1.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Least Squares),सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Method of Least Squares in Statistics):

Regression Equations by Least Squares

न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Least Squares),न्यूनतम वर्ग मान्यता (least squares assumption) के आधार पर प्रदत्त श्रेणी के लिए एक सर्वाधिक उपयुक्त रेखा (line of best fit) खींची जाती है जो सरल रेखा (straight line) अथवा परवलयिक वक्र (parabolic curve) के रूप में हो सकती है।इस रेखा को खींचने के लिए गणितीय समीकरणों की सहायता ली जाती है।
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2.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Regression Equations by Least Squares):

Example:20.निम्न समंकों से न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा दोनों प्रतीपगमन समीकरण परिकलित कीजिए।अनुमान के प्रमाप विभ्रमों की भी गणना कीजिए।
(Calculate both regression equations from the following data by least squares method.Also find standard errors of the estimate):

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X: & 1 & 2 & 3 & 4 &5 \\ \hline Y : & 2 & 4 & 5 & 3 & 6 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Regression Equation by Least Squares Method

X का Y पर प्रतीपगमन
\Sigma X=N a+b \Sigma y \ldots(1) \\ \Sigma x y=a \Sigma y+b \Sigma y^2 \ldots(2)
मूल्य प्रतिस्थापित करने परः
15=5a+20b …. (1)
67=20a+80b …. (2)
समीकरण (1) को 4 से गुणा करने परः
\begin{array}{ll}60=20 a+80 b \ldots(3) \\ 67=20 a+90 b \ldots(2) \\ - \quad- \quad - \text{घटाने पर} \\ \hline \\ -7=-10 b \end{array} \\ \Rightarrow b=\frac{7}{10}=0.7
b का मान (1) में रखने पर:
15=5a+20×0.7 \\ \Rightarrow 5 a=15-14 \Rightarrow a=\frac{1}{5} \\ \Rightarrow a=0.2, b=0.7

अतः प्रतीपगमन समीकरण
x=a+by \\ \Rightarrow x=0.2+0.7y
Y का X पर प्रतीपगमन

\Sigma y=N a+b \Sigma x \ldots(1) \\ \Sigma x y=a \Sigma x+b \Sigma x^2 \ldots(2)
मूल्य प्रतिस्थापित करने पर:
20=5a+15b ….. (1)
67=15a+55b …..(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने परः
\begin{array}{ll}60=15 a+45 b \ldots(3) \\ 67=15 a+55 b \ldots(4) \\ - \quad- \quad - \text{घटाने पर} \\ \hline \\ -7=-10 b \end{array} \\ \Rightarrow b=0.7
b का मान समीकरण (1) में रखने परः 
20=5a+15×0.7 \\ \Rightarrow 5a=20-10.5 \\ \Rightarrow 5a=9.5 \\ \Rightarrow a=1.9
अतः प्रतीपगमन समीकरण
y=a+bx \\ \Rightarrow y=1.9+0.7x
अनुमान की प्रमाप त्रुटि

3.सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient Correlation):

Example:21.एक आंशिक रूप से नष्ट प्रयोगशाला के अभिलेखों से अग्रलिखित परिणाम उपलब्ध हैं:
(In a partially destroyed laboratory records,the following results available):
Regression equations (प्रतीपगमन समीकरण)
8x-10y=-66 and 40x-18y=214
Variance of x (x का प्रसरण)=9
x तथा y का समान्तर माध्य,दोनों के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक तथा y का प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Calculate the mean values of x and y,the coefficient of correlation between x and y and the standard deviation of y)
Solution: 8x-10y=-66 … (1) \\ y=\frac{8}{10} x+\frac{66}{10} \\ \Rightarrow y=0.8x+6.6 \\ 40x-18y=214 \ldots(2) \\ \Rightarrow x=\frac{18}{40} y+\frac{214}{40} \\ \Rightarrow x=0.45 y+5.35 \\ \Rightarrow b_{xy}=0.45, b_{yx}=0.8 \\ r=\sqrt{b_{xy} \times b_{yx}}=\sqrt{(0.45 \times 0.8)}=0.6 \\ \sigma^2_{x}=9 \Rightarrow \sigma_x=3 \\ \Rightarrow b_{xy}=r \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \\ \Rightarrow \sigma_y=\frac{r \sigma_x}{b_{xy}}=\frac{0.6 \times 3}{0.45}=4 \\ \Rightarrow \sigma_y=4
समीकरण (1) को 5 से गुणा करने पर
\begin{array}{ll} 40 x-50 y=-330 \ldots(3) \\ 40 x-18 y=214 \cdots(2) \\ - \quad +\quad -  \quad \text{घटाने पर} \\ \hline   -32 y=-544 \Rightarrow \overline{Y}=17 \end{array}
y का मान समीकरण (1) में रखने परः
8x-10×17=-66 \\ \Rightarrow 8x=170-66 \\ \Rightarrow 8x=104 \\ \Rightarrow \overline{X}=13

अतः \overline{X}=13, \overline{Y}=17, r=0.6, \sigma_y=4
Example:22.निम्न सूचनाओं से दोनों चलों के समान्तर माध्य तथा r का मान ज्ञात कीजिए:
(From the following information, find out the values of means of both variables and the r):

2 x+3 y=26 and  x+6 y=31 
Solution:2x+3y=26 … (1)
x+6y=31  ……..(2)
(1) व (2) को हल करने परः
\overline{x}=7, \overline{y}=4 \\ 2 x =-3 y+26 \Rightarrow x=-1.5 y+13 \\ 6 y =-x+36 \Rightarrow y=-0.167 x+6 \\ b_{x y}=-1.5, b_{y x}=-0.167 \\ r =\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})} \\ =-\sqrt{(-1.5 \times-0.167)}=-0.50049 \\ \Rightarrow r \approx 0.5
Example:23.एक अवलोकन समूह से संगणित प्रतीपगमन समीकरण निम्न प्रकार है:
(The regression equations calculated from a given set of observations are given below):
X=-0.2y+4.2 and Y=-0.8+8.4
गणना कीजिए (calculate):
(i) and (ii) coefficient of correlation;
(iii)Estimated value of y when x=4
Solution:X=-0.2y+4.2 …. (1)
Y=-0.8+8.4  …… (2)
समीकरण (1) को 0.8 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll}0.8 x+0.16 y=3.36 \ldots(3) \\ 0.8 x+y=8.4 \cdots(2) \\ - \quad- \quad - \quad \text{घटाने पर} \\ \hline \\ -0.84 y=-5.04 \Rightarrow \overline{Y}=\frac{5.04}{0.84} \end{array} \\ \Rightarrow \overline{Y}=6
Y का मान (2) में रखने पर:
0.8 x+6=8.4 \Rightarrow 0.8 x=8.4-6 \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{2.4}{0.8}=3 \\ \overline{X}=3, \overline{Y}=6
(ii) b_{x y}=-0.2, b_{y x}=-0.8 [(1) व (2) से]

r=\sqrt{(b_{x y} \times b_{y x})} \\ =-\sqrt{(-0.2 \times-0.8)}=-0.4 \\ \Rightarrow r=-0.4
(iii)जब x=4 तो y=?
y=-0.8×4+8.4   [(2) से]
=-3.2+8.4 \\ \Rightarrow y=5.2
Example:24.निम्नलिखित का उत्तर दीजिए:
(Answer the following):
(i)Find out the value of r when two regression coefficient are 0.64 and 0.81
(ii)Find out the value of coefficient of correlation if:y=1.3x and x=0.7y
(iii)whether the following data are consistent (क्या निम्नलिखित समंक सही है?)
Regression coefficient of y on x=1.2 and x on y=0.9
(iv)Find out the value of r if:variance of x \left(\sigma_x^2\right)=2.25,\sigma_y=4 and regression equation x on y is x+0.9y-1.8=0
Solution:(i). b_{xy}=0.64, b_{yx}=0.81 \\ r=\sqrt{(b_{x y} \times b_{yx})}=\sqrt{0.64 \times 0.81} \\ \Rightarrow r=+0.72

(ii) y=1.3 x, x=0.7 y
b_{xy}=0.7, b_{yx}=1.3 \\ r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{0.7 \times 1.3)} \\ =0.953939 \\ \Rightarrow \approx +0.9539
(iii) b_{yx}=1.2, b_{xy}=0.9 \\ r =\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{(0.9 \times 1.2)} \\ \Rightarrow r =1.039230

No data consistant since r is more than 1
(iv)\sigma^2_{x}=2.25 \Rightarrow \sigma_{x}=1.5, \sigma_y=4
x on y
x+0.3 y-18=0 \\ x=-0.3 y+18 \\ b_{x y}=-0.3 \\ \Rightarrow b_{x y}=r\frac{\sigma_x}{\sigma_y} \Rightarrow r=b_{x y} \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \\ \Rightarrow r=\frac{-0.3 \times 4}{1.5} \\ \Rightarrow r=-0.8

Regression Equations by Least Squares

Example:25.निम्न समंकों से परिकलित कीजिए (calculate from the following data):
(i)X=60 के लिए सर्वोत्तम अनुमान तथा
(ii)सहसम्बन्ध गुणांक
(Most likely value of y when X=60 and coefficient of correlation)
माध्य (Mean) \overline{X}=53.2, \overline{Y}=27.9
x का y पर प्रतीपगमन गुणांक (Regression coefficient of correlation of x on y)=0.2
y का x पर प्रतीपगमन गुणांक (Regression coefficient of y on x)=1.5
Solution:(i) \overline{X}=53.2, \overline{Y}=27.9 \\ b_{xy}=0.2, \quad b_{yx}=1.5
Regression Equation Y on X
Y-\overline{Y}=b_{yx}(X-\overline{X}) \\ \Rightarrow Y-27.9=1.5(X-53.2) \\ \Rightarrow Y=1.5 X-79.8+27.9 \\ \Rightarrow Y=1.5 X-51.9 \\ X=60 \\ \Rightarrow Y=1.5 \times 60-51.9=90-51.9 \\ \Rightarrow Y=38.1
(ii) b_{xy}=0.2, b_{yx}=1.5 \\ r =\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{(0.2 \times 1.5)} \\ =0.547722 \\ \Rightarrow r \approx 0.548
Example:26.एक कक्षा के 50 लड़कों की सांख्यिकी (X) की अर्थशास्त्र (Y) के प्राप्त अंकों पर प्रतीपगमन रेखा 3y-5x+180=0 है।अर्थशास्त्र के अंकों का माध्य 44 है,सांख्यिकी के अंकों का प्रसरण है।ज्ञात कीजिए:
(i)सांख्यिकी के अंकों के माध्य तथा (ii)X तथा Y में सहसम्बन्ध गुणांक
(The line of regression of marks in statistics (X) on marks in economics (Y) for a class of 50 boys is 3y-5x+180=0.Average marks in economics=44 and variance of marks in statistics is \frac{9}{16} of the variance of marks in economics, find):
(i)Average marks in statistics
(ii)coefficient of correlation between X and Y
Solution:(i)3y-5x+180=0 \\ \Rightarrow 5x=3y+180 \\ \Rightarrow x=0.6y+36 \\ \overline{Y}=44 \\ \overline{X}=0.6 \times 44+36=26.4+36 \\ \Rightarrow \overline{X}=62.4 \\ b_{xy}=0.6
Variance of statistics of variance of Economics

\Rightarrow \frac{\sigma_x^2}{\sigma_y^2}=\frac{9}{16} \Rightarrow \frac{\sigma_x}{\sigma_y} =\frac{3}{4} \\ b_{xy}=r \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \Rightarrow r=b_{xy} \times \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \\ \Rightarrow r=0.6 \times \frac{4}{3}=0.8 \\ \Rightarrow r=+0.8
Example:27.निश्चित X और Y श्रेणियाँ आपस में सह-सम्बन्धित हैं, की प्रतीपगमन रेखाएँ इस प्रकार हैं:
(For certain X and Y series which are correlated, the two lines of regression are):
5x-6y+90=0 and 15x-8y-130=0
ज्ञात कीजिए कि कौनसा समीकरण Y का X पर तथा कौनसा X का Y पर प्रतीपगमन है।दोनों श्रेणियों का माध्य तथा सह-सम्बन्ध गुणांक भी ज्ञात कीजिए।
(Find which is regression of Y on X and which is of X on Y.Find the mean of the correlation coefficient also):
Solution:15x-8y-130=0 …. (1)
5x-6y+90=0  ….. (2)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
\begin{array}{ll} 15 x-18 y+270=0 \ldots(3) \\ 15 x-8 y-130=0 \ldots(1) \\ - \quad+ \quad + \text{घटाने पर} \\ \hline -10 y+400=0\end{array} \\ \overline{Y}=40
Y का मान (2) में रखने परः
5x-6×40+90=0 \\ \Rightarrow 5x-240+90=0 \\ \Rightarrow 5x=150 \\  \Rightarrow \overline{X}=30, \overline{Y}=40

Regression Line X on Y:
15 x-8 y+130=0 \\ \Rightarrow x=\frac{8}{15} y+\frac{130}{15} \\ \Rightarrow x=\frac{8}{15} y+\frac{26}{5}
Regression Line Y on X:
5 x-6 y+90=0 \\ \Rightarrow y=\frac{5}{6} x+\frac{90}{6} \\ \Rightarrow y=\frac{5}{6} x+15 \\ b_{x y}=\frac{8}{15}, b_{y x}=\frac{5}{6} \\ r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{\left(\frac{8}{15} \times \frac{5}{6}\right)} \\ =0.666 \\ \Rightarrow r=+0.667
Example:28.निम्निलिखित सूचनाओं के आधार पर दोनों प्रतीपगमन समीकरण तथा दो चरों के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following information, find out the two regression equations and the coefficient of correlation between the two variables):
Solution: \Sigma X=120, \Sigma Y=432, \Sigma XY=4,992, \Sigma X^2=1392, \Sigma Y^2=18252, N=12
X का Y पर प्रतीपगमन

\Sigma X=N a+b \Sigma Y \ldots(1) \\ \Sigma X Y=a \Sigma Y+b \Sigma Y^2 \cdots(2)
मूल्य प्रतिस्थापित करने पर:
120=12a+432b  …. (1)
4992=432a+18252b …. (2)
समीकरण (1) को 36 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll} 4320=432 a+15552 b \cdots(3) \\ 4992=432 a+18252 b \cdots(2)\\ - \quad- \quad - \text{घटाने पर} \\ \hline -672=-2700 b \end{array}\\ \Rightarrow b=0.24888
b का मान (1) में रखने पर:
120=12a+432×0.24888 \\ \Rightarrow 120=12a+107.51616 \\ \Rightarrow a=1.04032, b=0.244
अतः प्रतीपगमन समीकरण
X=a+by
X=1.04032+0.24888
Y का X पर प्रतीपगमन

\Sigma Y=N a+b \Sigma x \cdots(4)\\ \Sigma X Y=a \Sigma x+b \Sigma x^2 \cdots(5)
मूल्य प्रतिस्थापित करने पर:
432=12a+120b  …. (4)
4992=120a+1392b …. (5)
समीकरण (4) को 10 से गुणा करने परः

\begin{array}{ll}4320=120a+1200b  …. (6) \\ 4992=120a+1392b …. (5) \\ - \quad- \quad - \text{घटाने पर} \\ \hline -672=-192b \end{array}\\ b=3.5
b का मान समीकरण (4) में रखने पर:
432=12a+120×3.5 \\ \Rightarrow  432=12a+420 \\ \Rightarrow a=1,b=3.5
अतः प्रतीपगमन समीकरण
Y=a+bx \\ \Rightarrow Y=1+3.5x \\ b_{xy}=0.24888, b_{yx}=3.5 \\ r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}= \sqrt{(0.24888 \times 3.5)} \\ =0.9333 \\ \Rightarrow r \approx+0.933
Example:29.निम्नलिखित उपलब्ध सूचनाओं से ज्ञात कीजिए:
(From the following information available, calculate):
(i)the mean values of X and Y
(ii)coefficient of correlation between X and Y series,
(iii)both regression coefficient and
(iv)standard deviation
12x-15y+99=0,60x-27y-321=0,variance of x=36
Solution:(i)12x-15y+99=0  …. (1)
60x-27y-321=0  ….. (2)
समीकरण (1) को 5 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll} 60 x-75 y+495=0 \ldots(3) \\ 60x-27 y-321=0 \ldots(2)\\ - \quad + \quad + \text{घटाने पर} \\ \hline -48 y+816=0 \end{array} \\  \Rightarrow \overline{Y}=17
y का मान (1) में रखने पर:
12 x-15 \times 17+95=0 \\ \Rightarrow 12 x=255-99 \\ \Rightarrow \overline{X}=13, \overline{Y}=17
(ii)X का Y पर प्रतीपगमन समीकरण
60x-27 y-321 =0 \\ \Rightarrow x=\frac{27}{60} y+\frac{321}{60} \\ \Rightarrow x =0.45y+ 5.35
Y का X पर प्रतीपगमन समीकरण
12x-15y+99=0 \\ \Rightarrow 15y=12x+99 \\ \Rightarrow Y=\frac{12}{15} x+\frac{99}{15} \\ \Rightarrow Y=0.8x+6.6 \\ b_{xy}=0.45, b_{yx}=0.8 \\ r=\sqrt{(b_{xy} \times b_{yx})}=\sqrt{(0.45 \times 0.8)} \\ \Rightarrow r=0.6

(iii)b_{xy}=0.45, b_{yx}=0.8
(iv)b_{xy}=r \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \\ \Rightarrow \sigma_{y}=r \frac{\sigma_x}{b_{xy}} \\ \sigma_x^2=36 \Rightarrow \sigma_x=6, b_{x y}=0.45, r=0.6 \\ \Rightarrow \sigma_y=0.6 \times \frac{6}{0.45}=8 \\ \Rightarrow \sigma_y=8
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Least Squares),सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Method of Least Squares in Statistics) को समझ सकते हैं।

4.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण की समस्याएं (Regression Equations by Least Squares Problems):

Regression Equations by Least Squares

(1.)यदि दो प्रतीपगमन समीकरण निम्न प्रकार हों तो X तथा Y के माध्य निकालिए और Y का मूल्य जबकि X=70 तथा X का मूल्य जबकि Y=130 भी अनुमानित कीजिए:
(If two regression equations are given below, find the mean values of X and Y, Also estimate the value of Y when X=70 and of X when Y=130.)
(2.)निम्न प्रतीपगमन समीकरणों से X व Y के माध्य और सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following regression equations, find mean values of X and Y and correlation coefficient):
2Y-X-50=0 and 3Y-2X-10=0
(3.)निम्न समंकों से पद मूल्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।X व Y समान्तर माध्य से निकाले गए विचलन हैं:
(From the following data find N.X and Y represent deviations from arithmetic means):

r=0.5, \Sigma XY=120, \sigma_{y}=8 , \Sigma X^{2}=90
उत्तर (Answers):(1.)\overline{X}=66, \overline{Y}=115,Y_{70}=130 ,X_{130}=68.25
(2.)\overline{X}=130, \overline{Y}=90,r=+0.866  (3.)N=10
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Least Squares),सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Method of Least Squares in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Regression Equations by Least Squares),सांख्यिकी में न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Method of Least Squares in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations by Least Squares),न्यूनतम
वर्ग मान्यता (least squares assumption) के आधार पर प्रदत्त श्रेणी के लिए एक सर्वाधिक उपयुक्त
रेखा (line of best fit) खींची जाती है