Pythagoras Theorem Class 10
1.पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10),पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):
पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10) को बौधायन प्रमेय के नाम से भी जाना जाता है।इस आर्टिकल में पाइथागोरस प्रमेय और इस पर आधारित उदाहरणों के द्वारा इसको समझेंगे
प्रमेय (Theorem):6.7.यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लम्ब डाला जाए तो इस लम्ब के दोनों ओर बने त्रिभुज सम्पूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।
दिया है (Given):समकोण जिसमें
सिद्ध करना है (To Prove):(i)
(ii)
(iii)
उपपत्ति (Proof):(i)
AA समरूपता कसौटी से
(ii)
AA समरूपता कसौटी से
(iii)
(1) व (2) से
AA समरूपता कसौटी से
प्रमेय (Theorem):6.8.एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
दिया है (Given):समकोण
सिद्ध करना है (To Prove):
रचना (Construction):
उपपत्ति (Proof):
अतः
साथ ही
अतः
(1) और (2) को जोड़ने परः
प्रमेय (Theorem):6.9.यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
रचना (Construction):
उपपत्ति (Proof):
परन्तु PQ=AB एवं QR=BC (रचना से)
(1) और (2) सेः
PQ=AB (रचना से)
QR=BC (रचना से)
PR=AC [(3) में सिद्ध किया है]
SSS सर्वांगसमता कसौटी से
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2.पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Pythagoras Theorem Class 10):
Example:1.कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं।निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौनसे त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं।इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।
Example:1(i).7cm,24cm,25cm
Solution:7cm,24cm,25cm
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तथा कर्ण की लम्बाई 25cm है।
Example:1(ii).3cm,8cm,6cm
Solution:3cm,8cm,6cm
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।
Example:1(iii).50cm,80cm,100cm
Solution:50cm,80cm,100cm
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।
Example:1(iv).13cm,12cm,5cm
Solution:13cm,12cm,5cm
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तथा कर्ण की लम्बाई 13cm है।
Example:2.PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):
समीकरण (1) व (2) सेः
अब
AA समरूपता कसौटी से
Example:3.आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा
(i)
(ii)
(iii)
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):(i)
(ii)
(iii)
उपपत्ति (Proof):(i)
AA समरूपता कसौटी से
(ii)
\angle A=90^{\circ} \\ \angle B A C+\angle D A C=90^{\circ} \cdots(1) \\ \triangle BAC में
(1) और (2) सेः
\angle B A C+\angle D A C=\angle B+\angle B A C \\ \Rightarrow \angle D A C=\angle B \cdots(3) \\ \triangle D C A तथा \triangle A C B में
AA समरूपता कसौटी से
(iii)
AA समरूपता कसौटी से
Example:4.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है।सिद्ध कीजिए कि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):
पाइथागोरस प्रमेय से
Example:5.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC=BC है।यदि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,
एक
Example:6.एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है।उसके प्रत्येक शीर्ष लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:
AB=AC=BC=2a
RHS सर्वागसमता से
BD=DC=a
अब समकोण
Example:7.सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
Solution:दिया है (Given):समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं अतः समकोण
Example:8.आकृति में
(i)
(ii)
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):(i)
(ii)
उपपत्ति (Proof):(i)समकोण
समकोण
समकोण
समीकरण (1),(2) व (3) को जोड़ने परः
(ii) समकोण
समकोण
समकोण
समीकरण (5),(6) व (7) को जोड़ने परः
(4) व (8) सेः
Example:9.10m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है।दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना खिड़की की धरती से ऊँचाई (AB)=8 मीटर
सीढ़ी की लम्बाई (AC)=10 मीटर
सीढ़ी के निचले सिरे और दीवार के आधार के बीच की दूरी (BC)=?
Example:10.18m ऊँचे एक उर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है।खम्भे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24m है।
Solution:माना खम्भे की ऊँचाई (AB)=18 मीटर
तार की लम्बाई (AC)=24 मीटर
खूँटे की स्थिति C है।इसकी खम्भे के आधार से दूरी (BC)=?
समकोण
Example:11.एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है।इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है।
Solution:पहले हवाई जहाज की चाल=1000 km/hr
दूरी=चाल×समय
=
दूसरे हवाई जहाज की चाल=1200 km/hr
दूरी=
समकोण
Example:12.दो खम्भे जिनकी ऊँचाईयाँ 6m और 11m है तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं।यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:एक खम्भे की ऊँचाई (AB)=11 मीटर
दूसरे खम्भे की ऊँचाई (CD)=6 मीटर
खम्भों के आधारों के बीच दूरी (BD)=12 मीटर
C से AB पर CE लम्ब खींचते है अर्थात्
BE=OC=6 मीटर
AE=AB-BE=11-6 मीटर
AE=5 मीटर
तथा CE=BD=12 मीटर
समकोण
A C^2=A E^2+E C^2 \\ =(5)^2+(12)^2 \\ =25+144 \\ \Rightarrow A C^2 =169 \\ A C =\sqrt{169} \\ A C =13 मीटर
Example:13.एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है,की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।सिद्ध कीजिए कि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):समकोण
पाइथागोरस प्रमेय से
समकोण
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने परः
समकोण
समकोण
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने परः
समीकरण (5) व (6) सेः
Example:14.किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB=3CD (देखिए आकृति)।सिद्ध कीजिए कि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):समकोण
Example:15.किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
रचना (Constriction):A से BC पर
उपपत्ति (Proof):समकोण
Example:16.किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
Solution:दिया है (Given):
सिद्ध करना है (To Prove):
उपपत्ति (Proof):
AB=BC=CA
समकोण
Example:17.सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिएः
(A)120°(B)60° (C)90° (D)45°
Solution:AC=12सेमी,AB=
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से
अतः सही विकल्प (C) है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10),पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) को समझ सकते हैं।
3.पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 की समस्याएँ (Pythagoras Theorem Class 10 Problems):
(1.)एक समकोण
(2.)किसी समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AB=AC है तथा शीर्ष B से सम्मुख भुजा AC पर लम्ब BD खींचा गया है।सिद्ध कीजिए कि
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10),पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Similarity of Triangles Class 10
4.पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Pythagoras Theorem Class 10),पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समरूप आकृतियों और सर्वांगसम आकृतियों में क्या अन्तर है? (What is the Difference Between Similar and Congruent Figures?):
उत्तर:सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती है परन्तु समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।
प्रश्न:2.समरूप आकृतियाँ किसे कहते हैं? (What are Similar Figures?):
उत्तर:ऐसी ज्यामितीय आकृतियाँ जिनका रूप (Shape) बिल्कुल समान हो,समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
प्रश्न:3.सर्वांगसम आकृतियाँ किसे कहते हैं? (What are the Congruent Figures?):
उत्तर:ऐसी आकृतियाँ जिनके आकार (shape) व आमाप (size) बिल्कुल एक समान हों अर्थात् परस्पर अध्यारोपण से एक-दूसरे को पूरा-पूरा ढक लें, सर्वांगसम आकृतियाँ कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10),पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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पाइथागोरस प्रमेय कक्षा 10 (Pythagoras Theorem Class 10) को बौधायन प्रमेय के नाम
से भी जाना जाता है।इस आर्टिकल में पाइथागोरस प्रमेय और इस पर आधारित उदाहरणों के
द्वारा इसको समझेंगे
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Satyam
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