Complex Numbers Class 11
1.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11):
सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं को मानक रूप में रखने,गुणात्मक प्रतिलोम आदि पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Complex Numbers Class 11):
प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
Example:1. ( 5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)
Solution: (5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right) \\ =-3 i^2=3 \quad\left[i^2=-1\right] \\ =3+0 \cdot i
Example:2. i^9+i^{19}
Solution: i^9+i^{19} \\ =i(i^4)^2+i\left(i^2\right)(i^4)^2 \\ =i(1)^2+i(-1)(1)^2\left[\because i^4=1, i^2=-1\right] \\ =i-i \\ =0
Example:3. i^{-39}
Solution: i^{-39} \\ =\frac{1}{i^{39}} \\ =\frac{1}{i(i)^2(i^4)^9} \\ =\frac{1}{i(-1)(1)^9} \quad\left[i^4=1, i^2=-1\right] \\ =-\frac{1}{i} \\ =\frac{-i}{i^2} \\ =i \quad\left[i^2=-1\right]
Example:4. 3(7+7 i)+i(7+7 i)
Solution: 3(7+7 i)+i(7+7 i) \\ =21+21 i+7 i+7 i^2 \\ =21+28 i-7 \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ =14+28 i
Example:5. (1-i)-(-1+6 i)
Solution: (1-i)-(-1+6 i) \\=1-i+1-6 i \\ =2-7 i
Example:6. \left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)
Solution: \left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right) \\ \frac{1}{5}+i \frac{2}{5}-4-\frac{5 i}{2} \\ =\frac{1}{5}-4+\frac{2 i}{5}-\frac{5 i}{2} \\ = \frac{1-20}{5}+\frac{4 i-25 i}{15} \\ = -\frac{19}{5}-\frac{21 i}{10}
Example:7. \left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)
Solution: \left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right) \\ =\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}+4+\frac{i}{3}+\frac{4}{3}-i \\ =\frac{1}{3}+\frac{4}{1}+\frac{4}{3}+\frac{7 i}{3}+\frac{i}{3}-\frac{i}{1} \\ =\frac{1+12+4}{3}+\frac{7 i+i-3 i}{3} \\ =\frac{17}{3}+\frac{5}{3} i
Example:8. (1-i)^4
Solution: (1-i)^4 \\ =\left(1-2 i+i^2\right)^2 \\ =(1-2 i-1)^2 \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ =(-2 i)^2 \\ =4 i^2 \\ =-4
Example:9. \left(\frac{1}{3}+3 i\right)^3
Solution: \left(\frac{1}{3}+3 i\right)^3 \\ =\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^2\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(\frac{1}{9}+2 i+9 i^2\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(\frac{1}{9}+2 i-9\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right)\left[i^2=-1\right] \\ =\left(\frac{1}{9}-81+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(-\frac{8}{9}+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\=-\frac{80}{27}-\frac{80 i}{3}+\frac{2}{3} i+6 i^2 \\ =-\frac{80}{27}-\frac{6}{1}-\frac{80 i}{3}+\frac{2}{3} i\left[i^2=-1\right] \\ =\frac{-80-162}{27}+\frac{(-80 i+2 i)}{3} \\ =-\frac{242}{27}-\frac{78 i}{3} \\ =-\frac{242}{27}-26 i
Example:10. \left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3
Solution: \left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3 \\ =\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^2\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(4+\frac{4}{3} i+\frac{1}{9} i^2\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{4}{1}-\frac{1}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{36-1}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{35}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\frac{-70}{9}-\frac{35}{27} i-\frac{8}{3} i-\frac{4}{9} i^2 \\ =\frac{-70}{9}+\frac{4}{9}-\frac{35 i}{27}-\frac{8 i}{3}\left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{-70+4}{9}+\frac{-35 i-72 i}{27} \\ =-\frac{66}{9}-\frac{107}{27} i \\ =-\frac{22}{3}-\frac{107}{27} i
प्रश्न 11 से 13 की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
Example:11. 4-3 i
Solution: 4-3 i
माना z=4-3 i \\ \bar{z} =4+3 i \\ |z|^2 =(4)^2+(-3)^2 \\=16+9 \\ \Rightarrow|z|^2=25 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ \bar{z}=\frac{4+3i}{25} \\ \Rightarrow \bar{z}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i
Example:12. \sqrt{5}+3 i
Solution: \sqrt{5}+3 i
माना z=\sqrt{5}+3 i \\ \bar{z}=\sqrt{5}-3 i \\ |z|^2=(\sqrt{5})^2+(3)^2 \\ =5+9 \\ \Rightarrow |z|^2=14 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ =\frac{\sqrt{5}-3 i}{14} \\ \Rightarrow z^{-1}=\frac{\sqrt{5}}{14}-\frac{3}{14} i
Example:13. -i
Solution: -i
माना z=-i \\ \bar{z}=i \\ |z|^2=(0)^2+(-1)^2 \\ |z|^2=1 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ =\frac{i}{1} \\ \Rightarrow z^{-1}=i
Example:14.निमनलिखित व्यंजक को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए:
Solution:-\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})} \\ =\frac{9-(i \sqrt{5})^2}{\sqrt{3}+\sqrt{2} i-\sqrt{3}+i \sqrt{2}} \\=\frac{9-5 i^2}{2 \sqrt{2} i} \\ =\frac{9+5}{2 \sqrt{2} i}\left[i^2=-1\right] \\=\frac{14}{2 \sqrt{2} i} \times \frac{i}{i} \\ =\frac{14 i}{2 \sqrt{2} i^2} \\ =\frac{-7 \sqrt{2}}{2} i \quad[i^{2}=-1]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 के सवाल (Complex Numbers Class 11 Questions):
(1.) \frac{1+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
(2.) 2+3 i का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
Answer:-(1.) 1+2 \sqrt{2} i
(2.) \frac{2}{13}-\frac{3}{13} i
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सम्मिश्र संख्याओं के योग के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Addition of Complex Numbers?):
उत्तर:यदि z_1=a+i b और z_2=c+i d कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं।तब z_1+z_2 के योग को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है:
z_1+z_2=(a+c)+i(b+d) जो कि पुन: एक सम्मिश्र संख्या है।
सम्मिश्र संख्याओं के योग निम्नलिखित प्रगुणों को सन्तुष्ट करते हैं।
(1.)संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का योगफल एक सम्मिश्र संख्या होती है अर्थात् सारी सम्मिश्र संख्याओं z_1 तथा z_2 के लिए z_1+z_2 एक सम्मिश्र संख्या है।
(2.)क्रम विनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z_1 तथा z_2 के लिए z_1+z_2=z_2+z_1
(3.)साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं z_1,z_2 तथा z_3 के लिए
\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)
(4.)योगात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या 0+i.0 (0 के द्वारा दर्शाया जाता है) योगात्मक तत्समक अथवा शून्य सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z,
z+0=z
(5.)योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के z=a+ib के लिए हमें सम्मिश्र -a+i(-b) (-z के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है,जो कि योगात्मक प्रतिलोम अथवा z का ऋण कहलाता है।हम प्रेक्षित करते हैं कि z+(-z)=0 (योगात्मक तत्समक)
प्रश्न:2.सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Multiplication of Complex Numbers?):
उत्तर:मान लीजिए z_1=a+i b और z_2=c+i d कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं तब गुणनफल z_1 z_2
निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता है:
z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)
सम्मिश्र संख्याओं के गुणन की संक्रिया में निम्नलिखित प्रगुण होते हैं:
(1.)संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होती है,सारी सम्मिश्र संख्याओं z_1 तथा z_2 के लिए,गुणनफल z_1 z_2 एक सम्मिश्र संख्या होती है।
(2.)क्रम विनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z_1 तथा z_2 के लिए
z_1 z_2=z_2 z_1
(3.)साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं z_1,z_2 तथा z_3 के लिए
\left(z_1 z_2\right) z_3=z_1\left(z_2 z_3\right)
(4.)गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या 1+i.0 (1 के द्वारा दर्शाया जाता है) गुणात्मक तत्समक अथवा एकल सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z के लिए z.1=z
(5.)गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक शून्यत्तर सम्मिश्र संख्या z=a+i b \quad(a \neq 0, b \neq 0) के लिए हमें सम्मिश्र संख्या \frac{a}{a^2+b^2} +i \frac{(-b)}{a^2+ b^2} ( \frac{1}{2} अथवा z^{-1} के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है, z की गुणात्मक प्रतिलोम कहलाती है जिससे कि z \cdot \frac{1}{z}=1 (गुणात्मक तत्समक)
(6.)बंटन नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं z_1, z_2, z_3 के लिए
(a) z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2+z_1 z_3
(b) \left(z_1+z_2\right) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3
प्रश्न:3.गाॅस के अनुसार गणित की परिभाषा क्या है? (What is the Definition of Mathematics According to GAUSS?):
उत्तर:Mathematics is the Queen of Sciences and is the Queen of Mathematics.-GAUSS
(गणित विज्ञान की रानी है और गणित की रानी है।-गॉस)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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संख्याओं को मानक रूप में रखने,गुणात्मक प्रतिलोम आदि पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
