Singular Solution Differential Equations

अवकल समीकरण में विचित्र हल का परिचय (Introduction to Singular Solution Differential Equations):

Singular Solution Differential Equations

• अवकल समीकरण में विचित्र हल (Singular Solution Differential Equations):किसी अवकल समीकरण का वह हल जो उसके व्यापक हल में स्वेच्छ अचर को विशिष्ट मान देने पर प्राप्त नहीं होता,उसको अवकल समीकरण का विचित्र हल (singular Solution) कहते हैं।
  
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अवकल समीकरण में विचित्र हल (Singular Solution Differential Equations):

Singular Solution Differential Equations

• (Differential Equation of First Order But Not Of First Degree )
  विचित्र हल का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical meaning of singular solution):
  अवकल समीकरण
  y=px+\frac{a}{p}… (1)
  पर विचार करें।यह क्लैरो का समीकरण है और इसका व्यापक हल:
  y=mx+\frac{a}{m}…. (2)
  है,जहाँ m एक स्वेच्छ अचर है।
• m को भिन्न-भिन्न मान देने पर हमारे पास भिन्न हल आएँगे जो कि अवकल समीकरण (1) की तुष्टि करेंगे तथा परवलय
  y^{2}=4ax ….(3)
  को स्पर्श करेंगे
  अब परवलय पर बिन्दु P(x,y) लें,जिस पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा
  y=mx+\frac{a}{m}
  अतः P पर परवलय तथा स्पर्श रेखा की दिशा एक है।इसलिए P पर (2) तथा (3) के एक से \frac{dy}{dx},x तथा y हैं।चूँकि P परवलय पर कोई बिन्दु है।इससे यह तात्पर्य निकलता है कि y^{2}=4ax समीकरण (1) का हल है।यह स्वतः सत्य है कि यह हल (2) में विद्यमान नहीं है।
• इसलिए y^{2}=4ax जो कि वक्र समूह (2) का अन्वालोप (envelope) है,अवकल समीकरण (1) का विचित्र हल (singular Solution) है।
  यह परिणाम व्यापक स्थिति में भी सत्य है।अतः जब भी अवकल समीकरण के व्यापक हल द्वारा प्रदर्शित वक्रों के समूह (family of Curves) के अन्वालोप (envelope) का अस्तित्व (exist) होता है तब अन्वालोप का समीकरण भी अवकल समीकरण का एक हल होता है और इसको समीकरण का विचित्र हल (singular Solution) कहते हैं।

Singular Solution Differential Equations

• उपर्युक्त आर्टिकल में अवकल समीकरण में विचित्र हल (Singular Solution Differential Equations) के बारे में बताया गया है।