Questions of Algebraic Identity
1.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9):
बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity) को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं को ठीक से समझ सकेंगे।बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल निम्न हैं:
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2.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity):
Example:1.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Example:1(i).(x+3)(x+7)
Solution: (x+3)(x+7) \\ =x^2+(3+7) x+3 \times 7
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]
=x^2+10 x+21
Example:1(ii).(2x+7)(3x-5)
Solution: (2x+7)(3x-5) \\ =2 x \times 3 x+2 x \times(-5)+7 \times 3 x+7 \times-5 \\ =6 x^2-10 x+21 x-35 \\ =6 x^2+11 x-35
Example:1(iii). \left(x^2+\frac{3}{5}\right)\left(x^2-\frac{3}{5}\right)
Solution: \left(x^2+\frac{3}{5}\right)\left(x^2-\frac{3}{5}\right) \\ =\left(x^2\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2
[सर्वसमिका x^2-y^2=(x+y)(x-y) से]
=x^4-\frac{9}{25}
Example:1(iv).(x+2)(x-5)
Solution: (x+2)(x-5) \\ =x^2+(2-5) x+2 x-5
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]
=x^2-3 x-10
Example:2.बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Example:2(i).94×97
Solution:94×97
=(100-6)(100-3) \\ =100^2+(-6-3) \times 100+(-6)(-3)
[सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b से]
=1000-900+18
=9118
Example:2(ii).103×97
Solution:103×97
=(100+3) \times(100-3) \\ =100^2-3^2
[सर्वसमिका x^2-y^2=(x+y)(x-y) से]
=10000-9
=9991
Example:3.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखण्ड कीजिए।
Example:3(i). x^2-4 x+4
Solution: x^2-4 x+4 \\ =x^2-2 \times x \times 2+2^2
[ (a-b)^2=a^2-2 a b+b^2 से]
=(x-2)^2
Example:3(ii). \frac{x^2}{100}-y^2
Solution: \frac{x^2}{100}-y^2 \\ =\left(\frac{x}{10}\right)^2-y^2 \\ =\left(\frac{x}{10}-y\right) \left(\frac{x}{10}+y\right)
[ x^2-y^2=(x-y)(x+y) से]
Example:4.उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए।
Example:4(i). (2+x-2 y)^2
Solution: (2+x-2 y)^2 \\ =(2)^2+x^2+(-2 y)^2+2 \times 2 \times x+2 \times x \times-2 y+2 \times 2 \times (-2 y) \\ =4+x^2+4 y^2+4 x-4 x y-8 y
[सर्वसमिका (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 z y z+2 xz से]
Example:4(ii). (a+2 b+4 c)^2
Solution: (a+2 b+4 c)^2 \\ =(a)^2+(2 b)^2+(4 c)^2+2 \times a \times 2 b+2 \times 2 b \times 4 c+ 2 \times a \times 4 c
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2xz से]
=a^2+4 b^2+16 c^2+4 a b+16 b c+8 a c
Example:4(iii). (m+2 n-5 p)^2
Solution: (m+2 n-5 p)^2 \\ = (m)^2+(2 n)^2+(-5 p)^2+2 \times m \times 2 n+2 \times m \times(-5 b) +2 \times 2 n \times(-5 p)
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 x z से]
= m^2+4 n^2+25 p^2+4 m n-10 m p-20 n p
Example:4(iv). \left(3 a-7 b-c\right)^2
Solution: (3 a-7 b-c)^2 \\ =(3 a)^2+(-7 b)^2+\left(-c^2\right)^2+2 \times 3 a \times -7 b+2 \times(-7 b) \times(-c) +2 \times 3 a \times -c
[ \left(x^2+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x से]
=9 a^2+49 b^2+c^2-42 a b+14 b c-6 a c
Example:5.गुणनखण्ड कीजिए:
x^2+2 y^2+8 z^2+2 \sqrt{2} x y-8 y z-4 \sqrt{2} x z
Solution: x^2+2 y^2+8 z^2+2 \sqrt{2} x y-8 y z-4 \sqrt{2} x z \\ =\left(x^2\right)+(\sqrt{2} y)^2+(-2 \sqrt{2} z)^2+2 \times \sqrt{2} y \times x+2 \times(\sqrt{2} y)(-2 \sqrt{2} z) +2 \times x \times(-2 \sqrt{2} z) \\ =(x+\sqrt{2} y-2 \sqrt{2} z)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 x z से तुलना करने पर]
Example:6.निम्न घनों का विस्तार कीजिए:
Example:6(i). \left(1+2 x\right)^3
Solution: (1+2 x)^3 \\ =(1)^3+3 \times 1^2 \times 2 x+3 \times 1 \times(2 x)^2+(2 x)^3
[ (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 से]
=1+6x+12 x^2+8 x^3
Example:6(ii). \left(x-\frac{2}{3} y\right)^3
Solution: \left(x-\frac{2}{3} y\right)^3 \\ =(x)^3+3(x)^2\left(-\frac{2}{3} y\right)+3 \times x \times\left(-\frac{2}{3} y\right)^2+\left(-\frac{2}{3} y\right)^3
[ (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 से]
=x^3-2 x^2 y+\frac{4}{3} x y^2-\frac{8}{27} y^3
Example:7.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके मान ज्ञात कीजिए:
Example:7(i). (999)^3
Solution: (999)^3 \\ =(1000-1)^3 \\ =(1000)^3-3 \times(1000)^2 \times 1+3 \times 1000 \times(-1)^2-(1)^3 \\ =1000000000-3000000+3000-1
[ (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 से]
=997,002,999
Example:7(ii). (1008)^3
Solution: (1008)^3 \\ =(1000+8)^3 \\ =(1000)^3+3(1000)^2 \times 8+3 \times 1000 \times 8^2+8^3
[ (a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 से]
=1000000000+24000000+192000+512
=1024,192,512
Example:8.गुणनखण्ड कीजिए:
Example:8(i). 27 a^3-8 b^3-54 a^2 b+36 a b^2
Solution: 27 a^3-8 b^3-54 a^2 b+36 a b^2 \\ =(3 a)^3-(2 b)^3-3 \times(3 a)^2 \times 2 b+3 \times 3 a \times(2 b)^2-(2 b)^3
[ (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3 से तुलना करने पर]
=(3 a-2 b)^3
Example:8(ii). 27-125 x^3-135 x+225 x^2
Solution: 27-125 x^3-135 x+225 x^2 \\ =(3)^3-(5 x)^3-3 \times(3)^2 \times 5 x+3 \times 3 \times(5 x)^2
[(x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 से]
=(3-5 x)^3
Example:9.गुणनखण्ड कीजिए:
Example:9(i). 125 x^3-8 y^3
Solution: 125 x^3-8 y^3 \\ =(5 x)^3-(2 y)^3 \\ =(5 x-2 y)\left[(5x)^2+(5 x)(2 y)+(2 y)^2\right]
[ a^3-b^3-(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) से]
=(5 x-2 y)\left(25 x^2+10 x y+4 y^2\right)
Example:9(ii). 27 x^3+343 y^3
Solution: 27 x^3+343 y^3 \\ =(3 x)^3+(7 y)^3 \\ =(3 x+7 y)\left[(3 x)^2-3 x \times 7 y+(7 y)^2\right]
[ x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right) से]
=(3 x+7 y)\left(27 x^2-21 x y+49 y^2\right)
Example:10.सत्यापित कीजिए:
27 a^3+b^3+c^3-9abc=(3a+b+c)\left[3 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right]
Solution: 27 a^3+b^3+c^3-9abc=(3a+b+c)\left[3 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right] \\ \text { L.H.S. } 27 a^3+b^3+c^3-9 a b c \\ =(3 a)^3+b^3+c^3-3 \times 3 a \times b \times c
[ x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-zx\right) से]
=(3 a+b+c)\left[(3a)^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right] \\ =(3 a+b+c)\left(9 a^2+b^2+c^2-3 a b-b c-3 a c\right)=\text{R.H.S.}
Example:11.यदि x+y+z=0 हो तो सत्यापित कीजिए कि x^3+y^3+z^3=3 x y z
Solution: x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z) \left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-x z\right)
x+y+z=0 रखने पर
\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-x z\right) \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0 \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3 x y z
Example:12.उपयुक्त बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए गणना कीजिए:
(-15)^3+(28)^3+(-13)^3
Solution: (-15)^3+(28)^3+(-13)^3
माना x=-15,y=28,z=-13
x+y+z=-15+28-13=0
x+y+z=0 रखने पर:
x^3+y^3+z^3-3 x y z=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right) \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3-3 x y z=0 \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3 x y z
x=-15,y=28,z=-13 रखने पर:
(-15)^3+(28)^3+(-13)^3=3 \times-15 \times 28 \times-13 \\ \Rightarrow(-15)^3+(28)^3+(-13)^3=16380
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) को समझ सकते हैं।
3.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल की समस्याएँ (Important Questions of Algebraic Identity Problems):
निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(1.)(x+2 y+4 z)^2
(2.)(-3 x+y+5 z)^2
निम्नलिखित घन को प्रसारित रूप में लिखिए:
(3.)(2 x-3 y)^3
(4.)(a x+b y)^3
उत्तर (Answers): (1.)x^2+4 y^2+16 z^2+4 x y+16 y z+8 z x \\ (2.)9 x^2+y^2+25 z^2-6 x y+10 y z-30 z x \\ (3.)8 x^3-36 x^2 y+54 x y^2-27 y^3 \\ (4.)a^3 x^3+3 a^2 b x^2 y+3 a b^2 x y^2+b^3 y^3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Frequently Asked Questions Related to Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.बीजीय सर्वसमिका से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean By Algebraic Identity?):
उत्तर:बीजीय सर्वसमिका (Algebraic Identity) एक ऐसी बीजीय समीकरण होती है जो चर के सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य होती है।
प्रश्न:2.मुख्य बीजीय सर्वसमिकाओं के सूत्र लिखिए। (Write the Formulas of the Main Algebraic Identities):
उत्तर: (1.)(x+y)^2=x^2+2 x y+y^2 \\ (2.)(x-y)^2=x^2-2 x y+y^2 \\ (3.) x^2-y^2=(x+y)(x-y) \\ (4.)(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b \\ (5.) (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x \\ (6.) (x+y)^3=x^3+y^3+3 x y(x+y) \\ (7.) (x-y)^3=x^3-y^3-3 x y(x-y) \\ (8.) x^3+y^3+z^3-3 x yz=(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right)
प्रश्न:3.बीजीय सर्वसमिका कितने पदों पर लागू की जा सकती है? (How Many Terms Can the Algebraic Identity be Applied to?):
उत्तर:दो या दो से अधिक पदों के गुणनखण्ड करने,गुणनफल करने पर बीजीय सर्वसमिकाएँ लागू की जा सकती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल का परिचय (Introduction to Important Questions of Algebraic Identity),बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल कक्षा 9 (Important Questions of Algebraic Identity Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल
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बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्त्वपूर्ण सवाल (Important Questions of Algebraic
Identity) को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाओं को ठीक से समझ सकेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
