1.अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Removal of First Derivative in DE),अवकल समीकरण में परतन्त्र चर का परिवर्तन अर्थात् सामान्य रूप में समानयन (Change of Dependent Variable ie Reduction to Normal Form in Differential Calculus):

Removal of First Derivative in DE

अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Removal of First Derivative in DE):निम्नलिखित समीकरण का पूर्ण हल तभी ज्ञात किया जा सकता है जबकि इसके पूरक-फलन का एक भाग ज्ञात हो।परन्तु हमेशा पूरक-फलन का एक भाग ज्ञात होना आसान नहीं होता।यहाँ हम एक ऐसी विधि बता रहे हैं जो कि पूरक-फलन के भाग पर निर्भर नहीं करती।इसके लिए परतन्त्र चर का परिवर्तन करते हैं जिससे परिवर्तित समीकरण में प्रथम अवकलज का पद शून्य हो जाए।

माना कि व्यापक हल y=vx जहाँ u इसके पूरक-फलन का एक भाग नहीं है।
अब \frac{d y}{d x}=v \frac{d u}{d x}+u \frac{d v}{d x} 
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=v \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \frac{d u}{d x} \cdot \frac{d v}{d x}+u \frac{d^2 v}{d x^2}
इन मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने परः

\left\{v \frac{d^2 u}{d x^2}+2 \frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x}+u \frac{d^2 v}{d x^2}\right\}+P\left\{v \frac{d u}{d x}+u \frac{d v}{d x}\right\}+Q(u v)=R
या u \frac{d^2 v}{d x^2}+u \frac{d v}{d x}\left\{P+\frac{2}{u} \cdot \frac{du}{dx}\right\}+v\left\{\frac{du^2}{d x^2}+P \frac{d u}{d x}+Q u\right\}=R \ldots(2)
यहाँ हम प्रथम अवकलज वाले पद \frac{d v}{d x} का विलोपन करेंगे।ऐसा करने के लिए हम u का चयन इस प्रकार से करते हैं कि P+\frac{2}{u} \cdot \frac{d u}{d x} का मान शून्य हो जाए अर्थात्

P+\frac{2}{u} \cdot \frac{d u}{d x}=0 \Rightarrow \frac{d u}{u}=-\frac{P}{2} d x
इसका समाकलन करने परः

\log u=-\int \frac{P}{2} dx
अतः u=\exp \left\{-\frac{1}{2} P d x\right\} \ldots(3)
समीकरण (2) सेः

u \frac{d^2 v}{d x^2}+v \left\{\frac{d^2 u}{d x^2}+P \frac{d u}{d x}+Q \cdot u\right\}=R \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{v}{u} \cdot\left\{\frac{d^2 u}{d x^2}+P \frac{d u}{d x}+Q \cdot u\right\}=\frac{R}{u} \cdots(4)
अब (3) से \frac{d u}{d x}=-\frac{P}{2} u
तथा \frac{d^2 u}{d x^2} =-\frac{1}{2}\left[P \frac{d u}{d x}+u \frac{d P}{d x}\right] \\ =\frac{1}{2} \left[P \frac{d u}{d x}+u \frac{d p}{d x}\right] \\ =-\frac{1}{2}\left[P\left(-\frac{P}{2} u\right)+u \frac{d p}{d x}\right] \\ =\frac{P^2}{4} u-\frac{u}{2} \frac{d P}{d x}
इन मानों को (4) में रखने परः

\frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{v}{u}\left\{\frac{P^2}{4} \cdot u-\frac{u}{2} \frac{dP}{d x}-\frac{P^2}{2} u+Q \cdot u\right\}=\frac{P}{u} \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+v\left\{\frac{P^2}{4}-\frac{P^2}{2}+Q-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x}\right\}=R \exp \left\{\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x^2}+v \left\{Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x}\right\} =R \exp \left\{\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ \frac{d^2 v}{d x^2}+I.V=S \ldots(5)
जहाँ  I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} तथा S=R \exp P\left\{\frac{1}{2} \int P d x\right\}=\frac{R}{u} \cdots(6)
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2.अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Removal of First Derivative in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. 4 x \frac{d^2 y}{d x^2}-4(x+2) \frac{d y}{d x}+(4+x) y=0
Solution: 4 x \frac{d^2 y}{d x^2}-4(x+2) \frac{d y}{d x}+(4+x) y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{(4 x+8)}{4 x} \frac{d y}{d x}+\left(\frac{4+x}{4 x}\right) y=0 \ldots(1)
यहाँ P=-\frac{(4 x+8)}{4 x}, Q=\frac{4+x}{4 x} तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि

u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-\frac{(4 x+8)}{4 x} d x \right\} \\ =\exp \left\{\frac{1}{8} \int\left(4+\frac{8}{x}\right) d x\right\} \\ =e^{\frac{1}{8}(4 x+8 \log x)} \\ \Rightarrow u=e^{\frac{x}{2}} \cdot x
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\=\frac{4+x}{4 x}-\frac{1}{4} \frac{(4 x+)^2}{16 x^2} -\frac{1}{2}\left[-\frac{4 x(4)-(4 x+8)4}{16 x^2}\right] \\ =\frac{4+2 x}{4 x}-\frac{x^2+4 x+4}{4 x^2}+\frac{x-x-2}{2 x^2} \\ =\frac{4 x+x^2-x^2-4x-4-4}{4 x^2} \\ I=-\frac{8}{4 x^2} \\ \Rightarrow I=-\frac{2}{ x^2}
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अतः (2) सेः \therefore \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{1}{x^2} v=0 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}-2 v=0
यह एक समघाती रैखिक अवकल समीकरण है।
अतः इसमें z=\log _{e} x अर्थात् x=e^z रखने परः
[D(D-1)-2] v=0 जहाँ  D=\frac{d}{d z} \\ \Rightarrow \left(D^2-D-2\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2-m-2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m+m-2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)+(m-2=0 \\ \Rightarrow (m+1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=-1,2 \\ v=\text{C.F.}=C_{1} e^{-z}+C_{2} e^{2 z} \\ v=C_{1} x^{-1}+C_{2} x^{2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=\left(C_1 x^{-1}+C_2 x^2\right) e^{\frac{x}{2}} \cdot x \\ \Rightarrow y=\left(C_1+C_2 x^3\right) e^{\frac{x}{2}}

Example:2. x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x-4 x^2\right) \frac{d y}{d x}+\left(1-2 x+4 x^2\right) y=0
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x-4 x^2\right) \frac{d y}{d x}+\left(1-2 x+4 x^2\right) y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः
x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x-4 x^2\right) \frac{d y}{d x}+\left(1-2 x+4 x^2\right) y=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{\left(x-4 x^2\right)}{x^2}, Q=\frac{1-2 x+4 x^2}{x^2} तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int \frac{x-4 x^2}{x} d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{x}-4\right) d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \log x+2 x\right\} \\ \Rightarrow u =\frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}}
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I.V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x}\\=\frac{1-2 x+4 x^2}{x^2}-\frac{1}{4}\left(\frac{x-4 x^2}{x^2}\right)^{2} -\frac{1}{2}\left[\frac{x^2(1-8 x)-\left(x-4 x^2\right)(2 x)}{x^4}\right] \\ =\frac{1-2 x+4 x^2}{x^2}-\frac{1-8 x+16 x^2}{4 x^2}-\frac{(1-8 x-2+8 x)^3}{2 x^2} \\ =\frac{4-8 x+16 x^2-1+8 x-16 x^2+2}{4 x^2} \\ \Rightarrow I=\frac{5}{4 x^2}=\frac{1}{2 x^2}
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अतः (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x^2}+\frac{5}{4 x^{2}} v=0 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d^{2} v}{d x^2}+\frac{5}{4} v=0
यह एक समघाती रैखिक अवकल समीकरण है।
अतः इसमें z=\log _e x अर्थात् x=e^z रखने परः
\left[D(D-1)+\frac{5}{u}\right] v=0 जहाँ D=\frac{d}{dz} \\ \Rightarrow\left(D^2-D+\frac{5}{4}\right) v=0 \\ \Rightarrow\left(4 D^2-4 D+5\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
4 m^2-4m+5=0 \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{16-4 \times 4 \times 5}}{2 \times 4} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm 8}{8} i=\frac{1}{2} \pm i \\ v=e^{\frac{1}{2} z} C_1 \cos \left(z+C_2\right) \\ v=\sqrt{x} C_1 \cos \left(\log x+C_2\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=C_{1} e^{2 x} \cos \left(\log x+C_{2}\right)
Example:3. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 b x \frac{d y}{d x}+b^2 x^2 y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 b x \frac{d y}{d x}+b^2 x^2 y=0 \cdots(1)
यहाँ P=-2 b x, Q=b^2 x^2  तथा R=0 
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-2 b x d x\right\} \\ u=e^{\frac{b x^2}{2}}
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I.V.=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x}=b^2 x^2-\frac{1}{4}(-2 b x)^2 -\frac{1}{2} \times(-2 b) \\ =b^2 x^2-b^2 x^2+b \\ \Rightarrow I=b
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अतः (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x^2}+b v=0 \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2+b\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+b=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{b} i \\ v=C_{1} \cos (\sqrt{b} x)+C_{2} \sin (\sqrt{b} x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu=e^{\frac{b x^2}{2}}[C_{1} \cos (\sqrt{b} x)+C_{2} \sin (\sqrt{b} x)]
Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \cdot \frac{d y}{d x}+5 y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+5 y=0 \cdots(1)
यहाँ P=-2 \tan x, Q=5  तथा R=0
u=exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-2 \tan x d x\right\} \\ =\exp \left\{\int \tan x d x\right\} \\ =e^{\log \sec x} \\ \Rightarrow u=\sec x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 V}{d x^2}+I V=S \ldots(2)
जहाँ \Rightarrow I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{d x} \\=5-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2} \times-2 \sec ^2 x \\ =5- \tan ^2 x+\sec ^2 x \\ =5+1 \\ I=6
तथा S=\frac{R}{u}=0
अतः (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x^2}+6 v=0 \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^2+6\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+6=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{6} i \\ v=C_{1} \cos \left( \sqrt{6} x)+C_{2} \sin (\sqrt{6} x \right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=\sec x\left[C_{1}\cos (\sqrt{6} x)+C_{2} \sin (\sqrt{6} x)\right]
Example:5. \frac{d}{d x}\left(\cos ^2 x \frac{d y}{d x}\right)+y \cos ^2 x=0
Solution: \frac{d}{d x}\left(\cos ^2 x \frac{d y}{d x}\right)+y \cos ^2 x=0 \\ \cos ^2 x \frac{d^2 y}{d x}-2 \cos x \sin x \frac{d y}{d x}+y \cos ^2 x=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+y=0
यहाँ P=- \tan x,Q=1 तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-2 \tan x d x\right\} \\ =\exp \left\{\int \tan x d x\right\} \\ \Rightarrow u =e^{\log \sec x} \\ \Rightarrow u=\sec x
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^{2}v}{dx^{2}}+IV=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =1-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2} \times -2 \sec^2 x \\ =1-\tan x+\sec ^2 x \\ =1+1 \\ \Rightarrow I =2
तथा \Rightarrow R=\frac{S}{u}=\frac{0}{u}=0
अब (2) सेः 
\frac{d^2 v}{d x^2}+2 v=0 \ldots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^2+2\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+2=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{2} i \\ v=C_{1} \cos (\sqrt{2} x)+C_{2} \sin (\sqrt{2} x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu \\ \Rightarrow y=\sec x\left[C_{1} \cos (\sqrt{2} x)+\sin (\sqrt{2} x)\right]

Removal of First Derivative in DE

Example:6. \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\left(a^2+\frac{2}{x^2}\right) y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\left(a^2+\frac{2}{x^2}\right) y=0 \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{2}{x}, Q=a^2+\frac{2}{x^2}  तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2}\int -\frac{2}{x} d x\right\} \\ =e^{\log x} \\ \Rightarrow u =x
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =a^2+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{4} \times \frac{4}{x^2}-\frac{1}{2} \times-2\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ =a^2+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow I=a^2 
तथा R=\frac{S}{u}=\frac{0}{u}=0
अब (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+a^2 v=0 \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^2+a^2\right)v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+a^2=0 \Rightarrow m=\pm a i \\ v=C_{1} \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=\left[ C_{1} \cos (a x)+C_{2}\sin (a x) \right]
Example:7. \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\left(a^2+\frac{2}{x^2}\right) y=x e^x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\left(a^2+\frac{2}{x^2}\right) y=x e^x \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{2}{x}, q=a^2+\frac{2}{x^2} तथा R=x e^x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-\frac{2}{x} d x\right\} \\ =e^{\log x} \\ \Rightarrow u =x
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^{2} v}{d x^2}+I.V=5 \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =a^2+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{4} \times \frac{4}{x^2}-\frac{1}{2} \times(-2) \times\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ =a^2+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow I=a^2
तथा R=\frac{S}{u}=\frac{x e^x}{x} \\ \Rightarrow R=e^x
अब (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+a^2 v=e^x \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^2+a^2\right) v=e^x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+a^2=0 \Rightarrow m=\pm a i \\ C.F=C_1 \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)
पुनः \text{P.I.}=\frac{1}{\left(D^2+a^2\right)} e^x \\ \text{P.I.}=\frac{e^x}{a^2+1} \\ \therefore v=\text{C.F.}+\text{P.I.} \\ v=C_{1} \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)+\frac{e^x}{a^2+1}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=x\left[C_{1} \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)+\frac{e^x}{a^2+1}\right]
Example:8. \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+n^2 y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+n^2 y=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{2}{x}, Q=n^2 तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int \frac{2}{x} d x\right\} \\ =e^{-\log x} \\ \Rightarrow u =\frac{1}{x}
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 V}{d x^2}+I V=S \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} p^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{dx} \\ =n^2-\frac{1}{4} \times \frac{4}{x^2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{x^2}\right) \\ =n^2-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow I=n^2
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{O}{u}=0
अब (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+n^2 v=0 \ldots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^{2}+n^{2}\right)v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+n^2=0 \Rightarrow m=\pm n i \\ v=C_{1} \cos (n x)+C_{2} \sin (nx)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu \\ \Rightarrow y=\frac{1}{x}\left[C_1 \cos (n x)+C_2 \sin (n x)\right]
Example:9. \frac{d^2 y}{d x^2}+2 n \cot (nx) \frac{d y}{d x}+\left(a^2-n^2\right) y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 n \cot (nx) \frac{d y}{d x}+\left(a^2-n^2\right) y=0 \cdots(1)
यहाँ P=2 n \cot x, Q=a^2-n^2 तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int 2 n \cot x d x\right\} \\ =e^{-n \log \sin x} \\ \Rightarrow u =\frac{1}{\sin^n x}
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I.V.=S \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{dP}{d x} \\ =a^2-n^2-\frac{1}{4}\left(4 n^2 \cot ^2 x\right)-\frac{1}{2}(-2 n cosec^{2}x) \\ =a^2-n^2-n^2 \cot ^2 x+n \operatorname{cosec}^2 x \\ =a^2-n^2+n^2\left(\operatorname{cosec}^2 x-\cot ^2 x\right) \\ =a^2-x^2+x^2 \\ \Rightarrow I=a^2
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अब (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x^2}+a^2 v=0 \ldots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में रखा जा सकता हैः
\left(D^2+a^2\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2+a^2=0 \Rightarrow m=\pm a i \\ v=C_{1} \cos (a u)+C_{2} \sin (a x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=v u \\ \Rightarrow y=\frac{1}{\sin ^3 x}\left[C_{1} \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)\right] \\ \Rightarrow y=\operatorname{cosec}^n x\left[C_{1} \cos (a x)+C_{2} \sin (a x)\right]
Example:10. \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x}+\frac{1}{4 x^2} \left(x+x^{\frac{1}{2}}-8\right) y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x}+\frac{1}{4 x^2}\left(x+x^{\frac{1}{2}}-8\right) y=0 \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}, Q=\frac{1}{4 x^2}\left(x+x^{\frac{1}{2}}-8\right) तथा R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x\right\} \\ =\exp \left\{\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{x}\right\} \\ \Rightarrow u=e^{\sqrt{x}}
अब (1) में y=vu रखने पर निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d p}{d x} \\ =\frac{1}{4 x^2}\left(x+x^{\frac{1}{2}}-8\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}\right) \\ =\frac{1}{4 x}+\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow I=-\frac{2}{x^2}
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अब (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x}-\frac{2 v}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}-2 V=0
यह एक समघाती रैखिक अवकल समीकरण है।
अतः z=\log _e x इसमें x=e^z अर्थात् रखने परः
[D(D-1)-2] v=0  जहाँ D \equiv \frac{d}{d z} \\ \Rightarrow\left(D^2-D-2\right) v=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः
m^2-m-2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m+m-2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)+1(m-2)=0 \\ \Rightarrow(m+1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=-1,2 \\ v=C_{1} e^{-z}+C_{2} e^{2z} \\ v=C_{1} x^{-1}+C_{2} x^2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
\Rightarrow y=e^{\sqrt{x}}\left(C_1 x^{-1}+C_2 x^2\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Removal of First Derivative in DE),अवकल समीकरण में परतन्त्र चर का परिवर्तन अर्थात् सामान्य रूप में समानयन (Change of Dependent Variable ie Reduction to Normal Form in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना पर आधारित सवाल (Questions Based on Removal of First Derivative in DE):

Removal of First Derivative in DE

(1.)सामान्य रूप में समानयन द्वारा हल करोः
(Solve y_{2}-z(\tan x) y_{1}+5 y=e^x \sec x, by reducing it to normal form)
(2.)सामान्य रूप में समानयन द्वारा हल करोः
(Solve y_2+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} y_1+\left(\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{6 x^{\frac{4}{3}}}-\frac{6}{x^2}\right) y=0, by reducing it to normal form)
उत्तर (Answers):(1) y=\left [ C_{1} \cos (\sqrt{6}x)+C_{2} \sin (\sqrt{6}x)+\frac{1}{7} e^{x} \right] \sec x
(2) y=\left(C_1 x^{-2}+C_2 x^3\right) e^{-\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Removal of First Derivative in DE),अवकल समीकरण में परतन्त्र चर का परिवर्तन अर्थात् सामान्य रूप में समानयन (Change of Dependent Variable ie Reduction to Normal Form in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Frequently Asked Questions Related to Removal of First Derivative in DE),अवकल समीकरण में परतन्त्र चर का परिवर्तन अर्थात् सामान्य रूप में समानयन (Change of Dependent Variable ie Reduction to Normal Form in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाना (Removal of First Derivative in DE):
निम्नलिखित समीकरण का पूर्ण हल तभी ज्ञात किया जा सकता है जबकि इसके पूरक-फलन
का एक भाग ज्ञात हो।