Homogeneous Differential Equations

समघात अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Homogeneous Differential Equations):

Homogeneous Differential Equation

• समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):एक ही घात के समघात फलन हों (Homogeneous functions of the same degree),उनको समघात अवकल समीकरण कहते हैं।
  
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समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):

Homogeneous Differential Equation

• एक अवकल समीकरण जिसका रूप
  \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(x,y)}{f_{2}(x,y)} …(1)
  का हो,जहाँ f_{1}(x,y) तथा f_{2}(x,y) दोनों x और y के एक ही घात के समघात फलन (Homogeneous functions of the same degree) हो उनको समघात अवकल समीकरण कहते हैं।
  इस प्रकार के समीकरणों को ज्ञात करने के लिए हम
  y=vx… (2)
  प्रतिस्थापित करते हैं जिसमें y एक नये आश्रित चर (Dependent variable) v में बदल जाता है।
  माना कि f_{1} तथा f_{2} दोनों n घात के समघात फलन हैं तब
  f_{1}(x,y)=x^{n}F_{1}\left(\frac{y}{x}\right)
  तथा f_{2}(x,y)=x^{n}F_{2}\left(\frac{y}{x}\right) …(3)
  और समीकरण (1) को लिखते हैं:
  \frac{dy}{dx}=\frac{F_{1}(x,y)}{F_{2}(x,y)}… (4)
• अब चूँकि y=vx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} …(5)
  इसलिए समीकरण (4) का नया रूप होगा:
  v+x\frac{dv}{dx}=\frac{F_{1}(v)}{F_{2}(v)}
  \Rightarrow \frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}=\frac{dx}{x}
  जिसमें चर पृथक किए जा सकते हैं और इसका हल दोनों पक्षों का समाकलन करके किया जा सकता है:
  \int{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\int{\frac{dx}{x}}+c
• तत्पश्चात v के स्थान पर \left(\frac{y}{x}\right) विस्थापित करने पर समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त हो जाता है।

Homogeneous Differential Equation

• उपर्युक्त आर्टिकल में समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) के बारे में बताया गया है।