Trigonometric Ratio of Two Angles 11th
1.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11):
दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th) के इस आर्टिकल में दो कोणों के योग एवं अंतर पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित उदाहरण निम्नलिखित हैं:
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2.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 के उदाहरण (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th Example):
Example:1. 2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{13}\right)=0
Solution: 2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{13}\right) +\cos \left(\frac{5 \pi}{13}\right)=0 \\ \text{L.H.S. } 2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{13}\right) \\ 2 \cos \left(\frac{\pi}{13} \right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+2 \cos \left(\frac{\frac{3 \pi}{13}+\frac{5 \pi}{13}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{5 \pi}{13}-\frac{3 \pi}{13}}{2}\right) \\=2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+2 \cos \left(\frac{4 \pi}{13}\right) \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \\=2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right)\left[\cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{13}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right)\left[2 \cos \left(\frac{\frac{9 \pi}{3}+\frac{4 \pi}{13}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{9 \pi}{3}-\frac{4 \pi}{13}}{2}\right)\right] \\ =4 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{26}\right) \\ =4 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \times 0 \times \cos \left(\frac{5 \pi}{26}\right) \\ =0=\text{R.H.S.}
Example:2. (\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x- \cos x) \cos x=0
Solution: (\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x-\cos x) \cos x=0 \\ \text{L.H.S. } \sin 3 x \sin x+\sin ^2 x+\cos 3 x \cos x-\cos ^2 x \\ =\sin 3 x \sin x+\cos 3 x \cos x+\sin ^2 x-\cos ^2 x \\ =\cos (3 x-x)+\sin ^2 x-\cos ^2 x \\ =\cos 2 x-\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right) \\ =\cos 2 x-\cos 2 x\left[\because \cos ^2 x-\sin ^2 x=\cos 2 x\right] \\ =0=\text { R.H.S }
Example:3. (\cos x+\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2=4 \cos ^2\left(\frac{x+y}{2}\right)
Solution: (\cos x+\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2=4 \cos ^2\left(\frac{x+y}{2}\right) \\ \text { L.H.S. }(\cos x+\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2 \\ =\cos ^2 x+\cos ^2 y+2 \cos x \cos y+\sin ^2 x+\sin ^2 y -2 \sin x \sin y \\ =\sin ^2 x+\cos ^2 x+\sin ^2 y+\cos ^2 y+2 \cos x \cos y -2 \sin x \sin ^2 y \\ = 1+1+2(\cos x \cos y-\sin x \sin y) \\ = 2+2 \cos (x+y) \\ = 2\left[1+\cos (x+y)\right] \\ = 2\left[1+2 \cos ^2\left(\frac{x+y}{2}\right)-1\right] \left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1\right] \\ = 2 \times 2 \cos ^2\left(\frac{x+y}{2}\right) \\ = 4 \cos ^2\left(\frac{x+y}{2}\right)=\text { R.H.S. }
Example:4. (\cos x-\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2=4 \sin ^2\left(\frac{x-y}{2}\right)
Solution: (\cos x-\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2=4 \sin ^2\left(\frac{x-y^2}{2}\right) \\ \text{L.H.S. } (\cos x-\cos y)^2 +(\sin x-\sin y)^2 \\=\cos ^2 x+\cos ^2 y-2 \cos x \cos y+\sin ^2 x+\sin ^2 y-2 \sin x \sin y \\ = \left(\cos ^2 x+\sin ^2 x\right)+\left(\cos ^2 y+\sin ^2 y\right)-2(\cos x \cos y +\sin x \sin y) \\ = 1+1-2 \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ = 2\left[1-\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)\right] \\ = 2\left[1-\left\{1-2 \sin ^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\right\}\right]\left[\because \cos 2 x=1-2 \sin ^2 x\right] \\ = 2\left[1-1+2 \sin ^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\right] \\ = 4 \sin ^2\left(\frac{x-y}{2}\right)=\text { R.H.S. }
Example:5. \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x=4 \cos x \cdot \cos 2 x \sin 4 x
Solution: \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x=4 \cos x \cos 2 x \sin 4 x \\ \text{L.H.S. } \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x \\ =2 \sin \left(\frac{x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x-x}{2}\right)+2 \sin \left(\frac{5 x+7 x}{2}\right) \cos \left(\frac{7 x-5 x}{2}\right)\left [ \because \sin x +\sin y=2 \sin \left( \frac{x+y}{2}\right) \cos \left( \frac{x-y}{2}\right) \right ] \\ =2 \sin 2 x \cos x+2 \sin 6 x \cos x \\ =2 \cos x \cdot (\sin 2 x+\sin 6 x) \\ =2 \cos x \cdot 2 \sin \left(\frac{2 x+6 x}{2}\right) \cos \left(\frac{6 x-2 x}{2}\right) \\ =4 \cos x \sin 4 x \cos 2 x \\ =4 \cos x \cos 2 x \sin 4 x=\text { R.H.S. }
Example:6. \frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)} =\tan 6 x
Solution: \frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}=\tan 6 x \\ \text{L.H.S. } \frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)} \\ =\frac{ 2 \sin \left(\frac{7 x+5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{7 x-5 x}{2}\right)+2 \sin \left(\frac{9 x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{2 x-3 x}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{7 x+5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{7 x-5 x}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{9 x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{7 x-3 x}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin 6 x \cos x+2 \sin 6 x \cos 3 x}{2 \cos 6 x \cos x+2 \cos 6 x \cos 3 x} \\ =\frac{2 \sin 6 x(\cos x+\cos 3 x)}{2 \cos 6 x(\cos x+\cos 3 x)} \\ =\tan 6 x=\text { R.H.S. }
Example:7. \sin 3 x+\sin 2 x-\sin x= 4 \sin x \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)
Solution: \sin 3 x+\sin 2 x-\sin x=4 \sin x \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } \sin 3 x+\sin 2 x-\sin x \\ =2 \sin \left(\frac{3 x+2 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x-2 x}{2}\right)-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ \left[\because \sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right), \sin 2 x=2 \sin x \cos x\right] \\ =2 \sin \left(\frac{5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin \left(\frac{5 x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 2 \cos \left(\frac{\frac{5 x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{5 x}{2}-\frac{x}{2}}{2}\right) \\ \left[\because \sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right] \\ =4 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \sin x \\ =4 \sin x \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)=\text { R.H.S. }
निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में \sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} तथा \tan \frac{x}{2} ज्ञात कीजिए:
Example:8. \tan x=-\frac{4}{3}, x द्वितीय चतुर्थांश में है।
Solution: \tan x=-\frac{4}{3}, x द्वितीय चतुर्थांश में है।
\text { कर्ण }=\sqrt{(\text { लम्ब })^2+(\text { आधार })^2} \\ =\sqrt{(4)^2+(3)^2}= \sqrt{16+9}=\sqrt{25} \\ \text { कर्ण }=5
द्वितीय चतुर्थांश में \cos x=-\frac{3}{5} \\ \therefore \sin \frac{x}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{8}{10}} \\ =\sqrt{\frac{4}{5}} \\ \Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \\ \cos \left(\frac{x}{2}\right)=+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{2}{10}} \\=\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \\ \Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \\ \cos \left(\frac{x}{2}\right)=+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{2}{10}} \\=\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \\ \tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{x}{2}\right)=2
अतः \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}, \tan \left(\frac{x}{2}\right)=2
Example:9. \cos x=-\frac{1}{3},x तृतीय चतुर्थांश में है।
Solution: \cos x=-\frac{1}{3},x तृतीय चतुर्थांश में है।
\pi<x<\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3 \pi}{4}
अतः \frac{x}{2} द्वितीय चतुर्थांश में है।
\cos \frac{x}{2} =-\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \\ =-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}} \\ =-\sqrt{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \cos \frac{x}{2} =-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ =-\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin \frac{x}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}= +\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{2}{3}} \\ =\sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{3}{3}} \\ \Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3} \\ \tan \frac{x}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}= -\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}} \\ =-\sqrt{\frac{4}{2}}=-\sqrt{2} \\ \Rightarrow \tan \frac{x}{2}=-\sqrt{2}
अतः \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}, \tan \frac{x}{3}=-\sqrt{2}
Example:10. \sin x=\frac{1}{4},x द्वितीय चतुर्थांश में है।
Solution: \sin x=\frac{1}{4},x द्वितीय चतुर्थांश में है।
\frac{\pi}{2}<x<\pi \Rightarrow \frac{\pi}{4}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}
अतः \frac{x}{2} प्रथम चतुर्थांश में है।
\text{आधार}= \sqrt{(\text { विकर्ण })^2-\left(\text{लम्ब }\right)^2} \\=\sqrt{(4)^2-(1)^2} \\ \text{आधार}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}
द्वितीय चतुर्थांश में
\cos x=-\frac{\sqrt{15}}{4} \\ \sin \frac{x}{2} =+\frac{\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}}{4} \\ =\sqrt{\frac{1+ \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8}} \\ =\sqrt{\frac{4+\sqrt{15}}{8} \times \frac{2}{2}} \\ \Rightarrow \sin \frac{x}{2} =\frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4} \\ \cos \frac{x}{2} =+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} =\sqrt{\frac{1-\sqrt{15}}{4}} \\ =\sqrt{\frac{4-\sqrt{15}}{8}}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{15} }{8} \times \frac{2}{2}} \\ \Rightarrow \cos \frac{x}{2} =\frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4} \\ \tan \frac{x}{2} =\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{15}}{4}}{1-\frac{\sqrt{15}}{4}}} \\ =\sqrt{\frac{4 +\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}} \\ =\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15})}{(4-\sqrt{15})} \times \frac{(4+\sqrt{15})}{(4-\sqrt{15})}} \\ =\frac{4+\sqrt{15}}{\sqrt{16-15}}=4+\sqrt{15} \\ \Rightarrow \tan \frac{x}{2}=4+\sqrt{15}, \cos \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4} \\ \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को समझ सकते हैं।
3.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th):
(1.)सिद्ध कीजिए
2 \sin ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec}^2 \frac{7\pi}{6} \cdot \cos ^2 \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}
(2.)सिद्ध कीजिए
\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratio of Two Angles 11th),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.मिल्ने के अनुसार गणित की परिभाषा क्या है? (What is Definition of Mathematics According to MILNE?):
उत्तर:A mathematician knows how to solve a problem,he can not solve it.
(एक गणितज्ञ जानता है कि किसी समस्या को कैसे हल किया जाए, वह इसे हल नहीं कर सकता है।)
प्रश्न:2.त्रिकोणमितीय अनुपातों को न्यूनकोण में व्यक्त करने की वैकल्पिक विधि बताइए। (Explain the Alternative Method of Expressing Trigonometric Ratios of Any Angle in Term of Acute Angle):
उत्तर:इस विधि में दिए गए कोण को \left(n \times \frac{\pi}{2}+\theta\right) के रूप में लिखते हैं।जहाँ n एक पूर्णांक है तथा \theta \leq 45^{\circ} है।सर्वप्रथम यह ज्ञात करते हैं कि अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात किस चतुर्थांश में है तथा चतुर्थांश के अनुरूप चिन्ह (+ या -) लिखते है।
स्थिति:I.जब n एक विषम पूर्णांक हो तो अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात में co है तो हटा देते हैं एवं नहीं है तो लगा देते हैं।जैसे sine \leftrightarrow cosine आदि।
उदाहरणार्थ: \sin \left(90^{\circ}+\theta\right)=\cos \theta, \cot \left(90^{\circ}+ \theta\right) =- \tan \theta
स्थिति:II.जब n एक सम पूर्णांक हो तो त्रिकोणमितीय अनुपात अपरिवर्तित रहते हैं।
जैसे \sin (180^{\circ}+\theta)=\sin \theta , \cos (180^{\circ}-\theta)=-\cos \theta
प्रश्न:3.त्रिकोणमिति की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि के बारे में बताइए। (Describe the Historical Background of Trigonometry):
उत्तर:ऐसा विश्वास किया जाता है कि त्रिकोणमिति का अध्ययन सर्वप्रथम भारत में आरंभ हुआ था।आर्यभट (476 ईस्वी),ब्रह्मगुप्त (598 ईस्वी),भास्कर प्रथम (600 ईस्वी) तथा भास्कर द्वितीय (1114 ईस्वी) ने प्रमुख परिणामों को प्राप्त किया था।यह संपूर्ण ज्ञान भारत से मध्यपूर्व और पुन: वहां से यूरोप गया।यूनानियों ने भी त्रिकोणमिति का अध्ययन आरम्भ किया परंतु उनकी कार्यविधि इतनी अनुपयुक्त थी,कि भारतीय विधि के ज्ञात हो जाने पर यह संपूर्ण विश्व द्वारा अपनाई गई।
भारत में आधुनिक त्रिकोणमितीय फलन जैसे किसी कोण की ज्या और फलन के परिचय का पूर्ण विवरण सिद्धांत (संस्कृत भाषा में लिखा गया ज्योतिषीय कार्य) में दिया गया है जिसका योगदान गणित के इतिहास में प्रमुख है।
भास्कर प्रथम (600 ईस्वी) ने 90° से अधिक,कोणों के मान के लिए सूत्र दिया था।सोलहवीं शताब्दी का मलयालम भाषा में कार्य युक्ति भाषा में के प्रसार की एक उपपत्ति है।18°,36°,54°,72° आदि के sine तथा cosine के विशुद्ध मान भास्कर द्वितीय द्वारा दिए गए हैं।
\sin^{-1} x, \cos^{-1} x आदि को चाप sin x ,चाप cos x आदि के स्थान पर प्रयोग करने का सुझाव ज्योतिषविद Sir John F.W. Hersehel (1813 ईस्वी) द्वारा दिए गए थे।ऊँचाई और दूरी संबंधित प्रश्नों के साथ Thales (600 ईस्वी पूर्व) का नाम अपरिहार्य रूप से जुड़ा हुआ है।उन्हें मिस्र के महान पिरामिड की ऊँचाई के मापन का श्रेय प्राप्त है।इसके लिए उन्होंने एक ज्ञात ऊँचाई के सहायक दंड तथा पिरामिड की परछाइयों को नापकर उनके अनुपातों की तुलना का प्रयोग किया था।ये अनुपात हैं:
\frac{H}{S}=\frac{h}{s}=\tan(सूर्य का उन्नतांश)
Thales को समुद्री जहाज की दूरी की गणना करने का भी श्रेय दिया जाता है।इसके लिए उन्होंने त्रिभुजों के अनुपात का प्रयोग किया था।ऊँचाई और दूरी सम्बन्धी प्रश्नों का हल त्रिभुजों की सहायता से प्राचीन भारतीय कार्यों में मिलते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometric Ratio of Two Angles 11th),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Trigonometric Ratio of Two Angles 11th
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इस आर्टिकल में दो कोणों के योग एवं अंतर पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
