1.रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equation Reducible to Linear Equations),दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables):

Equation Reducible to Linear Equations

रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equation Reducible to Linear Equations) के इस आर्टिकल में ऐसे रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करेंगे जो रैखिक नहीं है,परन्तु कुछ उपयुक्त प्रतिस्थापनों द्वारा इन्हें रैखिक समीकरणों के रूप में बदला जा सकता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Cross Multiplication Method Class 10

2.रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण के साधित उदाहरण (Equation Reducible to Linear Equations Solved Examples):

Example:1.निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
Example:1(i). \frac{1}{2 x}+\frac{1}{3y}=2 \\ \frac{1}{3x}+\frac{1}{2y} =\frac{13}{6}
Solution: \frac{1}{2 x}+\frac{1}{3y}=2 \\ \frac{1}{3x}+\frac{1}{2y} =\frac{13}{6} \\ \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v रखने पर

\frac{u}{2}+\frac{v}{3}=2 \Rightarrow 3 u+2 v-12=0 \cdots(1) \\ \frac{1}{3} u+\frac{1}{2} v=\frac{13}{6} \Rightarrow 2 u+3 v-13=0 \cdots(2)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{array}{cc} 2 & -12 \\ 3 & -13\end{array}}=\frac{v}{\begin{array}{cc} 3 & -12 \\ 2 & -13 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3\end{array}} \\ \Rightarrow \frac{u}{2 \times -13-3 \times-12} =\frac{v}{2 \times -12-3 \times -13}=\frac{1}{3 \times 3-2 \times 2} \\ \Rightarrow \frac{u}{-26+36}=\frac{v}{-24+39}=\frac{1}{9-4} \\ \Rightarrow \frac{u}{10}=\frac{v}{15}=\frac{1}{5} \\ \Rightarrow \frac{u}{10}=\frac{1}{5} \Rightarrow u=\frac{10}{5}=2 \\ \Rightarrow \frac{v}{15}=\frac{1}{5} \Rightarrow v=\frac{15}{5}=3 \\ \frac{1}{x}=u=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{y} =v=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3}
Example:1(ii). \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2 \\ \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{y}}=-1
Solution: \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2 \\ \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{y}}=-1 \\ \frac{1}{\sqrt{x}}=u तथा \frac{1}{\sqrt{y}}=v रखने पर:
2 u+3 v=2 \cdots(1) \\ 4 u-9 v=-1 \\ \Rightarrow 4 u=5 v-1 \\ \Rightarrow u=\frac{9 v-1}{4} \cdots(2)
समीकरण (2) से u का मान समीकरण (1) में रखने पर:

2\left(\frac{9 v-1}{v}\right)+3 v=2 \\ \Rightarrow \frac{9 v-1}{2}+3 v=2 \\ \Rightarrow 9 v-1+6 v=4 \\ \Rightarrow 15 v=5 \\ \Rightarrow v=\frac{5}{15}=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{y}} \Rightarrow v=\frac{1}{3} \Rightarrow \sqrt{y}=3 \\ \Rightarrow y=9
v का मान समीकरण (2) में रखने पर:

u=\frac{9 \times \frac{1}{3}-1}{4} \\ \Rightarrow u =\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4} \\ \Rightarrow u=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{x}}=u=\frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{x}=2 \\ \Rightarrow x=4 \\ x=4, y=9
Example:1(iii). \frac{4}{x}+3 y=14 \\ \frac{3}{x}-4 y=23
Solution: \frac{4}{x}+3 y=14 \\ \frac{3}{x}-4 y=23 \\ \frac{1}{x}=u  रखने पर:
4u+3y=14  …. (1)
3u-4y=23  …… (2)
समीकरण (1) को 4 से तथा समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर:
\begin{array}{c} 16 u+12 y=56 \ldots(3)\\ 9 u-12 y=69 \ldots(4) \text{जोड़ने पर} \\ \hline \end{array} \\ 25 u=125 \\ \Rightarrow u=\frac{125}{25}=5 \\ \frac{1}{x}=u=5 \Rightarrow x=\frac{1}{5}
u का मान समीकरण (1) में रखने पर:
4 \times 5+3 y=14 \\ \Rightarrow 3 y=14-20 \\ \Rightarrow 3 y=-6 \\ \Rightarrow y=-\frac{6}{3} \\ \Rightarrow y=-2 \\ x=\frac{1}{5}, y=-2
Example:1(iv). \frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2 \\ \frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1
Solution: \frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2 \\ \frac{6}{x+1}-\frac{3}{y-2}=1 \\ \frac{1}{x-1}=u तथा \frac{1}{y-2}=v रखने पर:
5 u+v=2 \Rightarrow 5 u+v-2=0 \ldots \\ 6 u-3 v=1 \Rightarrow 6 u-3 v-1=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & -1\end{array}}=\frac{v}{\begin{array}{cc} 5 & -2 \\ 6 & -1 \end{array}} =\frac{1}{\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 6 & -3\end{array}} \\ \Rightarrow \frac{u}{1 \times-1-(-2)(-3)}=\frac{v}{-2 \times 6-5 \times-1}=\frac{1}{5 \times-3-1 \times 6} \\ \Rightarrow \frac{u}{-1-6}=\frac{v}{-12+5}=\frac{1}{-15-6} \\ \Rightarrow \frac{u}{-7}=\frac{v}{-7}=\frac{1}{-21} \\ \Rightarrow \frac{u}{-7} =\frac{1}{-21} \Rightarrow u=\frac{-7}{-21}=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{x-1}=u=\frac{1}{3} \Rightarrow x-1=3 \\ \Rightarrow x=4 \\ \frac{v}{-7}=\frac{1}{-21} \Rightarrow v=\frac{-7}{-21}=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{y-2}=\frac{1}{3} y=3 \\ \Rightarrow y-2=3 \\ \Rightarrow y=5 \\ x=4, y=5
Example:1(v). \frac{7 x-2 y}{x y}=5 \\ \frac{8 x+7 y}{x y}=15
Solution: \frac{7 x-2 y}{x y}=5 \\ \frac{8 x+7 y}{x y}=15 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{x y}-\frac{2 y}{x y}=5 \\ \Rightarrow-\frac{2}{x}+\frac{7}{y}=5 \\ \frac{8 x}{x y}+\frac{7 y}{x y}=15 \\ \Rightarrow \frac{7}{x}+ \frac{8}{y}=15 \frac{1}{x}=u तथा  \frac{1}{y}=v रखने पर:
-2 u+7 v=5 \cdots(1) \\ 7 u+8 v=15 \\ 7 u=15-8 v \\ \Rightarrow u=\frac{15-8 v}{7} \cdots(2)
समीकरण (2) से u का मान समीकरण (1) में रखने पर:

-2\left(\frac{15-8 v}{7}\right)+7 v=5 \\ -30+16 v+49 v=35 \\ \Rightarrow 65 v=65 \\ \Rightarrow v=\frac{65}{65}=1 \\ \frac{1}{y}=v=1 \Rightarrow y=1
v का मान समीकरण (2) में रखने पर:
u=\frac{15-8 \times 1}{7}=\frac{7}{7}=1 \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=u=1 \Rightarrow x=1 \\ x=1, y=1
Example:1(vi). 6x+3y=6xy,2x+4y=5xy
Solution:6x+3y=6xy,2x+4y=5xy \\ \frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}=6 \\ \Rightarrow 3\left[\frac{2}{y}+ \frac{1}{x}\right]=6 \\ \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2 \cdots(1) \\ \frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}=5 \\ \Rightarrow \frac{4}{x}+\frac{2}{y}=5 \\ \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v रखने पर:
\begin{array}{cc} u+2 v=2 \cdots(3) \\ 4 u+2 v=5 \cdots(4) \\ - \quad - \quad - \quad \quad \quad \quad \\ \hline \end{array}
समीकरण (4) में से (3) घटाने पर:

-3 u=-3 \\ \Rightarrow u=\frac{-3}{-3}=1 \\ \frac{1}{x}=u=1 \Rightarrow x=1
u का मान समीकरण (3) में रखने पर:
1+2 v=2 \\ \Rightarrow 2 v=2-1 \\ \Rightarrow v=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{y}=v=\frac{1}{2} \Rightarrow y=2 \\ x=1, y=2
Example:1(vii). \frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4 \\ \frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2
Solution: \frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4 \\ \frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2 \\ \frac{1}{x+y}=u, \frac{1}{x-y}=v रखने पर:
10 u+2 v=4 \Rightarrow 5u+v-2=0 \cdots(1)  \\ 15 u-5 v=-2 \Rightarrow 15 u-5 v+2=0 \cdots(2)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -5 & 2\end{array}}=\frac{v}{\begin{array}{cc} 5 & -2 \\ 15 & 2\end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 15 & -5\end{array}} \\ \Rightarrow \frac{u}{1 \times 2-(-2)(-5)}=\frac{v}{-5 \times 2+(-2) \times 15}=\frac{1}{5 \times-5-1 \times 15} \\ \Rightarrow \frac{u}{2-10}=\frac{v}{-10-30}=\frac{1}{-25-15} \\ \Rightarrow \frac{u}{-8}=\frac{v}{-40}=\frac{1}{-40} \\ \Rightarrow \frac{u}{-8}=\frac{1}{-40} \Rightarrow u=\frac{-8}{-40}=\frac{1}{5} \\ -\frac{v}{40}=\frac{1}{-40} \Rightarrow v=\frac{-40}{-40}=1 \\ \frac{1}{x+y}=u=\frac{1}{5} \Rightarrow x+y=5 \cdots(3) \\ \frac{1}{x-y}=v=1 \Rightarrow x-y=1 \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर:
2 x=6 \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (3) में रखने पर:
3+y=5 \Rightarrow y=5-3=2 \\ x=3, y=2
Example:1(viii). \frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}
Solution: \frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8} \\ \frac{1}{3 x+y}=u तथा  \frac{1}{3 x-y}=v रखने पर:
u+v=\frac{3}{4} \Rightarrow 4 u+4 v-3=0 \cdots(1) \\ \frac{1}{2} u-\frac{1}{2} v=-\frac{1}{8} \\ \Rightarrow 4u-4 v+1=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -4 & 1\end{array}}=\frac{v}{\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 4 & 1\end{array}} =\frac{1}{\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -4\end{array}} \\ \frac{u}{4 \times 1-(-3)(-4)}=\frac{v}{4 \times-3-4 \times 1}=\frac{1}{4 \times-4-4 \times 4} \\ \Rightarrow \frac{u}{4-12}=\frac{v}{-12-4}= \frac{1}{-16-16} \\ \Rightarrow \frac{u}{-3}=\frac{v}{-16}=\frac{1}{-32} \\ \Rightarrow \frac{u}{-8}=\frac{1}{-32} \Rightarrow u=\frac{-8}{-32}=\frac{1}{4} \\ \frac{v}{16}=\frac{1}{32} \Rightarrow v=\frac{-16}{-32} =\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3 x+y}=u=\frac{1}{4} \Rightarrow 3 x+y=4 \cdots(3) \\ \frac{1}{3 x-y}=v=\frac{1}{2} \Rightarrow 3 x-y=2 \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर:
6 x=6 \Rightarrow x=\frac{6}{6}=1
x का मान समीकरण (3) में रखने पर:
3(1)+y=4 \Rightarrow y=4-3=1 \\ x=1, y=1

Equation Reducible to Linear Equations

Example:2.निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
Example:2(i).रितु धारा के अनूकुल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है।उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना स्थिर जल में तैरने की चाल=x किमी/घण्टा
धारा की चाल=y किमी/घण्टा
धारा की दिशा में औसत चाल=x+y किमी/घण्टा
धारा की विपरीत दिशा में औसत चाल=x-y किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार:
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \\ \Rightarrow \frac{20}{x+y} =2 \Rightarrow x+y=10 \cdots(1) \\ \frac{4}{x-y}=2 \Rightarrow x-y=2 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:
2 x=12 \Rightarrow x=\frac{12}{2} \\ x=6
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
6+y=10 \\ \Rightarrow y=10-6=4
अतः स्थिर जल में तैरने की चाल=6 किमी/घण्टा
धारा की चाल=4 किमी/घण्टा
Example:2(ii).2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं,जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं।ज्ञात कीजिए की इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी।पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
Solution:माना एक कसीदे के काम को महिला करती है=x दिन में
तथा पुरुष इसी कार्य को करता है=y दिन में
महिला का 1 दिन का काम=\frac{1}{x}
पुरुष का 1 दिन का काम=\frac{1}{y}
2 महिलाओं एवं 5 पुरुषों का 1 दिन का कार्य=\frac{2}{x}+\frac{5}{y}
2 महिलाओं एवं 5 पुरुषों का 4 दिन का कार्य=\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=1 \ldots(1)
इसी प्रकार 3 महिलाओं एवं 6 पुरुषों का 1 दिन का काम=\frac{3}{x}+\frac{6}{y}
3 महिलाओं एवं 6 पुरुषों का 3 दिन का काम =3\left(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}\right) \\ =\frac{9}{x}+\frac{18}{y} \\ \frac{9}{x}+\frac{18}{y}=1 \cdots(2) \\ \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v रखने पर:

8 u+20 v=1 \cdots(3) \\ 9 u+18 v=1 \\ 9 u=1-18 v\\ \Rightarrow u=\frac{1-18 v}{9} \cdots(4)
u का मान समीकरण (3) में रखने पर:
8\left(\frac{1-18 v}{9}\right)+20 v=1 \\ \Rightarrow 8-144 v+180 v=9 \\ \Rightarrow 36 v=1 \Rightarrow v=\frac{1}{36} \\ \frac{1}{y}=v=\frac{1}{36} \Rightarrow y=36
v का मान समीकरण (4) में रखने पर:

u=\frac{1-18 \times \frac{1}{36}}{9}=\frac{1-\frac{1}{2}}{9} \\ \Rightarrow u =\frac{\frac{1}{2}}{9} \Rightarrow u=\frac{1}{18} \\ \frac{1}{x} =u=\frac{1}{18} \Rightarrow x=18
अतः एक महिला द्वारा कसीदे का कार्य करेगी=18 दिन
एक पुरुष कसीदे का कार्य करेगा=36 दिन
Example:2(iii).रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है।यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस से यात्रा करे,तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं।रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेलगाड़ी की चाल=x किमी/घण्टा
बस की चाल=y किमी/घण्टा
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
रेलगाड़ी द्वारा 60 किमी दूरी तय करेगी=\frac{60}{x} घण्टे
बस द्वारा 240 किमी दूरी तय करने में लगा समय=\frac{240}{y} \\ \frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4 \cdots(1)
रेलगाड़ी द्वारा 100 km दूरी तय करने में लगा समय=\frac{100}{x}
बस द्वारा 200 km दूरी तय करने में लगा समय=\frac{200}{y} \\ \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4 \frac{10}{60} \\ \Rightarrow \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6} \cdots(2)
माना \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v \\ 60 u+240 v=4 \Rightarrow 15 u+60 v=1 \ldots(3) \\ 100 u+200 v=\frac{25}{6} \Rightarrow 24 u+48 v=1 \\ \Rightarrow 24u=1-48 v \\ \Rightarrow u=\frac{1-48 v}{24} \cdots(4)
समीकरण (4) से u का मान समीकरण (3) में रखने पर:

15\left(\frac{1-48 v}{24}\right)+60 v=1 \\ \Rightarrow 5-240 v+480 v=8 \\ \Rightarrow 240 v=8-5\\ \Rightarrow v=\frac{3}{240}=\frac{1}{80} \\ \frac{1}{y}=v=\frac{1}{80} \Rightarrow y=80
v का मान समीकरण (4) में रखने पर:

u=\frac{1-48 \times \frac{1}{80}}{24}=\frac{1-\frac{3}{5}}{24} \\ =\frac{5-3}{5 \times 24}=\frac{2}{5 \times 24} \\ \Rightarrow u =\frac{1}{60} \\ \frac{1}{x}=u=\frac{1}{60} \Rightarrow x=60
रेलगाड़ी की चाल=60 किमी/घण्टा,बस की चाल=80 किमी/घण्टा
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equation Reducible to Linear Equations),दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Equation Reducible to Linear Equations):

Equation Reducible to Linear Equations

(1.)30 किमी की दूरी तय करने में x,y से 3 घण्टे अधिक समय लगाता है।यदि x दुगुनी रफ्तार से चले तो वह y से 1 \frac{1}{2}  घण्टा पहले ही उस दूरी को तय कर लेता है तो x व y की चाल ज्ञात कीजिए।
(2.)2 पुरुष और 5 लड़के मिलकर एक कार्य को 4 दिनों में पूरा करते हैं जबकि 4 पुरुष और 4 लड़के मिलकर उसी कार्य को 3 दिन में पूरा कर सकते हैं।ज्ञात कीजिए कि एक पुरुष या एक लड़के को उस कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा।
उत्तर (Answers).(1.)x की चाल=\frac{10}{3} किमी/घण्टा,y की चाल=5 किमी/घण्टा
(2.)एक पुरुष उस कार्य को 18 दिन में जबकि एक लड़का 36 दिन में कर सकता है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equation Reducible to Linear Equations),दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Elimination Method Class 10 

4.रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equation Reducible to Linear Equations),दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक समीकरणों में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equation Reducible to Linear Equations)
के इस आर्टिकल में ऐसे रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करेंगे जो रैखिक नहीं है