1.समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations):

Homogeneous Differential Equation DE

समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE) के इस आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरणों के हल ज्ञात करना सीखेंगे।उदाहरणों के हल निम्नलिखित हैंः
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2.समघात अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Homogeneous Differential Equation DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1.\frac{dy}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x y} 
Solution: \frac{dy}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x y} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना
y=vx \\ \Rightarrow \frac{dy}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2+v^2 x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(1+v^2\right)}{x^2(2 v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^2}{2 v} \\ \Rightarrow \frac{-2 v}{1-v^2} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left(-\frac{2 v}{1-v^2}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1-v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1-v^2\right)=\log \left(\frac{c}{x}\right) \\ \Rightarrow 1-v^2=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow 1-\frac{y^2}{x^2}=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x^2-y^2=c x 
Example:2. \left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}=x y 
Solution: \left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}=x y 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^2+y^2} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x y}{x^2+y^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x}{x^2+v^2 x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x^2}{x^2\left(1+v^2\right)} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^2}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-v-v^3}{1+v^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{v^3}{1+v^2} \\ \Rightarrow \frac{1+v^2}{v^3} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{v^3}+\frac{1}{v}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\frac{1}{2 v^2}+\log v=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log v+\log x-\log c=\frac{1}{2 v^2} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v x}{c}\right)=\frac{1}{2 v^2} \\ \Rightarrow \quad \frac{v x}{c}=e^{\frac{1}{2 v^{2}}} \\ \Rightarrow \quad \frac{y}{c}=e^{\frac{x^2}{2 y^2}} \\ \Rightarrow y=c e^{\frac{x^2}{2 y^2}} 
Example:3. \left(x y+y^2\right) d x+\left(x y-x^2\right) d y=0 
Solution: \left(x y+y^2\right) d x+\left(x y-x^2\right) d y=0 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x} =v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \\ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x+v^2 x^2}{x^2-x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2(1-v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2}{1-v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v^2}{1-v} \\ \Rightarrow \frac{1-v}{2 v^{2}} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \frac{1-v}{v^2} d v=\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{v^2}-\frac{1}{v}\right) d v=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow -\frac{1}{v}-\log v=\log c x^2 \\ \Rightarrow \log \left(v c x^2\right)=-\frac{1}{v} \\ \Rightarrow \log (c x y)=-\frac{x}{y} \\ \Rightarrow c x y=e^{-\frac{x}{y}} 
Example:4. x \frac{d y}{d x}+\frac{y^2}{x}=y 
Solution: x \frac{d y}{d x}+\frac{y^2}{x}=y 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

x \frac{d y}{d x}=y-\frac{y^2}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^2}{x^2} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x-v^2 x^2}{x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d r}{d x}= \frac{x^2\left(v-v^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v-v^2-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^2}=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\int \frac{d v}{v^{2}}=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{v}=\log x+\log c \\ \Rightarrow \frac{1}{v}=\log c x \\ cx=e^{\frac{1}{v}} \\ \Rightarrow c x =e^{\frac{x}{y}}
Example:5. x^2 d y+y(x+y) d x=0
Solution: x^2 d y+y(x+y) d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x y+y^2\right)}{x^2} \cdots(1)
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(x \cdot v x+v^2 x^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v-v^2-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-2 v-v^2 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v(v+2) \\ \Rightarrow \frac{d v}{v(v+2)}=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \int\left[\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\right] d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \left(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\right) d v=-\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \log v-\log (v+2)=-2 \log x+\log C \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v}{v+2}\right)=\log \frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{v}{v+2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{y}{y+2 x}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow c(y+2 x)=x^2 y
Example:6. y \frac{d y}{d x}+x=y-x \frac{d y}{d x}
Solution: y \frac{d y}{d x}+x=y-x \frac{d y}{d x}
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x}=y-x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x+y)=y-x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x+y} \cdots(1)
यह एक प्रथम घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x}{x+v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x(v-1)}{x(1+v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1-v-v^2}{1+v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(1+v^2\right)}{1+v} \\ \Rightarrow \frac{1+v}{1+v^2} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \left(\frac{1}{1+v^2}+\frac{v}{1+v^2}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \tan^{-1} v+\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \tan ^{-1} v=-\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)-\log x+\log c \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\log \frac{c}{\left(\sqrt{1 +v^2}\right) x} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\log \frac{c}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Rightarrow c=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)} e^{\tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)}
Example:7. \frac{d y}{d x}+\frac{x^2+3 y^2}{3 x^2+y^2}=0
Solution:\frac{d y}{d x}+\frac{x^2+3 y^2}{3 x^2+y^2}=0
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}+\frac{x^2+3 v^2 x^2}{3 x^2+v^2 x^2}=0 \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}+ \frac{\left(1+3 v^2\right) x^2}{\left(3+v^2\right) x^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{1+3 v^2}{3+v^2}+v=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{1+3 v^2+3 v+v^3}{3+v^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{3+3 v+3 v^2+v^3}{3+v^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{3+v^2}{1+3 v+3 v^2+v^3} d v+\frac{d x}{x}=0 \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{1+v}-\frac{2}{(1+v)^2}+\frac{4}{(1+v)^3}\right] d v+\int \frac{d x}{x}=c \\ \Rightarrow \log (1+v)+\frac{2}{1+v}-\frac{2}{(1+v)^2}+\log x=c \\ \Rightarrow \log \left(1+ \frac{y}{x}\right)+\frac{2}{1+\frac{y}{x}}-\frac{2}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2}+\log x=c \\ \Rightarrow \log (x+y)-\log x+\frac{2 x}{x+y}-\frac{2 x^2}{\left(x+y\right)^{2}}+ \log x=c \\ \Rightarrow \log (x+y)+2 x y(x+y)^{-2}=c
Example:8. x(x-y) dy +y^2 d x=0
Solution: x(x-y) dy +y^2 d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{y^2}{x^2-x y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

Homogeneous Differential Equation DE

Example:9. x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}
Solution: x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}}{x^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^3 x^3+v^2 x^2 \sqrt{\left(v^2 x^2-x^2\right)}}{x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^3 x^3+v^2 x^3 \sqrt{\left(v^2-1\right)}}{x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}\right)}{x^3} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}-v \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}-v}=\int \frac{d x}{x} \\ \text { put } v=\sec \theta \Rightarrow dv=\sec \theta \tan \theta d \theta \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta \tan \theta}{\sec ^2 \theta+\sec ^2 \theta \sqrt{\sec ^2 \theta-1}-\sec \theta}=\log x+\log \theta \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta \tan \theta d \theta}{\sec \theta\left(\sec ^2 \theta+\sec \theta \sqrt{\tan ^2 \theta}-1\right)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\tan \theta d \theta}{\left(1+\tan ^2 \theta+\sec \theta \tan \theta-1\right)} =\log cx \\ \Rightarrow \int \frac{\tan \theta d \theta}{\tan \theta(\sec \theta+\tan \theta)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta-\tan \theta d \theta}{(\sec \theta+\tan \theta)(\sec \theta-\tan \theta)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta} d \theta=\log c x \\ \\ \Rightarrow \int \sec \theta d \theta-\int \tan \theta d x=\log cx \\ \Rightarrow \log (\sec \theta+\tan \theta)-\log \sec \theta=\log cx \\ \Rightarrow \log \left(\frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta}\right)=\log cx \\ \Rightarrow \frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta}=c x \\ \sec \theta=v अत: \tan \theta=\sqrt{v^2-1} \\ \Rightarrow \frac{v+\sqrt{v^2-1}}{v}=c x \\ \Rightarrow \frac{\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}}{\frac{y}{x}}=c x \\ \Rightarrow \frac{y+\sqrt{y^2-x^2}}{y}=c x \\ \Rightarrow y+\sqrt{y^2-x^2}=cxy
Example:10. \left(x^2+2 x y\right) d y+\left(2 x y+y^2+3 x^2\right) d x=0
Solution: \left(x^2+2 x y\right) d y+\left(2 x y+y^2+3 x^2\right) d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(2 x y+y^2+3 x^2\right)}{x^2+2 x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

put  v^2+v+1=u \\ (2 v+1) d v=d u \\ \Rightarrow \frac{d u}{u}=-3 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log u=\log \left(\frac{c}{x^3}\right) \\ \Rightarrow u=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow v^2+v+1=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow \frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}+1=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow x\left(x^2+x y+x^2\right)=c
Example:11. x^2 y d x-\left(x^3+y^3\right) d y=0
Solution: x^2 y d x-\left(x^3+y^3\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2 y}{x^3+y^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2 \cdot v x}{x^3+v^3 x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3 v}{x^3\left(1+v^3\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^3}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-v-v^4}{1+v^3} \\ \Rightarrow \int \frac{1+v^3}{v^{4}}=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{v^4}+\frac{1}{v}\right] d v=-\log x+\log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{3 v^3}+\log v=\log \frac{c}{x} \\ \Rightarrow \log \frac{c}{v x}=-\frac{1}{3 v^3} \\ \Rightarrow \frac{c}{v x}=e^{-\frac{1}{3 v^3}} \\ \Rightarrow v x=c e^{\frac{1}{3 v 3}} \\ \Rightarrow y=c e^{\frac{x^3}{3 y^3}}
Example:12. \left(y^3-2 x^2 y\right) d x+\left(2 x y^2-x^3\right) d y=0
Solution: \left(y^3-2 x^2 y\right) d x+\left(2 x y^2-x^3\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^2 y-y^3}{2 x y^2-x^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{2 x^2 \cdot v x-v^3 x^3}{2 x v^2 x^2-x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(2 v-v^3\right)}{x^3\left(2 v^2-1\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v-v^3}{2 v^2-1}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v-v^3-2 v^3+v}{2 v^2-1} \\ \Rightarrow \frac{\left(2 v^2-1\right)v}{3 v-3 v^3}=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \int \frac{\left(2 v^2-1\right)}{v(1-v)(1+v)} d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \int\left[-\frac{1}{v}+\frac{1}{2(1-v)}-\frac{1}{2(1+v)}\right] d v=\log x + \log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{3} \log v+\frac{1}{6} \log (1-v)-\frac{1}{6} \log (1+v)=\log c x \\ \Rightarrow-\log v \sqrt{1-v^{2}}=\log cx^3 \\ \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1-v^2}}=c x^3 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{y \sqrt{x^2-y^2}}=c x^3 \\ \Rightarrow x y \sqrt{x^2-y^2}=c_{1}
Example:13. \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0
Solution: \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-x^2}{2 x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2 x^2-x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v^2-1\right)}{x^2 \cdot 2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-\left(1+v^2\right)}{2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2 v}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1+v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow 1+v^2=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow 1+\frac{y^2}{x^2}=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x^2+y^2=c x
Example:14. x(x-y) dy=y(x+y) d x
Solution: x(x-y) d y=y(x+y) d x
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x+v^2 x^2}{x^2-x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2(1-v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2}{1-v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} \\ \Rightarrow \int \frac{1-v}{2 v^2} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{v^2}-\frac{1}{v}\right] d v=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{v}-\log v=\log c x^2 \\ -\frac{x}{y}=\log c x^2 v \\ \Rightarrow-\frac{x}{y}=\log c x y \\ \Rightarrow c x y=e^{-x y}
Example:15. \left(x^2+3 y^2\right) d x-2 x y d y=0
Solution: \left(x^2+3 y^2\right) d x-2 x y d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+3 y^2}{2 x y}
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2+3 v^2 x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(1+3 v^2\right)}{2 x^2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+3 v^2}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+3 v^2-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2}{2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2 v}{1+v^2} d v=\int \frac{d x}{x} \\ \log \left(1+v^2\right)=\log x+\log c \\ \Rightarrow 1+v^2=c x \\ \Rightarrow 1+\frac{y^2}{x^2}=c x \\ \Rightarrow x^2+y^2=c x^3
Example:16. x y \log \frac{x}{y} d x+\left(y^2-x^2 \log \frac{x}{y}\right) d y=0 
Solution: x y \log \frac{x}{y} d x+\left(y^2-x^2 \log \frac{x}{y}\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d x}{d y}=\frac{x^2 \log \frac{x}{y}-y^2}{x y \log \frac{x}{y}} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना x=v y \\ \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.समघात अवकल समीकरण के सवाल (Homogeneous Differential Equation DE Questions):

Homogeneous Differential Equation DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(6 x^2+2 y^2\right) d x=\left(x^2+4 x y\right) d y
(2.) \left(x^2+y^2\right) \cdot d y=\left(x^2+x y\right) d x
उत्तर (Answers): (1.)6 x^2-x y-2 y^2+c x=0
(2.) \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left\{\frac{2 y+x}{x \sqrt{3}}\right\}=\log \left[c\left\{(x-y)^4\left(x^2+x y+y\right)\right\}^{\frac{1}{2}}\right]

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघात अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE) के इस
आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरणों के हल ज्ञात करना सीखेंगे।