Some Properties of Triangle Class 9
1.त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9),त्रिभुजों के विशेष गुणधर्म कक्षा 9 (Special Properties of Triangles Class 9):
त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9) में समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्मों का अध्ययन करेंगे।एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) कहलाता है।
प्रमेय (Theorem):7.2.एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
दिया है (Given):\triangle ABC में AB=AC
सिद्ध करना है (To Prove): \angle B=\angle C
रचना (Construction):\angle A का समद्विभाजक AD खींचा जो BC को D पर मिले।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABD \text { तथा } \triangle ACD में
AB=AC (दिया है)
\angle BAD=\angle CAD (रचना से)
AD=AD (उभयनिष्ठ है)
\triangle BAD \cong \triangle CAD (SAS नियम द्वारा)
\therefore \angle ABD=\angle ACD
अर्थात् \angle B=\angle C
प्रमेय (Theorem):7.3.किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
दिया है (Given):एक \triangle ABC जिसमें \angle B=\angle C
सिद्ध करना है (To Prove):AB=AC
रचना (Construction):\angle A का समद्विभाजक AD खींचा।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABD \text { और } \triangle ACD में
AD=AD (उभयनिष्ठ है)
\angle B=\angle C (दिया है)
\angle BAD=\angle CAD (रचना से)
\triangle ABD \cong \triangle ACD (AAS नियम से)
AB=AC (CPCT)
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2.त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Some Properties of Triangle Class 9):
Example:1.एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB=AC है, \angle B और \angle C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।A और O को जोड़िए।दर्शाइए कि
(i) OB=OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है
Solution:दिया है (Given):एक समद्विबाहु \triangle ABC जिसमें AB=AC है।\angle B और \angle C के समद्विभाजक O पर मिलते हैं।A और O को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है (To Prove):(i) OB=OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति (Proof):(i)\angle ABC=\angle ACB (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)
\frac{1}{2} \angle ABC=\frac{1}{2} \angle ACB \\ \angle OBC=\angle OCB
OB=OC (बराबर कोणों की अभिमुख भुजाएँ)
(ii) \triangle AOB \text { और } \triangle AOC में
OB=OC (सिद्ध किया है)
AB=AC (दिया है)
AO=AO (उभयनिष्ठ है)
\triangle AOB \cong \triangle AOC (SSS नियम से)
\angle OAB=\angle OAC (CPCT)
अतः AO, \angle A का समद्विभाजक है।
Example:2. \triangle ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति)।दर्शाइए कि \triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AD,BC का लम्ब समद्विभाजक है।अर्थात् BD=DC, BC \perp AD
सिद्ध करना है (To Prove):\triangle ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC
उपपत्ति (Proof): \triangle ADB और \triangle ADC में
\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}
AD=AD (उभयनिष्ठ है)
BD=DC (दिया है)
\triangle ADB \cong \triangle ADC (SAS नियम से)
AB=AC (CPCT)
\therefore \triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC है।
Example:3.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति)।दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
Solution:दिया है (Given):\triangle ABC में BE \perp AC \text { व } CF \perp AB तथा AB=AC
सिद्ध करना है (To Prove):BE=CF
उपपत्ति (Proof): \triangle BEC तथा \triangle CFB में
BC=BC (उभयनिष्ठ है)
\angle ACB=\angle ABC (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)
\angle BEC=\angle CFB=90^{\prime} (दिया है)
\triangle BEC \cong \triangle CFB (AAS नियम से)
BE=CF (CPCT)
Example:4.ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति)।दर्शाइए कि
(i) \triangle ABE \cong \triangle ACF
(ii)AB=AC अर्थात् \triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में BE \perp AC, CF \perp AB तथा BE=CF
सिद्ध करना है (To Prove):(ii)AB=AC अर्थात् एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति (Proof):(i) \triangle ABE \cong \triangle ACF
(ii) AB=AC अर्थात् एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति (Proof):(i) \triangle ABE \text { और } \triangle ACF में
BE=CF (दिया है)
\angle BAE=\angle CAF (उभयनिष्ठ है)
\angle AEB=\angle AFC=90^{\circ}
\triangle ABE \cong \triangle ACF(AAS नियम से)
(ii) \triangle ABE \cong \triangle ACF(सिद्ध किया है)
\therefore AB=AC (CPCT)
\triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Example:5. \triangle ABC और \triangle DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)।दर्शाइए कि \angle ABD=\angle ACD है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=AC तथा \triangle DBC में BD=CD
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ABD=\angle ACD
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC समद्विबाहु त्रिभुज है अतः \angle ABC=\angle ACB \cdots(1) \\ \triangle DBC समद्विबाहु त्रिभुज है अतः
\angle DBC=\angle DCB \cdots(2)
(1) व (2) के संगत पक्षों को जोड़ने परः
\angle ABC+\angle DBC=\angle ACB+\angle DCB \\ \Rightarrow \angle ABD=\angle ACD
Example:6.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC है।भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD=AB है (देखिए आकृति)।दर्शाइए कि \angle BCD एक समकोण है।
Solution:दिया है (Given):\triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC
भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD=AB
सिद्ध करना है (To Prove): \angle BCD=90^{\circ}
उपपत्ति (Proof):\triangle ABC समद्विबाहु त्रिभुज है
\therefore \angle ABC=\angle ACB \ldots(1)
AB=AC और AD=AB (दिया है)
\therefore AD=AC
\triangle ACD में
AC=AD
\therefore ACD=\angle ADC (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)… (2)
समीकरण (1) व (2) के संगत पक्षों को जोड़ने परः
\angle ABC+\angle ADC=\angle ACB+\angle ACD \\ \Rightarrow \angle ABC+\angle ADC=\angle BCD
दोनों पक्षों में \angle BCD जोड़ने परः
\angle ABC+\angle ADC+\angle BCD=\angle BCD+\angle BCD \\ \Rightarrow 180^{\circ}=2 \angle BCD [के तीनों कोणों का योग]
\Rightarrow \angle BCD=90^{\circ}
Example:7.ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें \angle A=90^{\circ} और AB=AC है। \angle B और \angle C ज्ञात कीजिए।
Solution:समकोण \triangle ABC में
AB=AC
अतः \angle B=\angle C (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)… (1)
\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} \\ \Rightarrow 90^{\circ}+\angle C+\angle C=180^{\circ} [ \angle B=\angle C (1) से]
\Rightarrow 2 \angle C=180-90^{\circ} \\ \Rightarrow 2 \angle C=90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle C=45^{\circ}
Example:8.दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
Solution:दिया है (Given):समबाहु त्रिभुज है अर्थात् AB=BC=CA
सिद्ध करना है (To prove): \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में
AB=AC (दिया है)
\angle B=\angle C (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)… (1)
पुनः BC=AC (दिया है)
\angle A=\angle C (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)…. (2)
(1) व (2) सेः
\angle A=\angle B=\angle C \cdots(3)
परन्तु \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
3 \angle A=180^{\circ} [(3) से]
\angle A=60^{\circ}
अतः \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9),त्रिभुजों के विशेष गुणधर्म कक्षा 9 (Special Properties of Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।
3.त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Some Properties of Triangle Class 9):
(1.)यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की माध्यिका AD हो तथा \angle A=120^{\circ} एवं AB=AC हो तो \angle ADB का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)दी गई आकृति में AB=AC,BD=EC तो सिद्ध कीजिए कि \triangle ADE एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9),त्रिभुजों के विशेष गुणधर्म कक्षा 9 (Special Properties of Triangles Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Some Properties of Triangle Class 9),त्रिभुजों के विशेष गुणधर्म कक्षा 9 (Special Properties of Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.त्रिभुज किसे कहते हैं? (What is a Triangle?):
उत्तर:तीन असंरेख बिन्दुओं में से दो-दो को मिलाने से बने तीन रेखाखण्डों से बनी आकृति को त्रिभुज कहते हैं।
प्रश्न:2.भुजाओं के आधार पर त्रिभुजों का वर्गीकरण करो। (Classify Triangles Based on Sides):
उत्तर:(1.)विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle):जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ अलग-अलग माप की हों उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।
(2.)समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ समान माप की हों तो उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहा जाता है।
(3.)समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):जिस त्रिभुज में सभी भुजाएँ समान माप की हों उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं।
प्रश्न:3.कोणों के आधार पर त्रिभुजों का वर्गीकरण करो। (Classify Triangles Based on Angles):
उत्तर:(1.)न्यूनकोण त्रिभुज (Acute Angled Triangle):जिस त्रिभुज का प्रत्येक कोण न्यूनकोण हो उसे न्यूनकोण त्रिभुज कहते हैं।
(2.)समकोण त्रिभुज (Right Angled Triangle):जिस त्रिभुज का कोई एक कोण 90° के बराबर हो उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।
(3.)अधिककोण त्रिभुज (Obtuse Angled Triangle):जिस त्रिभुज में कोई एक कोण 90° से अधिक हो, उसे अधिक कोण त्रिभुज कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9),त्रिभुजों के विशेष गुणधर्म कक्षा 9 (Special Properties of Triangles Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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(Some Properties of Triangle Class 9)
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त्रिभुज के कुछ गुण कक्षा 9 (Some Properties of Triangle Class 9) में समद्विबाहु त्रिभुज
के गुणधर्मों का अध्ययन करेंगे।एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों समद्विबाहु
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Satyam
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