1.सदिश समष्टि का आधार और विमा (Basis and Dimensions of a Vector Space),रैखिक बीजगणित में आधार और विमा (Basis and Dimension of Linear Algebra):

Basis and Dimensions of a Vector Space

सदिश समष्टि का आधार और विमा (Basis and Dimensions of a Vector Space) के इस आर्टिकल में आधार और विमा को कुछ उदाहरणों के द्वारा समझेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Linear Independence in Linear Algebra

2.सदिश समष्टि का आधार और विमा के साधित उदाहरण (Basis and Dimensions of a Vector Space Solved Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि सदिश समष्टि V_2(R) का उपसमुच्चय {(1,0),(0,1)} आधार है।
(Prove that the subset {(1,0),(0,1)} of vector space V_2(R) is a basis).
Solution: V_1=(1,0), v_2=(0,1), S=\{(1,0),(0,1)\} \\ \alpha v_1+\beta v_2=0 \\ \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) \\ \Rightarrow(\alpha, 0)+(0, \beta)=(0,0) \\ \Rightarrow(\alpha, \beta)=(0,0) \\ \alpha=\beta=0 \\ V_2(R) के अवयव एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
S का प्रत्येक V_2(R) अवयव का अवयव है

S \subseteq V_2(R)
अब हम सिद्ध करेंगे कि V_2(R) को S जनित करता है।
माना x_1, x_2 \in v_2(R) तब

\left(x_1, x_2\right)=x_1(1,0)+x_2(0,1)
साथ ही 
(1,0)=a(1,0)+b(0,1)
(1,0)=(a,b)
\Rightarrow a=1,b=0
इसी प्रकार
(0,1)=a(1,0)+b(0,1)
(0,1)=(a,b)
\Rightarrow a=0,b=1
(1,0)=1(1,0)+(0,1)
(0,1)=0(1,0)+1(0,1)
\left(x_1, x_2\right) \in V_2(R), S के अवयवों के एकघात संचय के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।अतः S, V_2(R) की आधार है।
अब S में दो अवयव है इसलिए V_2(R) की विमा 2 है।
Example:2.प्रदर्शित कीजिए कि समुच्चय S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,0)}
सदिश समष्टि को विस्तृति करता है परन्तु आधार समुच्चय नहीं है।
(Show that the set S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,0)}
span the vector space but is not a basis set.)
Solution:\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1(1,1,0)+x_2(1,1,1)+x_{3} (0,1,0) \\ \Rightarrow (1,0,0)= \alpha(1,1,0) + \beta(1,1,1) +\gamma(0,1,0) \\ \Rightarrow(1,0,0)=(\alpha, \alpha, 0)+(\beta, \beta, \beta)+(0, \gamma, 0) \\ \Rightarrow(1,0,0)=(\alpha+\beta, \alpha+\beta+\gamma, \beta) \\ \alpha+\beta=1 \ldots(1) \\ \alpha+\beta+\gamma=0 \ldots(2) \\ \beta=0 \ldots(3)
उपर्युक्त निकाय सोपानक रूप है तथा निकाय अविरोधी है।(1),(2),(3) का हल निम्न हैः

\alpha=1, \beta=0, \gamma=-1
(1,0,0)=1(1,1,0)-1(1,1,1)+0(0,1,0) 
सदिश समष्टि V_3 (R) को विस्तृति करता है।

\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1)+\delta(0,1,0)=0 \\ \Rightarrow(\alpha, 0,0)+(\beta, \beta, 0)+(\gamma, \gamma, \gamma)+(0, \delta, 0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow(\alpha+\beta+\gamma, \beta +\gamma+\delta, \gamma)=(0,0,0) \\ \alpha+\beta+\gamma=0 \cdots(4) \\ \beta+\gamma +\delta=0 \cdots(5) \\ \gamma=0 \ldots(6) \\ \alpha+\beta+0 \cdot \delta=0 \\ 0 \cdot \alpha+ \beta+\delta=0 \\ \frac{\alpha}{1}=\frac{\beta}{0-1}=\frac{\delta}{1-0} \\ \alpha=1, \beta=-1, \delta=1, \gamma=0
एकघाततः स्वतन्त्र सिद्ध करने के लिए
अतः एकघाततः स्वतन्त्र नहीं है।
अतः आधार समुच्चय नहीं है।
Example:3.प्रदर्शित कीजिए कि समुच्चय S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} सदिश समष्टि V_3(R)=\{(a, b, c) \mid a, b, c \in R\} का एक आधार है।
(Show that the set S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} form a basis of the vector space V_3(R)=\{(a, b, c) \mid a, b, c \in R\}.)
Solution:S का प्रत्येक अवयव V_3(R) का अवयव है।

S \subseteq V_3(R)
प्रथम S को एकघाततः स्वतन्त्र सिद्ध करेंगे

a, b, c \in V_3(R)
a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)=(0,0,0)
\Rightarrow (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c)=(0,0,0)
\Rightarrow (a+b+c,b+c,c)=(0,0,0)
a+b+c=0
b+c=0
c=0
a=b=c=0
अतः S के अवयव एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
अब हम सिद्ध करेंगे कि V_3(R), S को जनित करता हैः

(\alpha, \beta, \gamma)=\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1)
साथ ही (1,0,0)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)

\Rightarrow (1,0,0)=(a, 0,0)+(b, a, 0)+c(c, c, c)
\Rightarrow (1,0,0)=(a+b+c,b+c,c)
a+b+c=1
b+c=0
c=0
a=1,b=0,c=0
(1,0,0)=1(1,0,0)+0(1,1,0)+0(1,1,1)
इसी प्रकार
(0,1,0)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)
(0,1,0)=(a+b+c,b+c,c)
a+b+c=0
b+c=1
c=0
a=-1,b=1,c=0
(0,1,0)=-1(1,0,0)+1(1,1,0)+0(1,1,1)
(0,0,1)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)
\Rightarrow (0,0,1)=(a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c)
\Rightarrow (0,0,1)=(a+b+c,b+c,c)
\Rightarrow a+b+c=0
b+c=0
c=1
\Rightarrow a=0,b=-1,c=1
(0,0,1)=0(1,0,0)-1(1,1,0)+1(1,1,1)
अतः (\alpha, \beta, \gamma), V_3(R) के अवयवों के एकघाततः संचय के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।फलतः S, V_3(R) की आधार है।
Example:4.माना e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) तथा v_1=(3,2,1), v_2=(2,1,0), v_3=(1,0,0) ; R^3 का आधार है।
(Let e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) and v_1=(3,2,1), v_2=(2,1,0), v_3=(1,0,0)  be vectors in.Show that each of the sets and is a basis for R^3.)
Solution: S_1=\left\{e_1, e_2, e_3\right\} ; S_2=\left\{v_1, v_2, v_3\right\} \\ S_1 का प्रत्येक अवयव R^3 का अवयव है
S_1 \subseteq R^3 \\ S_1 को एकघाततः स्वतन्त्र सिद्ध करेंगे

a, b, c \in R^3
a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(0,0,0)
\Rightarrow (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)=(0,0,0)
\Rightarrow (a,b,c)=(0,0,0)
\Rightarrow a=0,b=0,c=0
अतः R^3 के अवयव एकघाततः स्वतन्त्र है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि R^3,S_{1} को जनित करता है

\left(\alpha, \beta,\gamma \right)=\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1)
(1,0,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
 (1,0,0)=(a,b,c)
a=1,b=0,c=0
(1,0,0)=1(1,0,0)+0(0,1,0)+0(0,0,1)
इसी प्रकार
(0,1,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
\Rightarrow (0,1,0)=(a,b,c)
\Rightarrow a=0,b=1,c=0
(0,1,0)=0(1,0,0)+1(0,1,1)+0(0,0,1)
(0,0,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
\Rightarrow (0,0,1)=(a,b,c)
\Rightarrow a=0,b=0,c=1
(0,0,1)=0(1,0,0)+0(0,1,0)+1(0,0,1)
अतः \alpha, \beta, \gamma, R^3 के अवयवों के एकघात संचय के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।फलतः S_{1},R^3 की आधार है।
अब a v_1+b v_2+c v_3=0

\Rightarrow a(3,2,1)+b(2,1,0)+c(1,0,0)=0 \\ \Rightarrow (3 a, 2 a, a)+(2 b, b, 0)+(c, 0,0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow (3 a+2 b+c, 2 a+b, a)=(0,0,0) \\ \Rightarrow 3 a+2 b+c=0 \\ 2 a+b=0 \\ a=0 \\ a=0, b=0, c=0
अतः एकघात स्वतन्त्र हैं।
अब हम सिद्ध करेंगे कि V_3(R), S_2 को जनित करता है।
\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1(3,2,1)+x_2(2,1,0)+x_3(1,0 ; 0) \\ \Rightarrow(1,0,0)=a(3,2,1)+b(2,1,0) +c(1,0,0) \\ \Rightarrow(1,0,0)=(3 a+2 b+c, 2 a+b, a) \\ \Rightarrow 3 a+2 b+c=1 \\ 2 a+b=0 \\ a=0 \\ a=0, b=0, c=1 \\(1,0,0) =0(3,2,1)+0(2,1,0)+1(1,0,0)
इसी प्रकार
(0,1,0)=a(3,2,1)+b(2,1,0)+c(1,0,0) \\ \Rightarrow(0,1,0)=(3 a+2 b+c, 2 a+b, a) \\ 3 a+2 b+c=0 \\ 2 a+b=1 \\ a=0 \\ \Rightarrow a=0, b=1, c=-2 \\ (0,1,0)=0(3,2,1)+1(2,1,0)-2(1,0,0) \\ (0,0,1)=a(3,2,1)+b(2,1,0) +c(1,0,0) \\ \Rightarrow(0,0,1)=(3 a+2 b+c, 2 a+b, a) \\ \Rightarrow 3 a+2 b+c=0 \\ 2 a+b=0 \\ \Rightarrow a=1 \\ \Rightarrow a=1, b=-2, c=1 \\ (0,0,1)=1(3,2,1)-2(2,1,0)+1(1,0,0)
अतः x_1, x_2, x_3, R^{3} के अवयवों के एकघात संचय के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
फलतः S_{2} , R^{3} की आधार है।

Basis and Dimensions of a Vector Space

Example:5.यदि समुच्चय S=\{\alpha, \beta \gamma\} सदिश समष्टि का एक आधार है तो सिद्ध कीजिए करो कि समुच्चय S=\{\alpha+\beta, \beta+\gamma, \gamma+\alpha\} भी का एक आधार होगा।
(If the set S=\{\alpha, \beta \gamma\} be a basis of the vector space then prove that the set  S=\{ \alpha+\beta, \beta+\gamma, \gamma+\alpha\} will also be a basis of.)
Solution:दिया हुआ है कि का आधार है अर्थात्
(i) समुच्चय \{\alpha, \beta, \gamma\} एकघाततः स्वतन्त्र है
तथा (ii) \{\alpha, \beta, \gamma\}, V_3(R) को जनित करता है।
अब को का आधार सिद्ध करने के लिए मानलो a,b,c कोई ऐसे अदिश हैं कि

a(\alpha+\beta)+b(\beta+\gamma)+c(\gamma+\alpha)=0 \\ (a+c) \alpha+(a+b) \beta+(b+c) \gamma=0
a+c=0,a+b=0,b+c=0
a=0,b=0,c=0 [ \{\alpha, \beta, \gamma\} एकघाततः स्वतन्त्र है।]
जिससे सिद्ध हो गया कि \{\alpha+\beta, \beta+\gamma, \gamma+\alpha\}  एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
अब यह सिद्ध करने के लिए कि \{\alpha+\beta, \beta+\gamma, \gamma+\alpha\}\ ,V_3(R)  को जनित करता है,हमें सिद्ध करना है कि स्वेच्छ V_3(R) के अवयव x के संगत तीन अदिश \alpha_{1},\alpha_{2} ,\alpha_{3} इस प्रकार होने चाहिए कि

x=\alpha_1(\alpha+\beta)+\alpha_2(\beta+\gamma)+\alpha_3(\gamma+\alpha) \\ =\left(\alpha_1 + \alpha_3\right) \cdot \alpha+\left(\alpha_1+\alpha_2\right) \beta+\left(\alpha_2+\beta_3\right) \gamma \cdots(1)
अब क्योंकि \{\alpha, \beta, \gamma\}, V_3(R) का आधार है तो सदिश x के संगत तीन अदिश \beta_1, \beta_2, \beta_3 ऐसे होंगे कि

x=\beta_1 \alpha+\beta_2 \beta+\beta_3 \gamma \cdots(2)
अब (1) व (2) सेः

\beta_1=\alpha_1+\alpha_3, \beta_2=\alpha_1+\alpha_2, \beta_3=\alpha_2+\alpha_3 \\ \beta_1+\beta_2+\beta_3 =2\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2+\beta_3\right)= \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 \\ \alpha_2=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2+\beta_3\right)-\beta_{1} \\ \Rightarrow \alpha_2=\frac{1}{2}\left(\beta_2+ \beta_3-\beta_1\right) \\ \alpha_3=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2+\beta_3\right)-\beta_2\\ \Rightarrow \alpha_3=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_3-\beta_2\right) \\ \alpha_1=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2 +\beta_3\right)-\beta_{3} \\ \Rightarrow \alpha_1=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2-\beta_3\right) \\ \alpha_1=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_2-\beta_3\right), \alpha_2=\frac{1}{2}\left(\beta_2+\beta_3 -\beta_1\right), \alpha_3=\frac{1}{2}\left(\beta_1+\beta_3-\beta_{2}\right)
अतः V_3(R) का प्रत्येक सदिश x को \{\alpha+\beta, \beta+\gamma, \alpha+\gamma\}, V_3(R) का एकघाततः संचय के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
इसलिए \{\alpha+\beta, \beta+\gamma, \alpha+\gamma\} का आधार होगा जब कभी \{\alpha, \beta, \gamma\} V_3(R)  का आधार है।
Example:6.प्रदर्शित कीजिए कि R पर समस्त 3×2 कोटि की मैट्रिक्स की सदिश समष्टि की विमा 6 है।इस समष्टि के आधार समुच्चय ज्ञात करिए।
(Show that the set of all 3×2 matrices over R is a vector space of dim6.Find a basis of this space.)
Solution:माना S=\left\{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\right\} \\ v_1=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], v_2=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], v_3=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ v_4=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] , v_5=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] , v_6=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4+\alpha_5 v_5+\alpha_6 v_6=0 \\ \alpha_1 \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]+\alpha_2\left[\begin{array}{ll} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] +\alpha_3 \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] +\alpha_4\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 1 \\0 & 0\end{array}\right]+\alpha_5\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right] +\alpha_6\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll}\alpha_1 & 0 \\0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & \alpha_2 \\  0 & 0  \\0 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\alpha_3 & 0 \\0 & 0 \end{array}\right]+\left[ \begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & \alpha_4 \\0 & 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\0 & 0 \\ \alpha_5 & 0\end{array}\right]+ \\ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 \\ 0 & 0\\0 & \alpha_6\end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 \\0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll}\alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_3 & \alpha_4 \\\alpha_5 & \alpha_6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}0 & 0 \\0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3= \alpha_4=\alpha_5 =\alpha_6=0
अतः S एकघाततः संचय है।
साथ ही S,R को जनित करता है क्योंकि R का कोई सदिश \left[\begin{array}{ll}u & v \\w & x \\y & z\end{array}\right]  सदिश है तब

-\left[\begin{array}{ll}u & v \\w & x \\y & z\end{array}\right]=u v_1+v v_2+w v_3+x v_u+y v_5+z v_6
अतः S,R का आधार है परन्तु S के अवयवों की संख्या 6 है इसलिए
R की विमा=dim R=6
Example:7.सिद्ध कीजिए कि किसी n-विमीय सदिश समष्टि V(F) के प्रत्येक (n+1) या उससे अधिक सदिशों के समुच्चय एकघाततः परतन्त्र होते हैं
(Prove that in an n-dimensional vector space V(F), every set of (n+1) or more vectors of V is linearly dependent).
Solution:माना V(F),n विमीय सदिश समष्टि की एक परिमित सदिश समष्टि है।
माना S, जिसके (n+1) या अधिक अवयव है जो रैखिक स्वतन्त्र उपसमुच्चय है।
S का विस्तार, V के आधार के रूप में हो सकता है।
इस प्रकार हम V का ऐसा आधार प्राप्त करेंगे जिसके n से अधिक सदिश हो।परन्तु V के प्रत्येक आधार के ठीक n सदिश होंगे।अतः हमारी कल्पना गलत थी।
इसलिए S में यदि n+1 या अधिक सदिश होंगे तब S रैखिक परतन्त्र होना चाहिए। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि S के m सदिश है और S रैखिक स्वतन्त्र सदिश है तब m \leq n
Example:8.सिद्ध कीजिए कि {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} समष्टि V_3(R) का आधार है
(Show that S={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} is a basis for the space V_3(R).)
Solution:S का प्रत्येक अवयव V_3(R) का अवयव है

S \subseteq V_3(R)
प्रथमतः S को एकघाततः स्वतन्त्र सिद्ध करेंगे।इसके लिए माना कि \alpha,\beta ,\gamma \in R इस प्रकार है कि

\alpha(1,1,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(0,0,1)=(0,0,0) \\ \Rightarrow(\alpha,\alpha, \alpha)+(0, \beta, \beta)+(0,0, \gamma)=(0,0,0) \\ \Rightarrow(\alpha, \alpha+\beta, \alpha+\beta+\gamma)=(0,0,0) \\ \alpha=0 \\ \alpha+\beta=0, \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \alpha=\beta=\gamma=0
अतः S के अवयव एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
अब हम सिद्ध करेंगे कि V_3(R) को S जनित करता है
माना (\alpha, \beta, \gamma) \in V_3(R) तब

(\alpha, \beta, \gamma)=\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1)
साथ ही (1,0,0)=a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)
\Rightarrow (1,0,0)=(a,a+b,a+b+c)
\Rightarrow a=1,b=-1,c=0
(1,0,0)=1(1,1,1)-1(0,1,1)+0(0,0,1)
इसी प्रकार
 (0,1,0)=a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)
\Rightarrow (0,1,0)=(a,a+b,a+b+c)
\Rightarrow a=0,a+b=1,a+b+c=0
\Rightarrow a=0,b=1,c=-1
(0,1,0)=0(1,1,1)+1(0,1,1)-1(0,0,1)
(0,0,1)=a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)
\Rightarrow (0,0,1)=(a,a+b,a+b+c)
a=0,a+b=0,a+b+c=1
a=0,b=0,c=1
(0,0,1)=0(1,1,1)+0(0,1,1)+1(0,0,1)
अतः (\alpha, \beta, \gamma) \in R , S के अवयवों के एकघात संचय में व्यक्त कर सकते हैं।अतः S, V_3(R) की आधार है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सदिश समष्टि का आधार और विमा (Basis and Dimensions of a Vector Space),रैखिक बीजगणित में आधार और विमा (Basis and Dimension of Linear Algebra) को समझ सकते हैं।

3.सदिश समष्टि का आधार और विमा (Questions Based on Basis and Dimensions of a Vector Space):

Basis and Dimensions of a Vector Space

(1.)सिद्ध करो कि सदिश (2,1,4),(1,-1,2),(3,1,-2); R^{3} का आधार है।
(Show that the vectors (2,1,4),(1,-1,2),(3,1,-2) forms a basis of R^{3})
(2.)सिद्ध करो कि सदिश (1,2,1),(2,1,0),(1,-1,2); V_3(R) का आधार है।
(Show that the vectors (1,2,1),(2,1,0),(1,-1,2) forms a basis for V_3(R) .)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सदिश समष्टि का आधार और विमा (Basis and Dimensions of a Vector Space),रैखिक बीजगणित में आधार और विमा (Basis and Dimension of Linear Algebra) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Linear Dependence in Linear Algebra

4.सदिश समष्टि का आधार और विमा (Frequently Asked Questions Related to Basis and Dimensions of a Vector Space),रैखिक बीजगणित में आधार और विमा (Basis and Dimension of Linear Algebra) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

सदिश समष्टि का आधार और विमा (Basis and Dimensions of a Vector Space) के इस
आर्टिकल में आधार और विमा को कुछ उदाहरणों के द्वारा समझेंगे।