1.उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Maxima and Minima Class 12),अवकलन गणित में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima in Differential Calculus):

Maxima and Minima Class 12

उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Maxima and Minima Class 12) मानों की गणना करने में अवकलज की संकल्पना का प्रयोग करेंगे।वास्तव में हम एक फलन के आलेख के वर्तन बिन्दुओं (Turning Points) को ज्ञात करेंगे और इस प्रकार उन बिन्दुओं को ज्ञात करेंगे जिन पर आलेख स्थानीय अधिकतम (या न्यूनतम) पर पहुँचता है।इस प्रकार के बिन्दुओं का ज्ञान एक फलन का आलेख खींचने में बहुत उपयोगी होता है।इसके अतिरिक्त हम एक फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान (Absolute Maximum Value) और निरपेक्ष न्यूनतम मान (Absolute Minimum Value) भी ज्ञात करेंगे जो कई अनुप्रयुक्त समस्याओं के हल के लिए आवश्यक है।
परिभाषा:मान लीजिए एक अन्तराल I में एक फलन f परिभाषित है तब
(a) f का उच्चतम मान I में होता है यदि I में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि

f(c) \geq f(x), \forall x \in I
संख्या f(c) को I में f का उच्चतम मान कहते हैं और बिन्दु c को I में f के उच्चतम मान वाला बिन्दु कहा जाता है।
(b)f का निम्नतम मान I में होता है यदि I में एक बिन्दु c का अस्तित्व है इस प्रकार कि

f(c) \leq f(x), \forall x \in I
संख्या f(c) को I में f का निम्नतम मान कहते हैं और बिन्दु c को I में f के निम्नतम मान वाला बिन्दु कहा जाता है।
(c) I में f एक चरम मान (extreme value) रखनेवाला फलन कहलाता है यदि I में एक ऐसे बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि f(c), f का उच्चतम मान अथवा निम्नतम मान है।
इस स्थिति में f(c),I में f का चरम मान कहलाता है और बिन्दु c एक चरम मान कहलाता है और बिन्दु c एक चरम बिन्दु कहलाता है।
परिभाषाःमान लीजिए f एक वास्तविक मानीय फलन है और c फलन f के प्रान्त में एक आन्तरिक बिन्दु है।तब
(a) c को स्थानीय उच्चतम बिन्दु कहा जाता है यदि एक ऐसा h>0 है कि (c-h,c+h) में सभी x के लिए f(x) \geq f(x) हो।तब f(c),फलन f का स्थानीय उच्चतम मान कहलाता है।
(b) c को स्थानीय निम्नतम का बिन्दु कहा जाता है यदि एक ऐसा h>0 है कि (c-h,c+h) में सभी x के लिए f(c) \leq f(x) हो।तब f(c),फलन f का स्थानीय निम्नतम मान कहलाता है।
प्रमेय (Theorem):(प्रथम अवकलज परीक्षण):
मान लीजिए कि एक फलन f किसी विवृत अन्तराल I पर परिभाषित है।मान लीजिए कि f अन्तराल I में स्थित क्रान्तिक बिन्दु c पर संतत है।तब
(i) x के बिन्दु c से होकर बढ़ने के साथ-साथ यदि f'(x) का चिन्ह c के बायीं ओर उसके पर्याप्त निकट के प्रत्येक बिन्दु पर f'(x)>0 तथा c के दायीं ओर और पर्याप्त निकट के प्रत्येक बिन्दु पर f'(x)<0 हो तो c स्थानीय उच्चतम एक बिन्दु है।

(ii)x के बिन्दु c से होकर बढ़ने के साथ-साथ यदि f'(x) का चिन्ह ऋण से धन में परिवर्तित होता है अर्थात् यदि बिन्दु c के बायीं ओर और उसके पर्याप्त निकट के प्रत्येक बिन्दु पर f'(x)<0 तथा c के दायीं ओर और उसके पर्याप्त निकट के प्रत्येक बिन्दु पर f'(x)>0 हो तो c स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
(iii) x के बिन्दु c से होकर बढ़ने के साथ यदि f'(x) का चिन्ह परिवर्तित नहीं होता है तो c न तो स्थानीय उच्चतम बिन्दु है और न स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।वास्तव में इस प्रकार के बिन्दु को नति परिवर्तन बिन्दु (point of inflection) कहते हैं।।

प्रमेय (Theorem):द्वितीय अवकलज परीक्षण
मान लीजिए कि f, किसी अन्तराल I में परिभाषित एक फलन है तथा C \in I है।मान लीजिए कि f, c पर दो बार लगातार अवकलनीय है।तब
(i) यदि f'(c)=0 और f”(c)=0<0 तो x=c स्थानीय उच्चतम का एक बिन्दु है।इस दशा में f का स्थानीय उच्चतम मान f(c) है।

(ii) यदि f'(c)=0 और f”(c)>0 तो x=c स्थानीय निम्नतम का एक बिन्दु है।इस दशा में f का स्थानीय निम्नतम मान f(c) है।
(iii)यदि f'(c)=0 और f”(c)=0 है तो यह परीक्षण असफल हो जाता है।
इस स्थिति में हम पुनः प्रथम अवकलज परीक्षण पर वापस जाकर यह ज्ञात करते हैं कि c उच्चतम,निम्नतम या नति परिवर्तन बिन्दु है।
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2.उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Maxima and Minima Class 12 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम और निम्नतम मान यदि कोई हों तो ज्ञात कीजिएः
Example:1(i). f(x)=(2 x-1)^2+3
Solution: f(x)=(2 x-1)^2+3 \\(2 x-1)^2>0 \Rightarrow f(x) का कोई उच्चतम मान नहीं है।
परन्तु (2 x-1)^2 का निम्नतम मान 0 है।

\therefore 2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}
फलन का न्यूनतम मानः
f(x)=0+3=3
Example:1(ii). f(x)=9 x^2+12 x+2
Solution: f(x)=9 x^2+12 x+2 \\ \Rightarrow f(x) =9 x^2+12 x+4-2 \\ f(x) =(3 x+2)^2-2 \\ (3 x+2)^2>0
अतः फलन का कोई उच्चतम मान नहीं है।
परन्तु (3 x+2)^2 का निम्नतम मान 0 है।
\therefore 3 x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3} \\ x=-\frac{2}{3} पर फलन का निम्नतम मान

f(x) =(3 x+2)^2-2 \\ =(3 x-\frac{2}{3}+2)^2-2 \\ \Rightarrow f(x) =-2 \\ \Rightarrow f\left(-\frac{2}{3} \right) =-2
Example:1(iii). f(x)=-(x-1)^2+10
Solution: f(x)=-(x-1)^2+10 \\ -\left(x-1\right)^{2}<0
अतः फलन का कोई निम्नतम मान नहीं है।
-(x-1)^2 का अधिकतम मान 0 है।

\therefore-(x-1)^2=0 \Rightarrow x=1
तब x=1 पर फलन का उच्चतम मान

f(1)=-(1-1)^2+10 \\ \Rightarrow f(1)=10
Example:1(iv). g(x)=x^3+1
Solution: g(x)=x^3+1, x \in R
जैसे-जैसे x का मान बढ़ेगा, g(x) का मान भी बढ़ेगा अतः g(x) का उच्चतम मान नहीं है।जैसे-जैसे x का मान कम होगा तो g(x) का मान भी कम होता जाएगा।ऐसी दशा में g(x) का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
अतः फलन का कोई उच्चतम या न्यूनतम मान नहीं है।
Example:2.निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों तो ज्ञात कीजिएः
Example:2(i). f(x)=|x+2|-1
Solution: f(x)=|x+2|-1
|x+2|>0 अतः f(x) का कोई उच्चतम मान नहीं है।
|x+2| का निम्नतम मान 0 है।

|x+2|=0 \Rightarrow x=-2
f(x) का निम्नतम मान

f(-2) =|x+2|-2 \\ =|-2+2|-2 \\ \Rightarrow f(-2) =-1
Example:2(ii). g(x)=-|x+1|+3
Solution: g(x)=-|x+1|+3
-|x+1| अतः फलन का निम्नतम मान नहीं है।
पुनः -|x+1| का उच्चतम मान 0 है।

\therefore-|x+1|=0 \Rightarrow x=-1
g(x) का उच्चतम मानः

g(x)=-|x+1|+3 \\ g(-1)=-|-1+1|+3 \\ \Rightarrow g(-1)=3
Example:2(iii). h(x)=\sin (2 x)+5
Solution: h(x)=\sin (2 x)+5
sin (2 x) का अधिकतम मान 1 है।
अतः h(x) का अधिकतम मानः

h(x)=\sin (2 x)+5 \\ \Rightarrow h(x)=1+5=6
sin (2 x) का न्यूनतम मान – 1 है।
अतः h(x) का न्यूनतम मानः
h(x)=-1+5=4
Example:2(iv). f(x)=|\sin 4 x+3|
Solution: f(x)=|\sin 4 x+3|
sin 4 x का अधिकतम मान 1 है।
f(x) का अधिकतम मानः

f(x)=|\sin 4 x+3| \\ \Rightarrow f(x)=|1+3|=4
पुनः sin 4 x का निम्नतम मान -1 है।

sin 4 x का निम्नतम मानः

f(x)=|-1+3|=4 \Rightarrow f(x)=2
Example:2(v). h(x)=x+1, x \in(-1,1)
Solution: h(x)=x+1, x \in(-1,1)
जैसे-जैसे x का मान बढ़ता जाएगा h(x) का मान बढ़ता जाएगा।जैसे-जैसे x का मान घटता जाएगा h(x) का मान भी घटता जाएगा।
अतः h(x) का कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

Maxima and Minima Class 12

Example:3.निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी भी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।

Example:3(i). f(x)=x^2
Solution: f(x)=x^2 \\ f^{\prime}(x)=2 x \\ f^{\prime}(x)=0 से 2 x=0 \Rightarrow x=0

अतः x=0 पर स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
फलन का स्थानीय निम्नतम मानः

f(x)=x^2 \\ \Rightarrow f(0)=0^2=0
Example:3(ii). g(x)=x^3-3 x
Solution: g(x)=x^3-3 x \\ g^{\prime}(x)=3 x^2-3 \\ g^{\prime}(x)=0 \text{ से } \Rightarrow 3 x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1

अतः x=1 पर g(x) निम्नतम है।
फलन का स्थानीय निम्नतम मानः

g(x)=x^3-3 x \\ g(1)=1^3-3 \times 1=-2
x=-1 पर उच्चतम है।
फलन का स्थानीय उच्चतम मानः

g(-1) =(-1)^3-3(-1) \\ =-1+3 \\ \Rightarrow g(-1) =2
Example:3(iii). h(x)=\sin x+\cos x ,0<x<\frac{\pi}{2}
Solution: h(x)=\sin x+\cos x \\ h^{\prime}(x)=\cos x-\sin x \\ h^{\prime}(x)=\text { से } \Rightarrow \cos x-\sin x=0 \\ \Rightarrow \tan x=1 \\ \Rightarrow \tan x=\tan \frac{\pi}{4} \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}
h'(x)=0 से
\frac{\pi}{4} के निकट बायीं ओर \frac{\pi}{6}

h^{\prime}(x)=\cos \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}>0 \\ \frac{\pi}{4} के निकट दायीं ओर \frac{\pi}{3} \\ h^{\prime}(x)=\cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0
h'(x) का मान धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।फलतः x=\frac{\pi}{4} स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=\frac{\pi}{4} पर स्थानीय उच्चतम मानः

h(x) =\sin x+\cos x \\ h\left(\frac{\pi}{4} \right) =\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \\ \Rightarrow h\left(\frac{\pi}{4} \right) =\sqrt{2}
Example:3(iv). f(x)=\sin x-\cos x, 0<x<2 \pi
Solution: f(x)=\sin x-\cos x \\ f^{\prime}(x)=\cos x+\sin x \\ f^{\prime}(x)=0  \text{ से } \Rightarrow \cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tan x=-1 \\ \Rightarrow \tan x=\tan (\pi-\frac{\pi}{4}), \tan\left ( 2 \pi-\frac{\pi}{4} \right ) \\ \Rightarrow \tan x=\tan \frac{3 \pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pi}{4},\frac{7 \pi}{4} \\ x=\frac{3 \pi}{4} के निकट बायीं ओर माना x=\frac{2 \pi}{3} लेने परः

f^{\prime}(x) =\cos \frac{2 \pi}{3}+\sin \frac{2\pi}{3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}>0 \\ x=\frac{3 \pi}{4} के निकट दायीं ओर माना x=\frac{5 \pi}{6} \\ f^{\prime}(x)=\cos \frac{5 \pi}{6}+\sin \frac{5 \pi}{6} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}<0
f'(x) का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।अतः फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=\frac{3 \pi}{4} पर फलन का स्थानीय उच्चतम मानः

f(x)=\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \\ \Rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \\ x=\frac{7 \pi}{4} के निकट बायीं ओर माना x=\frac{5 \pi}{3} \\ f^{\prime}(x) =\cos \frac{5 \pi}{3}+\sin \frac{5 \pi}{3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}<0 \\ x=\frac{7 \pi}{4} के निकट दायीं ओर माना x=\frac{11 \pi}{6} \\ f^{\prime}(x)=\cos \frac{11 \pi}{6}+\sin \frac{11 \pi}{6} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}>0
f'(x) का चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।अतः फलन का स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x=\frac{7 \pi}{4} पर फलन का स्थानीय निम्नतम मानः

f(x) =\sin \left(\frac{7 \pi}{4}\right)- \cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right) \\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2} \\ \Rightarrow f(x) =-\sqrt{2}
Example:3(v). f(x)=x^3-6 x^2+9 x+15
Solution: f(x)=x^3-6 x^2+9 x+15 \\ f^{\prime}(x)=3 x^2-12 x+9 \\ f^{\prime}(x)=0 \text { से } \Rightarrow 3 x^2-12 x+9=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^2-4 x+3\right)=0 \\ \Rightarrow x^2-4 x+3=0 \\ \Rightarrow x^2-3 x-x+3=0 \\ \Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0 \\ \Rightarrow(x-1)(x-3)=0 \\ \Rightarrow x=1,3
x के निकट दायीं ओर 1.1

f^{\prime}(x)=3(1.1)^2-12(1.1)+9=0.57<0
x के निकट बायीं ओर 0.9

f^{\prime}(x)=3(0.9)^2-12(0.9)+9=0.63>0
f'(x) का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।अतः फलन x=1 पर स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=1 पर स्थानीय उच्चतम मानः

f(x) =x^3-6 x^2+9 x+15 \\ f(1) =0(1)^3-6(1)^2+9(1)+15 \\ =1-6+9+15 \\ \Rightarrow f(1) =19
x=3 के निकट बायीं ओर माना x=2.9

f^{\prime}(x)=3(2.9)^2 -12 \times 2.9+9 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-0.57<0
x=3 के निकट दायीं ओर माना x=3.1

f^{\prime}(x)=3(3.1)^2-12 \times 3.1+9 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0.63>0
f'(x) का मान ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।अतः x=3 स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x=3 पर स्थानीय निम्नतम मानः

f(x) =x^3-6 x^2+9 x+15 \\ f(3) =3^3-6 \times 3^2+9 \times 3+15 \\ =27-54+27+15 \\ \Rightarrow f(3) =15
Example:3(vi). g(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}, x>0
Solution: g(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x} \\ g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2} 
g'(x)=0 से \frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=4 \\ \Rightarrow x=\pm 2
x=2 के निकट बायीं ओर माना x=1.9

g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{(1.9)^2}=\frac{3.61-4}{2 \times 1.9^2} \\ g^{\prime}(x)=\frac{-0.39}{7.22}<0
x=2 के निकट दायीं ओर माना x=2.1

g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{(2 \cdot 1)^2}=\frac{4.41-4}{8.82}=\frac{0.41}{8.82}>0
g'(x) का चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।अतः x=2 स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x=2 पर फलन g(x) का स्थानीय निम्नतम मानः

g(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x} \\ g(2)=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=2
x=-2 के निकट बायीं ओर x=-2.1

g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{(-2.1)^2}=\frac{4.41-4}{8.82}=\frac{0.41}{8.82}>0
x=-2 के निकट दायीं ओर x=-1.9

g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{(-1.9)^2}=\frac{3.61-4}{7.22}=\frac{-0.39}{1.22}<1
g'(x) का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।अतः x=-2 स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=-2 पर स्थानीय उच्चतम मानः

f(x) =\frac{x}{2}+\frac{2}{x} \\ =-\frac{2}{2}+\frac{2}{-2}=-1-1=-2 \\ \Rightarrow g(x) =-2
Example:3(vii). g(x)=\frac{1}{x^2+2}
Solution: g(x)=\frac{1}{x^2+2} \\ g^{\prime}(x)=-\frac{2 x}{\left(x^2+2\right)^2} \\ g^{\prime}(x)=0 से \Rightarrow \frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}=0 \Rightarrow x=0
x=0 के निकट बायीं ओर x=-0.1

g^{\prime}(x)=-\frac{2(-0.1)}{(-0.1)^2+2}=\frac{0.2}{2.01}>0
x=0 के निकट दायीं ओर x=0.1

g^{\prime}(x)=-\frac{2(0.1)}{(0.1)^2+2}=\frac{-0.2}{2.01}<0
g'(x) का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।अतः x=0 स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=0 पर स्थानीय उच्चतम मानः

g(x)=\frac{1}{x^2+2} \\ \Rightarrow g(x)=\frac{1}{0^2+2}=\frac{1}{2}
Example:3(viii). f(x)=x \sqrt{1-x}, x>0
Solution: f(x)=x \sqrt{1-x} \\ f^{\prime}(x)=\sqrt{1-x}-\frac{x}{2 \sqrt{1-x}}
f'(x)=0 से \Rightarrow \sqrt{1-x}-\frac{x}{2 \sqrt{1-x}}=0 \\ \Rightarrow 2(1-x)=x \\ \Rightarrow 3 x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \\ x=\frac{2}{3} के निकट बायीं ओर x=\frac{2}{5} \\ f^{\prime}(x) =\sqrt{1-x}-\frac{x}{2 \sqrt{1-x} } \\ =\sqrt{1-\frac{2}{5} }-\frac{\frac{2}{5} }{2 \sqrt{1-\frac{2}{5} }} \\ =\sqrt{\frac{3}{5}}-\frac{1}{\sqrt{15}} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{\sqrt{9}-1}{\sqrt{15}}=\frac{3-1}{\sqrt{15}}=\frac{2}{\sqrt{15}}>0 \\ x=\frac{2}{3} के निकट दायीं ओर \frac{3}{4} \\ f^{\prime}(x) =\sqrt{1-\frac{3}{4}}-\frac{\frac{3}{4}}{2 \sqrt{1-\frac{3}{4}}} \\ =\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{2-3}{4} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =-\frac{1}{4}<0
f'(x) का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता।अतः स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x=\frac{2}{3} पर स्थानीय उच्चतम मानः

f(x)=x \sqrt{1-x} \\ f\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{2}{3} \sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3 \sqrt{3}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Maxima and Minima Class 12),अवकलन गणित में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 की समस्याएं (Maxima and Minima Class 12 Problems):

Maxima and Minima Class 12

निम्नलिखित फलन के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिएः

(1) \sin 2x+\cos 2x
दिए गए अन्तराल में निम्नलिखित फलन के अधिकतम एवं न्यूनतम मान ज्ञात कीजिएः

(2) x^3-18 x^2+96 x, \quad x \in[0,9]
उत्तर (Answers):(1.)x=\frac{6+\sqrt{3}}{3} पर निम्निष्ठ एवं x=\frac{6-\sqrt{3}}{3} पर उच्चिष्ठ
(2.)x=0 पर न्यूनतम मान=0,x=4 पर अधिकतम मान=160
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Maxima and Minima Class 12),अवकलन गणित में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Maxima and Minima Class 12),अवकलन गणित में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 (Maxima and Minima Class 12) मानों की गणना करने में
अवकलज की संकल्पना का प्रयोग करेंगे।वास्तव में हम एक फलन के आलेख के वर्तन
बिन्दुओं (Turning Points) को ज्ञात करेंगे और इस प्रकार उन बिन्दुओं को ज्ञात करेंगे