a^2\right) \\ =r^2(r-a)(r+2 a)^2 \\ \text { put } r-a=a t^2 \Rightarrow r=a\left(1+t^2\right) तथा r+2 a=a\left(3+t^2\right) और dr=2at dt \\ 4 a^3 \cdot 4 a^2 t^2\left(\frac{d t}{d \theta}\right)^2=a t^2 a^2\left(1+t^2\right)^2 a^2\left(3 +t^2\right)^2 \\ \therefore 4 \frac{d t}{d \theta}=\left(1+t^2\right)\left(3+t^2\right) \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{t^2+3}\right) d t=\int \frac{d \theta}{2} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(t)-\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\theta}{2}+B \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{a}\right)}-\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \sqrt{\left(\frac{r-a}{3 a}\right)}=\frac{\theta}{2}

[जब r=a, \theta=0 \quad \therefore B=0 ]
Example:11.प्रदर्शित कीजिए कि केन्द्रीय आकर्षण के लिए घन व्युत्क्रमानुपाती केवल ऐसा नियम है जिसके अधीन वृत्त में किसी भी दूरी पर वेग,अनन्त से उस दूरी तक गिरने से प्राप्त वेग के बराबर है।
(Show that the only law for a central attraction, for which the velocity in a circle at any distance is equal to the velocity acquired in falling from infinity to that distance, is that of the inverse cube.)
Solution:मान लो केन्द्रीय बल \frac{\mu}{x^n} है।

v \frac{d v}{d x} =-p=-\frac{\mu}{x^n} \\ \Rightarrow \int_0^v v d v =-\int_{\infty}^a \frac{\mu}{x^n} d x \\ \Rightarrow \frac{v^2}{2} =\left[\frac{\mu}{(n-1)\left(x^{n-1}\right)}\right]_{\infty}^a \\ =\frac{\mu}{n-1} \cdot \frac{1}{a^{n-1}} \\ \Rightarrow v^2 =\frac{2 \mu}{n-1} \cdot \frac{1}{a^{n-1}} \cdots(1)
वृत्त की स्थिति में दूरी a पर वेग v है तब

\frac{v^2}{a}=p=\frac{\mu}{a^n} \\ \Rightarrow r^2=\frac{\mu}{a^{n-1}} \cdots(2)
दिया गया है कि V=v तब समीकरण (1) व (2) सेः

\frac{2 \mu}{n-1} \cdot \frac{1}{a^{n-1}}=\frac{\mu}{a^{n-1}} \\ \Rightarrow \frac{2}{n-1}=1 \Rightarrow 2=n-1 \\ \Rightarrow n=3
अतः बल नियम=\frac{\mu}{x^3} \text { i.e. } \frac{\mu}{r^3} या \mu u^3
Example:12.एक कण जो कि केन्द्रीय त्वरण दूरी \frac{\mu}{(\text { दूरीं)}^3} के साथ गतिशील है,को a दूरी पर स्तब्धिका से V वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है।प्रदर्शित करो कि V,<, या, > अनन्त से वेग के अनुसार कण का पथ r \cosh \left[\frac{\sqrt{\mu-a^2 V^2}}{a V} \theta\right]=a \text{ या } r \cos \left[\frac{\sqrt{(a^2 V^2-\mu)}}{a v} \theta\right]=a  है।
(A particle moving with a central acceleration \frac{\mu}{(\text { distance)}^3}, is projected from an apse at a distance a with a velocity ;Show that the path is \left[\frac{\sqrt{\mu-a^2 V^2}}{a V} \theta\right]=a \text{ or } r \cos \left[\frac{\sqrt{(a^2 V^2-\mu)}}{a v} \theta\right]=a according as V is <, or, > the velocity from infinity.)
Solution:V’ अनन्त से वेग है जो निम्न प्रकार हैः

v \frac{dv}{d x}=-p \\ \int_0^{v^{\prime}} v d v=\int_{\infty}^a-\frac{\mu}{x^3} dx \\ \Rightarrow \frac{V^{\prime 2}}{2}=\frac{\mu}{2 a^2} \\ \Rightarrow v^{\prime}=\sqrt{\frac{\mu}{a^2}}
यदि V>V’ अर्थात् v^2>\frac{\mu}{a^2} तब धनात्मक a^2 v^2-\mu है
यदि V<V’ अर्थात् v^2<\frac{\mu}{a^2} तब धनात्मक \mu-a^2 v^2 है।
जहाँ V स्तब्धिका पर प्रक्षेप वेग है।
P=h^2 u^2\left[u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right]=\mu u^3 जहाँ P=\frac{\mu}{r^3}=\mu u^3 \\ \Rightarrow h^2\left[u+\frac{d^2 u}{d \theta^2}\right]=\mu u
दोनों पक्षों को 2 \frac{d u}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने परः

v^2=h^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\mu u^2+A \cdots(1)
प्रारम्भ में u=\frac{1}{a}, \frac{d u}{d \theta}=0, v=V \\ \therefore V^2=h^2\left[\frac{1}{a^2}+0\right]=\mu \cdot \frac{1}{a^2}+A \\ \therefore h^2=a^2 V^2 तथा A=\frac{a^2 V^2-\mu}{a^2}
समीकरण (1) से:

a^2 v^2 \cdot\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=\mu u^2+\frac{a v^2-\mu}{a^2} \\ \Rightarrow a^2 v^2\left[u^2+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2\right]=-\left(a^2 v^2+1\right) u^2+\frac{a^2 v^2-\mu}{a^2} \cdots(2)
यदि a^2 v^2-\mu धनात्मक है तब

a v\left(\frac{d u}{d \theta}\right)=\sqrt{\left(\frac{a^2 v^2-\mu}{a^2}\right)} \cdot \sqrt{\left(1-a^2 u^2\right)} \\ \int \frac{a d u}{\sqrt{\left(1-a^2 u^2\right)}}=\int \frac{\sqrt{\left(a^2 V^2-\mu\right)}}{a V} d \theta \\ \Rightarrow \sin^{-1} (a u)=\frac{\sqrt{\left(a^2 V^2-\mu\right)} \theta}{a V}+B
जब u=\frac{1}{a}, \theta=0 ; \therefore B=\frac{\pi}{2} \\ \therefore a u=\sin \left[ \frac{\sqrt{\left(a^2 V^2-\mu\right)}}{a V} \theta+\frac{\pi}{2}\right] \\ =\cos \left[\frac{\sqrt{\left(a^2 V^2-\mu\right)}}{a V} \theta\right] \\ \Rightarrow r \cos \left[\frac{\sqrt{a^2 v^2-\mu^2}}{a v} \theta\right]=a
पुनः यदि \mu-a^2 V^2 धनात्मक है तब (2) सेः

a^2 v^2\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^2=\left(\mu-a^2 V^2\right) u^2-\frac{(\mu-a^2 V^2)}{a^2} \\ \Rightarrow a V\left(\frac{d u}{d \theta}\right)=\frac{\sqrt{\left(\mu-a^2 V^2\right)}}{a} \sqrt{\left(a^2 u^2-1\right)} \\ \Rightarrow \int \frac{a d u}{\sqrt{\left(a^2 u^2-1\right)}}=\int \frac{\sqrt{\left(\mu-a^2 v^2\right)}}{a V} d \theta \\ \Rightarrow \cosh ^{-1}(a u)=\frac{\sqrt{\mu-a^2 V^2} }{a V}\theta+B
जब u=\frac{1}{a}, \theta=0 और \cosh ^{-1}(1)=0 ; B=0 \\ \therefore a u=\cosh \left(\frac{\sqrt{\left(\mu-a^2 V^2\right)}}{a V} \theta\right) \\ \Rightarrow r \cosh \left(\frac{\sqrt{\left(\mu-a^2 V^2\right)}}{a V} \theta\right) =a

3.गतिविज्ञान में स्तब्धिका की समस्याएँ (Apse in Dynamics Problems):

Apse in Dynamics

(1.)यदि बल का नियम \mu\left(u^4-\frac{10}{9}au^5\right) हो,एक कण स्तब्धिका से,जो 5a दूरी पर ऐसे वेग से फेंका जाता है कि जो वृत्त के लिए \sqrt{\frac{5}{7}} गुणा है।प्रदर्शित करो कि पथ का समीकरण लिमेकन होगा

r=a(3+2 \cos \theta)
(If the law of force be \mu\left(u^4-\frac{10}{9}au^5\right) and particle be projected from an apse at a distance with a velocity equal  to \sqrt{\frac{5}{7}} of that in a circle at the same distance, show that the orbit is the limacon that in a circle at the same distance,show the orbit is the limacon r=a(3+2 \cos \theta) .)
(2.)एक कण अनन्त से प्राप्त वेग से स्तब्धिका से प्रक्षिप्त किया जाता है,जो स्वयं a दूरी पर है,त्वरण \mu a^7 है,सिद्ध करो कि पथ का समीकरण r^2=a^2 \cos 2 \theta है।
(A particle is projected from an apse at a distance a with the velocity from infinity, the acceleration being \mu a^7, show that the equation to the path Is r^2=a^2 \cos 2 \theta.)

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4.गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Frequently Asked Questions Related to Apse in Dynamics),स्तब्धिका दूरी (Apsidal Distance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गतिविज्ञान में स्तब्धिका (Apse in Dynamics) के इस आर्टिकल में स्तब्धिका दूरी,
स्तब्धिका कोण आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।