Important Examples of Surface Area
1.पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Surface Area),घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area of Cube and Cuboid):
पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area) के इस आर्टिकल में घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के सवाल हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area):
Example:1.एक बन्द लकड़ी के बक्से की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 90 सेमी,50 सेमी और 30 सेमी है बक्से का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:बक्से की लम्बाई (l)=90 सेमी
बक्से की चौड़ाई (b)=50 सेमी
बक्से की ऊँचाई (h)=30 सेमी
बक्से का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(l b+b h+l h)
=2(90×50+50×30+90×30)
=2(4500+1500+2700)
=2×8700
=17400 वर्ग सेमी
=\frac{17400}{100 \times 100} वर्ग मीटर
=1.74 वर्ग मीटर
Example:2.एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 वर्ग मीटर है घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Solution:घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
=6 \times \text { भुजा }^2 =1014 \\ \Rightarrow \text { भुजा }^2 =\frac{1014}{6} \\=169 \\ \Rightarrow \text { भुजा } =\sqrt{169} \\ \Rightarrow भुजा=13 मीटर
Example:3(i).यदि घनाभ की लम्बाई 12 मीटर,चौड़ाई 9 मी और ऊँचाई 8 मी है,तो घनाभ के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:घनाभ की लम्बाई (l)=12 मीटर
घनाभ की चौड़ाई (b)=9 मी
घनाभ की ऊँचाई (h)=8 मी
घनाभ का विकर्ण =\sqrt{l^2+b^2+h^2} \\ =\sqrt{(12)^2+(9)^2+(8)^2} \\ =\sqrt{144+81+64} \\ =\sqrt{289}
घनाभ का विकर्ण=17 मीटर
Example:3(ii).यदि घन की भुजा 5 सेमी है,तो घन के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:घन की भुजा=5 सेमी
घन का विकर्ण=\sqrt{3} \times \text { भुजा } \\ =\sqrt{3} \times 5 \\ =5 \sqrt{3} सेमी
Example:4.एक सन्दूक की माप 50 सेमी×36सेमी×25सेमी है।इस सन्दूक का कवर बनाने में कितने वर्ग सेमी कपड़े की आवश्यकता होगी?
Solution:सन्दूक की लम्बाई (l)=50 सेमी
चौड़ाई (b)=36 सेमी
ऊँचाई (h)=25 सेमी
सन्दूक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(50×36+36×25+50×25)
=2(1800+900+1250)
=2×3950
=7900 वर्ग सेमी
Example:5.एक कक्ष की लम्बाई 5 मीटर,चौड़ाई 3.5 मीटर व ऊँचाई 4 मीटर है।20 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution:कक्ष की लम्बाई (l)=5 मीटर
चौड़ाई (b)=3.5 मीटर,ऊँचाई (h)=4 मीटर
कक्ष की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2×h(l+b)
=2×4(5+3.5)
=8×8.5=68 वर्ग मीटर
चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय=68×20
=1360 रुपये
Example:6.एक घन का प्रत्येक पृष्ठ 100 वर्ग सेमी है।यदि आधार के समान्तर समतल द्वारा घन को काटकर दो बराबर भागों में बाँट दिया जाये,तो प्रत्येक समान भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:घन के पृष्ठ का क्षेत्रफल= \text { भुजा }^2=100 \\ \Rightarrow \text { भुजा }=\sqrt{100} \\ \Rightarrow भुजा=10 सेमी
आधार के समान्तर घन को काटने पर लम्बाई (l)=10 सेमी,चौड़ाई (b)=10 सेमी,ऊँचाई (h)=5 सेमी
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(10×10+10×5+10×5)
=2(100+50+50)
=2×200
=400 वर्ग सेमी
Example:7.बगैर ढक्कन का एक सन्दूक 3 सेमी मोटी लकड़ी का बना हुआ है।उसकी बाहरी लम्बाई 146 सेमी,चौड़ाई 116 सेमी और ऊँचाई 83 सेमी है।उसके अन्दर की ओर रंग कराने का खर्च ज्ञात कीजिए,जबकि रंग की दर 3 रुपये प्रति 1000 वर्ग सेमी हो।
Solution:सन्दूक के अन्दर की लम्बाई (l)=146-2×3
=146-6=140 सेमी
अन्दर की चौड़ाई (b)=116-2×3=116-6=110
अन्दर की ऊँचाई (h)=83-3=80 सेमी
बगैर ढक्कन के सन्दूक का पृष्ठीय क्षेत्रफल=lb+2(bh+lh)
=140×110+2(110×80+140×80)
=15400+2(8800+11200)
=15400+2×20000
=15400+40000
=55400
सन्दूक के अन्दर रंग कराने का खर्च
=55400 \times \frac{3}{1000}
=166.20 रुपये
Example:8.एक आयताकार चबूतरे की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 6.5 मीटर,5 मीटर,1.5 मीटर है।इसके सभी ओर सीमेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए,जबकि मजदूरी सहित कुल खर्च 18 रु. प्रति वर्गमीटर हो।
Solution:चबूतरे की लम्बाई (l)=6.5 मीटर
चौड़ाई (b)=5 मीटर,ऊँचाई (h)=1.5 मीटर
चबूतरे का पृष्ठीय क्षेत्रफल
=lb+2(bh+lh)
=6.5×5+2(5×1.5+6.5×1.5)
=32.5+2(7.5+9.75)
=32.5+2×17.25
=32.5+34.50
=67 वर्ग मीटर
चबूतरे पर सीमेन्ट कराने का व्यय=67×18
=1206 रुपये
Example:9.एक सन्दूक की माप 3मी×2मी×1.80मी है।बाहर की ओर सभी फलकों पर 12 रु. प्रति वर्गमीटर की दर से वार्निश कराने का खर्च ज्ञात कीजिए।
Solution:सन्दूक की लम्बाई (l)=3मी
चौड़ाई (b)=2मी
ऊँचाई (h)=1.80मी
सन्दूक का पृष्ठीय क्षेत्रफल
=2(lb+bh+lh)
=2(3×2+2×1.80+3×1.80)
=2(6+3.6+5.4)
=2×15
=30 वर्ग मीटर
सन्दूक के फलकों पर बाहर की ओर वार्निश कराने का खर्च=30×12
=360 रुपये
Example:10.एक ढक्कनदार सन्दूक 2.5 सेमी मोटी लकड़ी से बना है।सन्दूक के अन्दर की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 1मीटर,65सेमी और 55सेमी है।इसके बाहर के सम्पूर्ण पृष्ठ पर 5रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से रंग कराने का खर्चा ज्ञात कीजिए।
Solution:सन्दूक के बाहर की लम्बाई (l)=1मीटर+2×2.5सेमी=1.05 मीटर
बाहर की चौड़ाई (b)=0.65मीटर+2×2.5 सेमी
=0.65मीटर+0.05मीटर=0.70मीटर
बाहर की ऊँचाई (h)=0.55मीटर++2×2.5सेमी
=0.55मीटर+0.05मीटर=0.60मीटर
सन्दूक के बाहर का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
=2(lb+bh+lh)
=2(1.05×0.70+0.70×0.60+1.05×0.60)
=2(0.735+0.42+0.63)
=2×1.785
=3.57 वर्ग मीटर
सन्दूक के बाहर के पृष्ठ पर रंग कराने का खर्चा=3.57×5=17.85 रुपये
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area),घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area of Cube and Cuboid) को समझ सकते हैं।
3.पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Important Examples of Surface Area):
(1.)20 मीटर लम्बे,16 मीटर चौड़े और 12 मीटर ऊँचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है?
(2.)एक टिन के बक्से की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 20 सेमी,12 सेमी और 14 सेमी है।ऐसे 20 बक्से बनाने हैं।इसमें लगने वाले टिन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।यदि टिन का मूल्य 15 रु. प्रति वर्गमीटर हो,तो बक्सों में लगे टिन का मूल्य भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)28.28 मीटर
(2.)20 बक्सों का क्षेत्रफल=2.752 वर्गमीटर
20 बक्सों में लगे टिन का मूल्य=41.28रु.
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area),घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area of Cube and Cuboid) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Surface Area),घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area of Cube and Cuboid) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.घनाभ किसे कहते हैं? (What is a Cuboid?):
उत्तर:यदि समान्तर षट्फलक का प्रत्येक फलक आयत हो,तो उसे घनाभ कहते हैं।घनाभ को आयतफलकी ठोस भी कहते हैं।जैसे ईंट,सन्दूक,कमरा आदि घनाभ हैं।घनाभ में छह पृष्ठ (फलक),8 शीर्ष व 12 कोरें होती हैं।घनाभ के आमने सामने के फलक परस्पर समान होते हैं।
प्रश्न:2.घन किसे कहते हैं? (What is a Cube?):
उत्तर:यदि घनाभ का प्रत्येक फलक वर्गाकार हो,तो उसे घन कहते हैं अर्थात् घन की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती है।
प्रश्न:3.घन व घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र लिखो। (Write the Formulas for the Surface Area of a Cube and a Cuboid):
उत्तर:(1.)घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊँचाई+लम्बाई×ऊँचाई)
=2(lb+bh+lh)
(2.)घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2×ऊँचाई(लम्बाई+चौड़ाई)
=2h(l+b)
(3.)घनाभ का विकर्ण=\sqrt{\text{लम्बाई}^2+\text{चौड़ाई}^2+\text{ऊँचाई}^2} \\ =\sqrt{l^2+b^2+h^2}
(4.)घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल= 6 \times \text { भुजा }^2
(5.)घन का विकर्ण=\sqrt{3} भुजा= \sqrt{3} l
(6.)घन के प्रत्येक पृष्ठ का क्षेत्रफल=\text{भुजा}^2
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area),घन एवं घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Surface Area of Cube and Cuboid) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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