1.अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for y in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree):

Equations Solvable for y in DE

अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for y in DE),का अध्ययन इस आर्टिकल में करेंगे।इसे कुछ उदाहरणों द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों के साधित उदाहरण (Equations Solvable for y in DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. y=2 p x-p^2
Solution: दिया हुआ समीकरण है:

y=2 p x-p^2 \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=2 p+2 x \frac{d p}{d x}-2 p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=2 p+2 x \frac{d p}{d x}-2 p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p+2 x \frac{d p}{d x}-2 p \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d p}{d x}(2 x-2 p)+p=0 \\ \Rightarrow p \frac{d x}{d p}+2 x-2 p=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}+\frac{2 x}{p}=2 \ldots(2)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तथा इसमें x आश्रित चर है तथा p स्वतन्त्र चर है।

\therefore \text{I.F.}=e^{\int \frac{2}{p} d p}=e^{2 \log p} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=p^2
(2) का अभीष्ट हल होगा:

x \cdot(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) Q d p+C \\ \Rightarrow x p^2=\int p^2(2) d p+c \\ =\frac{2 p^3}{3}+C \\ \Rightarrow x=\frac{2 p}{3}+c p^{-2} \cdots(3)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=2 p\left(\frac{2 p}{3}+c p^{-2}\right)-p^2 \\ \Rightarrow y=\frac{4}{3} p^2+2 c p^{-1}-p^2 \\ \Rightarrow y=\frac{1}{3} p^2+2 c p^{-1} \\ x=\frac{2 p}{3}+c p^{-2}, y=\frac{1}{3} p^2+2 c p^{-1}
Example:2. y=2 p x+p^4 x^2
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y=2 p x+p^4 x^2 \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+2 x p^4+4 x^2 p^3 \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+2 x p^4+4 x^2 p^3 \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p+2 x \frac{d p}{d x}+2 x p^4+4 x^2 p^3 \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow 1\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)+2 x p^3\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right) =0 \\ \Rightarrow \left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)\left(1+2 x p^3\right)=0 \\ 1+2 x p^3 को छोड़ने पर:

p+2 x \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}+\frac{2}{p} d p=0
समाकलन करने पर:

\log x+2 \log p=\log c \\ \Rightarrow \log \left(x p^2\right)=\log c \\ \Rightarrow x p^2=c \Rightarrow p=\sqrt{\frac{c}{x}} \cdots(2)
(1) और (2) में से p का विलोपन (elimination) करने पर:

y=2 x \times \sqrt{\frac{c}{x}}+\frac{c^2}{x^2} \cdot x^2 \\ \Rightarrow y-c^2=2 \sqrt{c x} \\ \Rightarrow \left(y-c^2\right)^2=4 c x
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:3. y=2 p x-p x^2 
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y=2 p x-p x^2\\ \Rightarrow p\left(2 x-x^2\right)-y \\ \Rightarrow p=\frac{y}{2 x-x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{2 x-x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x(2-x)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}=\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2(2-x)}\right) d x \\ \Rightarrow 2 \frac{ dy}{y}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}\right) d x
समाकलन करने पर:

\Rightarrow 2 \int \frac{d y}{y}=\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{1}{x-2} d x \\ \Rightarrow 2 \log y=\log x-\log (x-2)+\log c \\ \Rightarrow \log y^2=\log \frac{c x}{x-2} \\ \Rightarrow y^2=c x(x-2)^{-1}
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:4. y-2 p x=f\left(x p^2\right)
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y-2 p x=f\left(x p^2\right) \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}-2 p-2 x \frac{d p}{d x}=f^{\prime}\left(x p^2\right)\left[p^2+2 p x \frac{d p}{d x} \right] \\ \Rightarrow p-2 p-2 x \frac{d p}{d x}-f^{\prime}\left(x p^2\right)\left[p^2+2 p x \frac{d p}{d x} \right]=0 \\ \Rightarrow -\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)-p f^{\prime}\left(x p^2\right)\left(p+2 x \frac{d p}{d x} \right) =0 \\ \Rightarrow \left(-1-p f^{\prime}\left(x p^2\right)\right)\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)=0 \\ -1-p f^{\prime}\left(x p^2\right)  को छोड़ने पर:

\Rightarrow p+2 x \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}+\frac{2}{p} d p=0
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{x}+\int \frac{2}{b} d p=0 \\ \Rightarrow \log x+2 \log p=\log c^2 \\ \Rightarrow \log p^2=\log \frac{c}{x}^2 \\ \Rightarrow p^2=\frac{c^2}{x} \Rightarrow p=\frac{c}{\sqrt{x}} \cdots(2)
(1) और (2) में से p का विलोपन (elimination) करने पर:

y-2 x \cdot \frac{c}{\sqrt{x}}=f\left(x \cdot \frac{c^2}{x}\right) \\ \Rightarrow(y-2 c \sqrt{x})=f\left(c^2\right) \\ \Rightarrow y=2 c \sqrt{x}+f\left(c^2\right)
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।

Equations Solvable for y in DE

Example:5. y=2 p x+\tan^{-1}\left(x p^2\right)
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y=2 p x+\tan^{-1}\left(x p^2\right) \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+\frac{1}{1+\left(x p^2\right)^{2}}\left[p^2+2 p x \frac{d p}{d x}\right] \\ \Rightarrow p=2 p+2 x \frac{d p}{d x}+\frac{p}{1+x^2 p^4}\left[p+2 x \frac{d p}{d x}\right]=0 \\ \Rightarrow \left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)+ \frac{p}{1+x^2 p^4}\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(1+\frac{p}{1+x^2 p^4}\right)\left(p+2 x \frac{d p}{d x}\right)=0\\ \left(1+\frac{p}{1+x^2 p^4}\right) को छोड़ने पर:

\Rightarrow p+2 x \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}+\frac{2}{p} d p=0
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{x}+\int \frac{2}{p} d p=0 \\ \Rightarrow \log x+2 \log p=\log c^2 \\ \Rightarrow \log p^2 =\log \left(\frac{c^2}{x} \right) \\ \Rightarrow p^2=\frac{c^2}{x} \\ \Rightarrow p=\frac{c}{\sqrt{x}} \cdots(2)
(1) और (2) में से p का विलोपन (elimination) करने पर:

y=2 x \cdot \frac{c}{\sqrt{x}}=\tan^{-1} \left(x \cdot \frac{c^2}{x}\right) \\ \Rightarrow(y-2 c \sqrt{x}) =f\left(c^2\right)
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:6. y=x+a \tan ^{-1} p
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y=x+a \tan ^{-1} p \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=1+\frac{a}{1+p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=1+\frac{a}{1+p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p-1=\frac{a}{1+p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow d x=\frac{a}{(p-1)\left(1+p^2\right)} d p \\ dx=\left(\frac{A}{p-1}+\frac{B p+D}{1+p^2}\right) d p \cdots(2) \\ \frac{A}{p-1}+\frac{B p+D}{1+p^2} =\frac{a}{(p-1)\left(1+p^2\right)} \\ \Rightarrow A\left(1+p^2\right)+(Bp+D)(p-1)=a \\ \text{Put } p=1 \\ 2A=a \Rightarrow A=\frac{a}{2} \\ \text{Put } p=0 \\ A-D=a \\ \Rightarrow \frac{a}{2}-D=a \Rightarrow D=-\frac{a}{2} \\ (A+B) p^2+p(D-B)+A-c=a
तुलना करने पर:
A+B=0, \quad D-B=0, A-C=a \\ \Rightarrow D-B=0 \\ \Rightarrow -\frac{a}{2}-B=0 \\ \Rightarrow B=\frac{a}{2}
A,B,D के मान (2) में रखने पर:

समाकलन करने पर:
\int dx=\frac{a}{2} \int \frac{1}{p-1} d p-\frac{a}{2} \int \frac{p}{1+p^2} d p-\frac{a}{2} \int \frac{1}{1+p^2} dp \\ x=\frac{a}{2} \log (p-1)-\frac{a}{4} \log \left(1+p^2\right)-\frac{a}{2} \tan ^1 p+c
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\frac{a}{2} \log (p-1)-\frac{a}{4} \log \left(1+p^2\right)+\frac{a}{2} \tan^{-1} p+c
तथा x=\frac{a}{2} \log (p-1)-\frac{a}{4} \log \left(1+p^2\right)-\frac{a}{2} \tan ^{-1} p+c
Example:7. x p^2-2 y p+a x=0
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

x p^2-2 y p+a x=0 \\ \Rightarrow 2 y p=x p^2+a x \\ \Rightarrow y=\frac{x}{2} p+\frac{a x}{2 p} \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{p}{2}+\frac{x}{2} \frac{d p}{d x}+\frac{a}{2 p}-\frac{a x}{2 p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=\frac{p}{2}+\frac{x}{2} \frac{d p}{d x}+\frac{a}{2 p}-\frac{a x}{2 p^2} \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow -\frac{p}{2}+\frac{x}{2} \frac{d p}{d x}+\frac{a}{2 p}-\frac{a x}{2 p^2} \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow -\frac{1}{2}\left(p-x \frac{d p}{d x}\right)+\frac{a}{2 p^2}\left(p-x \frac{d p}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(-\frac{1}{2}+\frac{a}{2 p^2}\right)\left(p-x \frac{d p}{d x}\right)=0 \\ -\frac{1}{2}+\frac{a}{2 p^2} को छोड़ने पर:

p-x \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}-\frac{d p}{p}=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{d x}{x}-\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log x-\log p=\log c \\ \Rightarrow \log p=\log \frac{x}{c} \\ \Rightarrow p=\frac{x}{c}
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

2y=\frac{x^2}{c}+a c
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:8. y=\sin p-p \cos p
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

y=\sin p-p \cos p \cdots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\cos p \frac{d p}{d x}-\cos p \frac{d p}{d x}+p \sin p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=p \sin p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow d x=\sin p dp
 समाकलन करने पर:
\int dx=\int \sin p d p \\ \Rightarrow x=-\cos p+c \\ \Rightarrow \cos p=c-x \\ \Rightarrow p=\cos ^{-1}(c-x) \\ \sin p=\sqrt{1-(c-x)^2} \\ \Rightarrow \sin p=\sqrt{1-c^2+2 c x-x^2} \\ p, \cos p व \sin p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\sqrt{1-c^2+2cx-x^2}-\cos ^{-1}(c-x) \cdot(c-x) \\ \Rightarrow (c-x) \cos ^{-1}(c-x)=\sqrt{1-c^2+2 c x-x^2}-y \\ \Rightarrow \cos ^{-1}(c-x)=\frac{\sqrt{\left(1-c^2+2cx-x^2\right)}-y}{c-x} \\ \Rightarrow c-x=\cos \left[\frac{\sqrt{1-c^2+2 c x-x^2}-y}{c-x}\right]
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:9. x-p y=a p^2
Solution:दिया हुआ समीकरण है:

x-p y=a p^2 \\ \Rightarrow y=\frac{x}{p}-a p \ldots(1)
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{p}-\frac{x}{p^2} \frac{d p}{d x}-a \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{p}-\frac{x}{p^2} \frac{d p}{d x}-a \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-p+\left(-\frac{x}{p^2}-a\right) \frac{d p}{d x}=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1-p^2}{p}\right) \frac{d x}{d p}-\frac{x}{p^2}-a=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d p}-\frac{x}{p \left(1-p^2\right)}=\frac{a p}{1-p^2} \cdots(2)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तथा इसमें x आश्रित चर है तथा p स्वतन्त्र चर है।

\text{ I.F.}=e^{\int \left[-\frac{1}{p\left(1-p^2\right)} d p\right]} \\ =\int\left[-\frac{1}{p}-\frac{1}{2(1-p)}+\frac{1}{2(1+p)}\right] d p \\ =e^{-\log p+\frac{1}{2} \log (1-p)+\frac{1}{2} \log (1+p)} \\ =e^{\log \left(\frac{\sqrt{1-p^2}}{p}\right)} \\ \Rightarrow \text{ I.F.}=\frac{\sqrt{1-p^2}}{p}
अत: (2) का अभीष्ट हल होगा:

x \cdot \frac{\sqrt{1-p^2}}{p} =\int \frac{\sqrt{1-p^2}}{b} \times \frac{a p}{1-p^2} d p+c \\ \Rightarrow x \cdot \frac{\sqrt{1-p^2}}{p}=a \int \frac{1}{\sqrt{1-p^2}} dp+c\\ \Rightarrow x \frac{\sqrt{1-p^2}}{b}=a \sin ^{-1} p+c \\ \Rightarrow x =\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}\left(a \sin ^{-1} p+c\right)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}(a \sin^{-1} p+c)-a p
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for y in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों पर आधारित सवाल (Questions Based on Equations Solvable for y in DE):

Equations Solvable for y in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) y=2 p x+p^2
(2.) 8 a p^3=27 y
उत्तर (Answers):- (1.)y=\frac{2}{3} \frac{c}{p}-\frac{1}{3} p^2 , x=\frac{1}{3} c p^2-\frac{2}{3} p
(2.) (9 x+c)^3=729 a y^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for y in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Frequently Asked Questions Related to Equations Solvable for y in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में समीकरण जो y के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for y
in DE),का अध्ययन इस आर्टिकल में करेंगे।इसे कुछ उदाहरणों द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।