1.कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Matrix in Class 12),मैट्रिक्स कक्षा 12 (Matrix Class 12):

Matrix in Class 12

कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Matrix in Class 12) के इस आर्टिकल में आव्यूहों पर संक्रियाएँ,आव्यूह का परिवर्त मैट्रिक्स,व्युत्क्रमणीय आव्यूह इत्यादि के बारे में उदाहरणों के द्वारा अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 12 में मैट्रिक्स के साधित उदाहरण (Matrix in Class 12 Solved Examples):

Example:1.मान लीजिए A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right] हो तो दिखाइए कि सभी n \in N के लिए (a I+b A)^n=a^n I+n a^{n-1} b A जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
Solution:माना M(x)=(a I+b A)^n=a^n I+n a^{n-1} bA
n=1 के लिए

M(1)=(a I+b A)^{\prime}=a^{\prime} I+a^{0} b\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow a \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll} a & 0 \\0 & a\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\0 & a\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll}0 & b \\0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll}a & b \\0 & a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}a & b \\0 & a\end{array}\right]
अतः n=1 के लिए कथन M(n) सत्य है।माना कथन M(n), n=k के लिए सत्य है।

(a I+b A)^k=a^k I+k a^{K-1} b A \\ \left\{a\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] +b\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}^K=a^K\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]+k a^{k-1} b\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\0 & a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}0 & b \\0 & 0\end{array}\right] \right\}^k=\left[\begin{array}{ll}a^k & 0 \\0 & a^k \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} 0 & k a^{k-1} b \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right]^k =\left[\begin{array}{cc} a^k & k a^{k-1} b \\ 0 & a^k \end{array}\right] \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

(a I+b A)^{k+1}=a^{k+1} I+(k+1) a^k b A \\ \Rightarrow \left\{a \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}^{k+1} =a^{k+1} \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]+(k+1) a^k b\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ll} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}^{k+1}=\left[\begin{array}{cc} a^{k+1} & 0 \\ 0 & a^{k+1} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} 0 & (k+1) a^k b \\ 0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right]^{k+1}=\left[\begin{array}{cc} a^{k+1} & (k+1) a^k b \\ 0 & a^{k+1}\end{array}\right] \\ \text{L.H.S. } \left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right]^{k+1} \\=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right]^k\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right]
(1) से मान रखने परः

\left[\begin{array}{ll} a^k & k a^{k-1} b \\ 0 & a^k \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll} a^{k+1} & a^k b+k a^k b \\ 0 & a^{k+1} \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} a^{k+1} & (k+1) a^k b \\ 0 & a^{k+1} \end{array}\right]=\text { R.H.S.}
अतः उक्त कथन सत्य सिद्ध हुआ।
Example:2.यदि A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1\end{array}\right], तो सिद्ध कीजिए कि A^n=\left[\begin{array}{ccc}3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right], n \in N
Solution: A^n=\left[\begin{array}{lll} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right]
माना M(n)=A^n=\left[\begin{array}{lll} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right]
n=1 के लिए

M(1)=A=\left[\begin{array}{lll} 3^0 & 3^0 & 3^0 \\ 3^0 & 3^0 & 3^0 \\ 3^0 & 3^0 & 3^0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
अतः n=1 के लिए कथन M(n) सत्य है।माना कथन M(n), n=k के लिए सत्य है।

M(k)=A^k=\left[\begin{array}{ccc}3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ k^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{array}\right] \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

M(k+1)=A^{k+1}=\left[\begin{array}{lll} 3^k & 3^k & 3^k \\ 3^k & 3^k & 3^k \\ 3^k & 3^k & 3^k \end{array}\right] \\ \text { L.H.S } A^{k+1}=A^k \cdot A \\=\left[\begin{array}{lll} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k+1} \\3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] [A^{k} व A का  मान रखने पर]
=\left[\begin{array}{lll}3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1} \\3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1} \\ 3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1} & 3 \cdot 3^{k-1}\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}3^k & 3^k & 3^k \\3^k & 3^k & 3^k \\3^k & 3^k & 3^k\end{array}\right] =\text{R.H.S.}
अतः कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी धनात्मक पूर्णांक के लिए कथन सत्य है।
Example:3.यदि A=\left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\1 & -1\end{array}\right], तो सिद्ध कीजिए कि A^n=\left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\n & 1-2 n\end{array}\right] जहाँ n एक धन पूर्णांक है
Solution:माना M(n)=A^n=\left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\n & 1-2 n\end{array}\right]
n=1 के लिए

M(1)=A=\left[\begin{array}{cc}1+2 & -4 \\1 & 1-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\1 & -1\end{array}\right]
अतः n=1 के लिए कथन M(n) सत्य है।माना कथन M(n), n=k के लिए सत्य है।

M(K)=A^k=\left[\begin{array}{cc}1+2 k & -4 k \\k & 1-2 k\end{array}\right] \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

M(k+1)=A^{k+1}=\left[\begin{array}{cc}1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1) \end{array}\right] \\ \Rightarrow M\left(k+1\right)=A^{k+1}=\left[\begin{array}{cc} 3+2 k & -4(k+1) \\ k+1 & -1-2 k \end{array}\right] \\ \text { L.H.S. } A^{k+1}=A^k \cdot A \\ =\left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right]  [A^{k} व A का  मान रखने पर]
=\left[\begin{array}{ll} 3+6 k-4 k & -4-8 k+4 k \\ 3 k+1-2 k & -4 k-1+2 k \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}3+2 k & -4(k+1) \\k+1 & -1-2 k \end{array}\right]=\text { R.H.S.}
अतः कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी धनात्मक पूर्णांक n \in k के लिए कथन सत्य है।
Example:4.यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB-BA एक विषम सममित आव्यूह है।
Solution:A’=A तथा B’=B  …. (1)
(AB-BA)’=(AB)’-(BA)’
=B’A’-A’B’
=BA-AB  [(1) से]
(AB-BA)’=-(AB-BA)
अतः AB-BA विषम सममित आव्यूह है।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’AB सममित अथवा विषम सममित है यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
Solution:(B’AB)’=(AB)'(B’)’
=B’A’B
(B’AB)=B’AB  [A’=A, सममित है]
अतः B’AB सममित आव्यूह है।
=B'(-A)B  [A’=-A,A विषम सममित है]
(B’AB)=-(B’AB)
अतः B’AB विषम सममित आव्यूह है।
फलतः B’AB सममित अथवा विषम सममित आव्यूह है यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
Example:6.x,y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए,यदि आव्यूह A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right] समीकरण A’A=I को सन्तुष्ट करता है।
Solution: A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right] \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & x & x \\2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{array}\right] \\ A A^{\prime}=I \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 4 y^2+z^2 & 2 y^2-z^2 & -2 y^2+z^2 \\ 2 y^2-z^2 & x^2+y^2+z^2 & x^2-y^2-z^2 \\ -2 y^2+z^{2} & x^2-y^2-z^2 & x^2+y^2+z^2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
तुलना करने परः 4 y^2+z^2=1 \cdots(1) \\ 2 y^2-z^2=0 \cdots(2) \\ 6 y^2=1 \Rightarrow y^2=\frac{1}{6} \Rightarrow y= \pm \frac{1}{\sqrt{6}}
का मान (1) में रखने परः

4 \times \frac{1}{6}+z^2=1 \\ \Rightarrow \frac{2}{3}+z^2=1 \Rightarrow z^2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \Rightarrow z= \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ x^2-y^2-z^2=0 \\ \Rightarrow x^2-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=0 \Rightarrow x^2=\frac{1+2}{6}=\frac{3}{6} \\ \Rightarrow x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y= \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, z= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Example:7.x के किस मान के लिए \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ x \end{array}\right] =0 है?
Solution: \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ x \\ 2 x \end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow 4+2 x+2 x=0 \Rightarrow 4 x=-4 \Rightarrow x=-1
Example:8.यदि A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right] हो तो सिद्ध कीजिए कि A^2-5 A+7 I=0[/katex]  है।
Solution: A^2-5 A+7 I=0 \\ \text{L.H.S. } \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]+7\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]=0=\text { R.H.S }

Matrix in Class 12

Example:9.यदि [x \quad -5 \quad -1]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\4 \\1 \end{array}\right]=0 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \left[\begin{array}{lll}x & -5 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ 4 \\ 1\end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{lll}x & -5 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x+2 \\ 8+1 \\ 2 x+3 \end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow x^2+2 x-45-2 x-3=0 \\ \Rightarrow x^2=48 \Rightarrow x=\sqrt{48} \Rightarrow x= \pm 4 \sqrt{3}
Example:10.एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ x,y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है।वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निर्देशित) हैः
  \begin{array}{|llll|}\hline \text{बाजार} & & \text{ उत्पादन } \\ \hline I & 10,000 & 2000 & 18,000 \\ II & 6,000 & 20,000 & 8,000 \\ \hline \end{array}

Example:10(a).यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 2.50,Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
Solution: \left[\begin{array}{llll}10,000 & 2000 & 18,000 \\ 6,000 & 20,000 & 8,000\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2.50 \\ 1.50 \\ 1.00\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l} 25000+3000+180000 \\ 15000+30000+8000 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l} 46000 \\ 53000 \end{array}\right]
अतः बाजार I से 46,000 तथा बाजार II से 53,000 रुपए आय है।
Example:10(b).यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई का लागत (cost) क्रमशः Rs. 2.00,Rs. 1.00 तथा 50 पैसे है तो कुल आय (Gross profit) ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रत्येक बाजार से प्राप्त क्रय मूल्य

\left[\begin{array}{lll}10,000 & 2000 & 18,000 \\ 6,000 & 20,000 & 8,000\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2.00 \\ 1.00 \\ 0.50\end{array}\right] \\ \begin{array}{l}=\left[\begin{array}{l} 20,000+2000+9000 \\ 12,000+20,000+4000\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l}31000 \\ 36000\end{array}\right]\end{array}
बाजार I से लाभ=46,000-31,000=15,000
बाजार II से लाभ=53,000-36,000=17,000
Example:11.आव्यूह X ज्ञात कीजिए,यदि X\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr}-7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6\end{array}\right] है।
Solution:माना X=\left[\begin{array}{cc}x_1 & x_2 \\ x_2 & x_4\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{lll}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}-7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}x_1+4 x_2 & 2 x_1+5 x_2 & 3 x_1+6 x_2 \\ -x_3+4 x_4 & 2 x_3+5 x_4 & 3 x_3+6 x_4\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}-7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6\end{array}\right]
तुलना करने परः

x_1+4 x_2=7 \cdots(1) \\ 2 x_1+5 x_2=-8 \cdots(2) \\ x_3+4 x_4=2 \cdots(3) \\ 2 x_3+5 x_4=4 \cdots(4)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके, (2) में से घटाने परः

\begin{array}{l}2 x_1+5 x_2=-8 \cdots(2) \\ 2 x_1+8 x_2=-14 \cdots(5) \\ - \quad - \quad \quad + \\ \hline -3 x_2=6 \Rightarrow x_2=-2\end{array}
का मान (1) में रखने परः x_1-8=-7 \\ \Rightarrow x_1=1, x_2=-2
समीकरण (3) को 2 से गुणा करके, (4) में से घटाने परः

\begin{array}{l} 2 x_3+5 x_4=4 \cdots(4) \\ 2 x_3+8 x_4 =4 \cdots(6) \\ -\quad- \quad \quad -\\ \hline 3 x_4 =0 \Rightarrow x_4=0 \end{array}
का मान (3) में रखने परः x_{3}=2

अतः x=\left[\begin{array}{cc}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]
Example:12.यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB=BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए  कि A B^n=B^n A होगा।इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n \in N के लिए (A B)^n=A^n B^n होगा।
Solution:माना M(n)=A B^n=B^n A  जहाँ AB=BA
n=1 के लिए M(1)=AB=BA
\therefore n=1 के लिए कथन सत्य है।
माना कथन n=k के लिए सत्य है।

M(K)=A B^k=B^k A \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

M(K+1)=A B^{K+1}=B^{k+1} A \\ \text{L.H.S } A B^{k+1}=A B^{k} \cdot B \\ =B^k A \cdot B[(1) से]

=B^K B A[\because A B=B A] \\ =B^{k+1} A=\text{R.H.S}
अतः M(n),n=k+1  के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक n \in k के लिए सत्य है।
पुनः माना L(n)=(A B)^n=A^n B^n
n=1 के लिए L(1)=AB=BA
अतः n=1 के लिए कथन सत्य है।
माना कथन n=k के लिए सत्य है।

L(K)=(A B)^K=A^k B^k \cdots(1)
अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

L(k+1)=(A B)^{k+1}=A^{k+1} B^{k+1} \\ \text { L.H.S. }(A B)^{k+1}=(A B)^k \cdot(A B) \\ =\left(A^{k} B^k\right)(A B)[(1) से]
=\left(A^{k} B^K\right)(B A)[AB=BA दिया है]

=A^K B^{k+1} A \\ =A^{k} A B^{K+1}=A^{K+1} B^{k+1}\left\{\because A B^{k}=B^{k} A\right] =\text{R.H.S.}
अतः कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
फलतः गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक के लिए सत्य है।
निम्नलिखित प्रश्नों के सही उत्तर चुनिएः
Example:13.यदि A=\left[\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right] इस प्रकार है कि A^2=I तो

(A) 1+\alpha^2+\beta \gamma=0          (B) 1-\alpha^2+\beta \gamma=0
(c) 1-\alpha^2-\beta \gamma=0            (D) 1+\alpha^2+\beta \gamma=0
Solution: A^2=I \Rightarrow\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll}\alpha^2+\beta \gamma & \alpha \beta-\beta \alpha \\ \alpha \gamma-\alpha \gamma & \gamma \beta+\alpha^2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc}\alpha^2+\beta \gamma & 0 \\ 0 & \gamma \beta+\alpha^2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]
तुलना करने परः \alpha^2+\beta \gamma=1 या \gamma \beta+\alpha^2=1 \\ \Rightarrow 1-\alpha^2-\beta \gamma=0  या 1-\gamma \beta-\alpha^2=0
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:14.यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तोः
(A)A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B)A एक शून्य आव्यूह है।
(C)A एक वर्ग आव्यूह है।
(D)इनमें से कोई नहीं
Solution:माना A=\left[a_{i j}\right]
सममित आव्यूह है अतः a_{ij}=a_{ji} \cdots(1)
विषम सममित आव्यूह है अतः a_{ij}=-a_{ji} \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने परः 2 a_{i j}=0 \Rightarrow a_{i j}=0
अतः a_{ij}=a_{ji}=0
अतः दिया गया वर्ग आव्यूह एक शून्य (Null Matrix) है।
विकल्प (B) सही है।
Example:15.यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है A^2=A, तो  (1+A)^3-7^A बराबर हैः
(A)A   (B)I-A  (C)I   (D)3A
Solution: (1+A)^3-7 A \\ \Rightarrow I^3+3 I^2 A+3 I A^2+A^3-7 A \\ \Rightarrow I+3 A+3 A^2+A^3-A A[\because A I=I A=A] \\ \Rightarrow I+3 A+3 A+A -7A\left[\because A^2=A, A^3=A\right] \\ \Rightarrow I
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Matrix in Class 12),मैट्रिक्स कक्षा 12 (Matrix Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में मैट्रिक्स पर आधारित सवाल (Questions Based on Matrix in Class 12):

Matrix in Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए कि \left[\begin{array}{l}\cos ^2 \alpha \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha \sin ^2 \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos ^2 \beta \cdot \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta \sin ^2 \beta\end{array}\right]=0
जबकि \alpha-\beta=(2 n-1) \frac{\pi}{2}, n \in N
(2.)यदि मैट्रिक्स A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] तो A A^{T} ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): (2)\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Matrix in Class 12),मैट्रिक्स कक्षा 12 (Matrix Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Frequently Asked Questions Related to Matrix in Class 12),मैट्रिक्स कक्षा 12 (Matrix Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में मैट्रिक्स (Matrix in Class 12) के इस आर्टिकल में आव्यूहों पर संक्रियाएँ,आव्यूह का
परिवर्त मैट्रिक्स,व्युत्क्रमणीय आव्यूह इत्यादि के बारे में उदाहरणों के द्वारा अध्ययन करेंगे।