1.आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix 12th),आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix Class 12):

Adjoint and Inverse of Matrix 12th

आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix 12th) पर आधारित सवालों को हल करने के साथ-साथ इस पर आधारित प्रमेयों को का भी अध्ययन करेंगे।
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2.आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 के उदाहरण (Adjoint and Inverse of Matrix 12th Examples):

Example:13. यदि A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] है तो दर्शाइए कि A^2-5 A+7 I=0 है इसकी सहायता से A^{-1} ज्ञात कीजिए।
Solution: A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} 3 \times 3+1 \times-1 & 3 \times 1+1 \times 2 \\ -1 \times 3+2 \times-1 & -1 \times 1+2 \times 2 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} 9-1 & -3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] \\ A^2-5 A+7 I=0
L.H.S.
A^2-5 A+7 I \\ \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]+7\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right] \\ = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\=0=\text { R.H.S. }
पुन: A^2-5 A+7 I=0 \\ 7 I=-A^2+5 A
दोनों पक्षों को A^{-1} से गुणा करने पर:

7 I A^{-1}=-A^{2}\left(A^{-1}\right)+5 A A^{-1} \\ \Rightarrow 7 A^{-1}=-A(A A^{-1})+5 I \left[\because A A^{-1}=I\right] \\ \Rightarrow 7 A^{-1}=-A I+5 I \\ =-\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]+5\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ 1 & -2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]+5\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} -3 \times 1-1 \times 0 & -3 \times 0 -1 \times 1 \\ 1 \times 1-2 \times 0 & 1 \times 0 -2 \times 1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ 1 & -2 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} -3+5 & -1+0 \\ 1+0 & -2+5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ll} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]
Example:14.आव्यूह A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A^2+a A+b I=0 हो।
Solution: A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] \\ A^2=\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} 3 \times 3+2 \times 1 & 3 \times 2+2 \times 1 \\ 1 \times 3+1 \times 1 & 1 \times 2+1 \times 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^2= \left[\begin{array}{ll} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right] \\ A^2+a A+b I=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right]+a\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] +b \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} 11+3 a+b & 8+2 a \\ 4+a & 3+a+b \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]
तुलना करने पर:
11+3a+b=0,8+2a=0
4+a=0,3a+a+b=0
8+2a=0 से a=-4
11+3a+b=0 में a=-4 रखने पर:
11+3(-4)+b=0 \\ \Rightarrow 11-12+b=0 \\ \Rightarrow-1+b=0 \Rightarrow b=1 \\ a=-4, b=1

Adjoint and Inverse of Matrix 12th

Example:15.आव्यूह A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right] के लिए दर्शाइए कि A^3-6 A^2+5 A+11 I=0 है।इसकी सहायता से ज्ञात कीजिए।
Solution:-

अब
पुन: A^3-6 A^2+5 A+11 I=0
दोनों पक्षों को A^{-1} से गुणा करने पर:

A^3 A^{-1}-6 A^2 A^{-1}+5 A A^{-1}+11 I A^{-1}=0 A^{-1} \\ \Rightarrow A^2(A A^{-1})-6 A(A A^{-1})+5 I+11 A^{-1}=0 \\\left [\because 0A^{-1}=0, AA^{-1}=I, I A^{-1}=A^{-1}\right] \\ \Rightarrow A^2 I-6 A I+5 I+11 A^{-1}=0 \\ \Rightarrow A^2-6 A+5+11 A^{-1}=0 \\ \Rightarrow 11 A^{-1}=-A^2+6 A-5 I \\ =-\left[\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{array}\right]+ 6\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]-5\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} -4 & -2 & -1 \\ 3 & -8 & 14 \\ -7 & 3 & -14 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & -18 \\ 12 & -6 & 18 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} -4+6-5 & -2+6-0 & -1+6-0 \\ 3+6-0 & -8+12-5 & 14-18-0 \\ -7+12-0 & 3-6-0 & -14+18-5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{-1} =\frac{1}{11}\left[\begin{array}{ccc} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{array}\right]
Example:16.यदि A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]  तो सत्यापित कीजिए कि A^3-6 A^2+9 A-4 I=0 है तथा इसकी सहायता से ज्ञात कीजिए।
Solution:

अब
पुन:  A^3-6 A^2+9 A-4 I=0
दोनों पक्षों को A^{-1} से गुणा करने पर:

Example:17.यदि A,3×3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |adj A| का मान है:

(A)|A| (B)|A|^2 (C)|A|^3  (D)3|A|
Solution:यदि A,n×n कोटि का आव्यूह है तो

|\operatorname{adj} A|=|A|^{n-1}
n=3 रखने पर:

|\operatorname{adj} A|=|A|^{3-1} \\ \Rightarrow|\operatorname{adj} A|=|A|^2
अतः विकल्प (B) सही है।
Example:18.यदि A कोटि दो का व्युत्क्रमीय आव्यूह है तो \operatorname{det}\left(A^{-1}\right) बराबर:

(A) \operatorname{det}(A) (B) \frac{1}{\operatorname{det}(A)} (C) 1 (D) 0
Solution:A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो

|A| \neq 0 \\ A A^{-1}=I \\ \Rightarrow |A A^{-1}|=|I| \\ \Rightarrow |A||A^{-1}|=1 \\ \Rightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \\ \Rightarrow \operatorname{det}A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} 
[\because \operatorname{det} A=|A| तथा  \operatorname{det} A^{-1}=|A^{-1}|]
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix 12th),आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix Class 12) को समझ सकते हैं।

3.आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Adjoint and Inverse of Matrix 12th):

Adjoint and Inverse of Matrix 12th

(1.)यदि मैट्रिक्स A=\left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array}\right] हो,तो सिद्ध कीजिए कि: A^{-1}=A^3
(2.)यदि A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{array}\right] तो सिद्ध कीजिए कि A^{-1}=A^{\top}

4.आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 पर आधारित प्रमेय (Theorem Based on Adjoint and Inverse of Matrix 12th):

प्रमेय (Theorem):1.यदि A कोई n कोटि का आव्यूह है तो
A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=|A| I जहाँ I, n कोटि का तत्समक आव्यूह है।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए:
A=\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]  है तब \operatorname{adj}A=\left[\begin{array}{lll} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ a_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}\right]
क्योंकि एक पंक्ति या स्तम्भ के अवययों का संगत सहखण्डों की गुणा का योग के समान होता है अन्यथा शून्य होता है।
इस प्रकार A(\operatorname{adj} A)=\left[\begin{array}{ccc} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{array}\right]=|A|\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ =|A| I
इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

(\operatorname{adj} A) A=|A| I
अतः A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=|A| I सत्यापित है।
प्रमेय (Theorem):3.आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके क्रमशः सारणिकों के गुणनफल के समान होता है अर्थात् |A B|=|A||B|,जहाँ A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं।
उपपत्ति (Proof):हम जानते हैं कि

(\operatorname{adj} A) A=|A| I=\left[\begin{array}{ccc} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{array}\right]
दोनों आव्यूहों का सारणिक लेने पर:

|(\operatorname{adj} A) A|=\left|\begin{array}{ccc} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{array}\right|
अर्थात् |\operatorname{adj} A||A|=|A|^{3} \left| \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|\\ \Rightarrow|(\operatorname{adj} A)||A|=|A|^3(I) \\ \Rightarrow |(\operatorname{adj} A)|=|A|^2
व्यापक रूप से यदि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह A हो तो |\operatorname{adj} A|=|A|^{n-1} होगा।
प्रमेय (Theorem):4.एक वर्ग आव्यूह के व्युत्क्रम का अस्तित्व है,यदि और केवल यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए n कोटि का व्युत्क्रमणीय आव्यूह A है और n कोटि का तत्समक आव्यूह I है तब n कोटि के एक वर्ग आव्यूह B का अस्तित्व इस प्रकार हो ताकि AB=BA=I (क्योंकि |I|=1 ,|AB|=|A||B|)
इससे प्राप्त होता है |A| \neq 0 अतः A व्युत्क्रमणीय है।
विलोमत:मान लीजिए A व्युत्क्रमणीय है।तब

|A| \neq 0
अब A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=|A| I (प्रमेय 1 से )
\Rightarrow A \left(\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \right)=\left(\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \right) A=I\\ \Rightarrow A B=B A=I जहाँ B=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A
अत: A के व्युत्क्रम का अस्तित्व है और A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix 12th),आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Adjoint and Inverse of Matrix 12th),आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आव्यूह के सहखण्डज और व्युत्क्रम कक्षा 12 (Adjoint and Inverse of Matrix 12th) पर
आधारित सवालों को हल करने के साथ-साथ इस पर आधारित प्रमेयों को का भी अध्ययन करेंगे।