Linear Independence in Linear Algebra

Mathematics Satyam November 9, 2022 Abstract Algebra No Comments

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1 1.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence):

1.1 2.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता के साधित उदाहरण (Linear Independence in Linear Algebra Solved Examples):

1.2 3.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Independence in Linear Algebra):

1.2.1 4.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

1.2.2 प्रश्न:1.एकघाती स्वतन्त्रता को परिभाषित करो। (Define Linear Independent):

1.2.3 प्रश्न:2.एकघाती आश्रितता को परिभाषित करो। (Define Linear Dependent):

1.2.4 प्रश्न:3.एकघाततः स्वतन्त्र किस पर निर्भर करता है? (Linear Independent Depends on):

1.2.4.1 Linear Independence in Linear Algebra

2 रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra)

2.1 Linear Independence in Linear Algebra

1.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence):

Linear Independence in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra)तथा एकघाती आश्रितता सदिशों के बारे में अध्ययन करेंगे।एकघाती स्वतन्त्रता तथा एकघाती आश्रितता की परिभाषा तथा सदिश एकघाती स्वतन्त्र हैं या एकघाती परतन्त्र है,यह ज्ञात करना सीखेंगे।
प्रमेय (Theorem):1.किसी सदिश समष्टि V(F) के अशून्य सदिशों का समुच्चय $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ एकघाततः आश्रित (परतन्त्र) होगा यदि और केवल यदि जब कोई एक $v_{k}$ अपने पूर्ववर्ती सदिशों का एकघात संचय हो,जहाँ $2 \leq k \leq n$
(The set of non-zero vectors $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ of a vector space V(F) is linearly dependent iff some $v_{k},2 \leq k \leq n$ is a linear combination of the preceding ones.)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Conditions)
माना कि सदिश $v_1, v_2, \ldots v_n$ एकघाततः परतन्त्र (आश्रित) हैं तथा 2 और n के मध्य k वह पहला पूर्णांक है जिसके लिए $v_1, v_2, \ldots v_k$ एकघाततः आश्रित हैं।यहाँ k का मान ज्यादा से ज्यादा n हो सकता है।तब अदिशों अर्थात् $\alpha$ -ओं का कोई उपयुक्त समुच्चय (जिसमें सभी $\alpha$ शून्य नहीं हों) निम्न प्रकार होगाः

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\ldots+\alpha_k v_{k}=0$
$\alpha^{\prime} s$ के कोई मान हों परन्तु $\alpha_{k} \neq 0$ यदि ऐसा होगा तो $v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}$ का एकघाततः आश्रितता का सम्बन्ध प्राप्त होगा जो कि k की परिभाषा का खण्डन करता है।अतः

$v_k=\frac{-\alpha_1}{\alpha_k} v_1+\frac{-\alpha_2}{\alpha_k} v_2+\cdots+\frac{-\alpha_{k-1}}{\alpha_k}v_{k-1}$
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Conditions)
यदि सदिश $v_{k}$ अपने पूर्ववर्ती सदिशों का एकघात संचय है तब

$v_k=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_{k-1} v_{k-1} \forall \alpha_1, \alpha_2, \alpha_{k-1} \in F \\ \Rightarrow \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\ldots+\alpha_{k-1} v_{k-1}+(-1) V_k=0 \ldots(1)$
जिनमें कम से कम एक गुणांक (-1) है जो कि अशून्य है,अतः $v_1, v_2, \ldots v_k$ एकघाततः आश्रित हैं।
पुनः (1) सेः

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+(-1) v_k+\alpha_{k+1} v_{k+1}+\cdots+\alpha_n v_n=0$
जहाँ $\alpha_{k+1}=\alpha_{k+2}=\ldots=\alpha_n=0$
जिसमें $v_1, v_2, \ldots, v_n$ के सभी गुणांक शून्य नहीं है।
अतः $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ एकघाततः आश्रित हैं।
प्रमेय (Theorem):2.सदिशों का कोई समुच्चय जिसमें कम से कम एक शून्य सदिश हो एकघाततः परतन्त्र होता है।
(A set of vectors which at least one zero vector is L.D.)
उपपत्ति (Proof):माना कि $S=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ किसी समष्टि V(F) के सदिशों का एक समुच्चय है जिसका एक अवयव $v_{i}=0$ तब

$0 v_1+0 v_2+\cdots+1 v_i+\cdots+0 v_n=0+0+0+\ldots+1.0+\ldots+0=0$
जहाँ $1,0 \in F$ फील्ड F के इकाई तथा शून्य अदिश हैं तथा यह भी स्पष्ट है कि फलतः समुच्चय S एकघाततः परतन्त्र है।
प्रमेय (Theorem):3.सदिशों के एकघाततः स्वतन्त्र समुच्चय का प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय भी एकघाततः स्वतन्त्र होता है।
(Every non-empty subset of a L.I. set of vectors is also L.I.)
उपपत्ति (Proof):मान लो कि $S=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ सदिश समष्टि V(F) के सदिशों का एकघाततः स्वतन्त्र समुच्चय है तब फील्ड F के ऐसे अवयव $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ विद्यमान होंगे कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \\ \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\cdots \alpha_n=0$
यदि S का एक अरिक्त उपसमुच्चय $S_{1}=\left\{v_{1,} v_2, \ldots, \ldots, v_m \right\}$ जहाँ $1 \leq m \leq n$
तो उपसमुच्चय S, के एकघाततः स्वतन्त्र होने के लिए ऐसे अदिश विद्यमान होने चाहिए कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_m v_m=0 \cdots(1)$
जहाँ $\alpha_1=\alpha_2=\ldots =\alpha_m=0$
अब (1) को निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैंः

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_m v_m+0 v_{m+1}+\ldots+0 v_n=0 \cdots(2)$
अब क्योंकि $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ एकघाततः स्वतन्त्र हैं इसलिए (2) में प्रत्येक अदिश गुणांक शून्य होना चाहिए अर्थात् $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_m=0$
अतः उपसमुच्चय S भी एकघाततः स्वतन्त्र है।
प्रमेय (Theorem):4.यदि v सदिशों $\left\{v_1 v_1, v_2, \ldots ; v_n\right\}$ के समुच्चय का एकघात संचय हो तो समुच्चय $\left\{v_1 v_1, v_2, \ldots ; v_n\right\}$ एकघाततः परतन्त्र होता है।
(If v is a linear combination of the set of vectors $\left\{v_1 v_1, v_2, \ldots ; v_n\right\}$ then the set $\left\{v_1 v_1, v_2, \ldots ; v_n\right\}$ is linearly dependent.)
उपपत्ति (Proof):यहाँ $v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n+\alpha_i \in F \\ \Rightarrow \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n+(-1) v=0$
क्योंकि इससे स्पष्ट है कि अन्तिम पूर्णांक (-1) शून्य से भिन्न है,अतः $v_1, v_2, \ldots, v_n$ एकघाततः आश्रित (परतन्त्र) होते हैं।
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2.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता के साधित उदाहरण (Linear Independence in Linear Algebra Solved Examples):

Example:1.प्रदर्शित कीजिए कि निम्न सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैंः
(Prove that the following vectors are L.I.):
Example:1(i).(3,1,5),(2,1,3)
Solution:मान लो $\alpha_1,\alpha_2 \in R$ ऐसे दो अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1(3,1,5)+\alpha_2(2,1,3)=0 \\ \Rightarrow \left(3 \alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_1+\alpha_2, 5 \alpha_1+3 \alpha_2\right)=(0,0,0) \\ 3 \alpha_1+2 \alpha_2=0 \ldots(1) \\ \alpha_1+\alpha_2=0 \ldots(2) \\ 5 \alpha_1+3 \alpha_2=0 \ldots(3)$
(1),(2),(3) को हल करने परः

$\alpha_1=\alpha_2=0$
फलतः $\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2=0 \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
Example:1(ii).(1,2,3),(3,-2,0)
Solution:मान लो कि $\alpha_1, \alpha_2 \in R$ ऐसे दो अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,2,3)+\alpha_2(3,-2,0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+3 \alpha_2, 2 \alpha_1-2 \alpha_2, 3 \alpha_1\right)=(0,0,0)\\ \alpha_1+3 \alpha_2=0 \ldots(1) \\ 2 \alpha_1-2 \alpha_2=0 \ldots(2) \\ 3 \alpha_1=0 \quad \Rightarrow \alpha_1=0 \\ \alpha_2 =0 \\ \alpha_1=\alpha_2=0$
इसलिए दिए हुए सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
Example:1(iii).(0,1,2),(1,-1,1),(2,-2,2),(2,1,-4)
Solution:(0,1,2),(1,-1,1),(2,-2,2),(2,1,-4)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,\alpha_4 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0 \\ \alpha_1(0,1,2)+\alpha_2(1,-1,1)+ \alpha_3 (2,-2,2) +\alpha_4(2,1,-4)=0 \\ \left(\alpha_2+2 \alpha_3+2 \alpha_4, \alpha_1-\alpha_2-2 \alpha_3+ \alpha_4, 2 \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3-4 \alpha_4\right)=(0,0,0) \\ \alpha_2+2 \alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(1) \\ \alpha_1-\alpha_2-2 \alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(2) \\ 2 \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3-4 \alpha_4=0 \ldots(3)$
(2) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 2 \alpha_1-2 \alpha_2-4 \alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(4) \\ 2 \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3-4 \alpha_4=0 \ldots(3)\\ - \quad - \quad - \quad \quad + \quad \quad \text{घटाने परः}\\ \hline \end{array} \\ -3 \alpha_2-6 \alpha_3+6 \alpha_4=0 \\ -\alpha_2-2 \alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(5) \\ \alpha_2+2 \alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(1) \\ \frac{\alpha_2}{-4-4}=\frac{\alpha_3}{-2+2}=\frac{\alpha_4}{-2+2} \\ \alpha_1=4 k, \alpha_2=-8 k, \alpha_3=0, \alpha_4=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:1(iv).(1,1,-2),(2,-3,5),(-2,1,4)
Solution:(1, 1,-2),(2,-3,5),(-2,1,4)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,1,-2)+\alpha_2(2,-3,5)+ \alpha_3 (-2,1,4)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+2 \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_1-3 \alpha_2+ \alpha_3, -2 \alpha_1+5 \alpha_2+4 \alpha_3\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \alpha_1+2 \alpha_2-2 \alpha_3=0 \ldots(1) \\ \alpha_1-3 \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(2) \\ -2 \alpha_1+5 \alpha_2+4 \alpha_3=0 \ldots(3)$
(1) में से (2) घटाने परः

$5 \alpha_2-3 \alpha_3=0 \ldots(4)$
(2) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 2 \alpha_1-6 \alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(5) \\ -2 \alpha_1+5 \alpha_2+4 \alpha_3=0 \ldots(3) \text { जोड़ने पर }\\ \hline \end{array} \\-\alpha_2+6 \alpha_3=0 \ldots(6)$
(4) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 10 \alpha_2-6 \alpha_3=0 \ldots(7) \\ -\alpha_2+6 \alpha_3=0 \ldots(6) \text { जोड़ने पर }\\ \hline \end{array} \\9 \alpha_2=0 \Rightarrow \alpha_2=0 \\ \alpha_3=0 \\ \alpha_2,\alpha_3$ का मान (1) में रखने परः

$\alpha_2, \alpha_3 \\ \alpha_1=0 \\ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
Example:1(v).(0,1,-2),(1,-1,1),(1,2,1)
Solution:(0,1,-2),(1,-1,1),(1,2,1)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(0,1,-2)+\alpha_2(1,-1,1)+ \alpha_3 (1,2,1)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3,-2 \alpha_1+ \alpha_2 +\alpha_2\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(1) \\ \alpha_1-\alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ -2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(3)$
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने परः

$\begin{array}{ll} 2 \alpha_1-2 \alpha_2+4 \alpha_3=0 \ldots(4)\\ -2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(3) \text { जोड़ने पर }\\ \hline \\ -\alpha_2+5 \alpha_3 =0 \ldots(5) \\ \alpha_2+\alpha_3 =0 \ldots(1) \text { जोड़ने पर }\\ \hline \end{array} \\ 6 \alpha_3=0 \Rightarrow \alpha_3=0$
(5) से: $\alpha_2=0$

(2) से : $\alpha_1=0 \\ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
Example:1(vi).(1,1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,3)
Solution:(1,1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,3)
मान लो $\alpha_{1}, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,1,0,0)+\alpha_2(0,1,-1,0)+ \alpha_3 (0,0,0,3)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2,-\alpha_2, \alpha_3\right)=(0,0,0,0) \\ \alpha_1=0 \ldots(1) \\ \alpha_1+\alpha_2=0 \ldots(2) \\ -\alpha_2=0 \ldots(3) \\ \alpha_3=0 \ldots(4)$
(1),(2),(3),(4) को हल करने परः

$\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।

Linear Independence in Linear Algebra

Example:2.सिद्ध कीजिए कि निम्न सदिशों का समुच्चय एकघाततः परतन्त्र हैंः
(Prove that the set of the following vectors is L.D.):
Example:2(i).(1,0,-1),(2,1,3),(-1,0,0),(1,0,1)
Solution:(1,0,-1),(2,1,3),(-1,0,0),(1,0,1)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in R$ कि ऐसे चार अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0 \\ \Rightarrow \alpha_{1}(1,0,-1)+ \alpha_2(2,1,3) +\alpha_3(-1,0,0)+ \alpha_4(1,0,1)=(0,0,0)\\ \Rightarrow \left(\alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3+\alpha_4, 2 \alpha_2+\alpha_4,-\alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_4\right)=(0,0,0) \\ \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3+ \alpha_4 =0 \ldots(1) \\ 2 \alpha_2+2 u=0 \ldots(2) \\ -\alpha_1+3 \alpha_2+ \alpha_{4}=0 \cdots(3)$
(2) व (3) सेः
$\alpha_1+\alpha_2=0 \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2 \\ \alpha_1=\alpha_2 (1)$ में रखने परः

\begin{array}{ll} 3 \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(4)\\ -\alpha_1+3 \alpha_2+\alpha_4=0 \ldots(3)  \text { जोड़ने पर }\\ \hline \end{array} \\ \frac{\alpha_1}{1-3}=\frac{\alpha_3}{-1-3}= \frac{\alpha_4}{9+1} \\ \Rightarrow \frac{\alpha_1}{-2}=\frac{\alpha_3}{-4}=\frac{\alpha_4}{10} \\ \Rightarrow \frac{\alpha_1}{-1} =\frac{\alpha_3}{-2}=\frac{\alpha_{4}}{5} \\ \alpha_{1}=-k, \alpha_{3}=2k,\alpha_{4}=5k

(1) में रखने परः $\alpha_{2}=-k \\ \alpha_1=-k, \alpha_2=-k, \alpha_3=2 k, \alpha_4=5 k$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(ii).(1,2,3),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Solution:(1,2,3),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in R$ कि ऐसे चार अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0 \\ \Rightarrow \alpha_1\left(1,2,3\right)+ \alpha_2(1,0,0)+\alpha_3(0,1,0)+\alpha_4(0,0,1)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+\alpha_2, 2 \alpha_1 +\alpha_3, 3 \alpha_1+\alpha_{4}\right)=(0,0,0) \\ \alpha_1+\alpha_2=0 \ldots(1) \\ 2 \alpha_1+\alpha_3 =0 \ldots(2) \\ 3 \alpha_1+\alpha_4=0 \ldots(3)$
(1) से (2) व (3) में मान रखने परः

$\begin{array}{ll} -2 \alpha_2+\alpha_3+0 \cdot \alpha_4=0 \cdots(4) \\ 3 \alpha_2+0 \cdot \alpha_3 +\alpha_4=0 \ldots(5) \\ \hline \end{array} \\ \frac{\alpha_2}{1-0}=\frac{\alpha_3}{0+2}= \frac{\alpha_4}{0+3} \\ \frac{\alpha_2}{1-0}=\frac{\alpha_3}{2}=\frac{\alpha_{4}}{3} \\ \alpha_2=k, \alpha_3=2 k, \alpha_4=3 k$
(1) सेः $\alpha_1=-k \\ \alpha_1=-k, \alpha_2=k, \alpha_3=2k, \alpha_4=3 k$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(iii).(1,2,-3),(2,-1,1),(-1,8,-11)
Solution:(1,2,-3),(2,-1,1),(-1,8,-11)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow\alpha_1(1,2,-3)+\alpha_2(2,-1,1) +\alpha_3 (-1,8,-11) =(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3, 2 \alpha_1-\alpha_2+8 \alpha_3,-3 \alpha_1+\alpha_2-11 \alpha_3\right)=\left(0,0,0\right) \\ \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3=0 \ldots(1) \\ 2 \alpha_1-\alpha_2+8 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ -3 \alpha_1+\alpha_2-11 \alpha_3=0 \ldots(3)$
(2) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 4 \alpha_1-2 \alpha_2+16 \alpha_3=0 \ldots(4) \\ \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3=0 \ldots(1) \text { जोड़ने पर } \\ \hline \\ 5 \alpha_1+15 \alpha_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1+3 \alpha_3=0 \ldots(5) \\ 2 \alpha_1-\alpha_2+8 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ -3 \alpha_1+\alpha_2-11 \alpha_3=0 \ldots(3) \text { जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ -\alpha_1-3 \alpha_3=0 \ldots(6) \\ \alpha_1+3 \alpha_3=0$
माना $\alpha_1=-6, \alpha_3=2$
(1) सेः $\alpha_2=4 \\ \alpha_1=-6,\alpha_2=4,\alpha_3=2$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(iv).(3,0,-3),(-1,1,2),(4,2,-2),(2,1,1)
Solution:(3,0,-3),(-1,1,2),(4,2,-2),(2,1,1)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in R$ कि ऐसे चार अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(3,0,-3)+\alpha_2 (-1,1,2) +\alpha_3(4,2,-2)+ \alpha_4(2,1,1)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(3 \alpha_1-\alpha_2+4 \alpha_3+2 \alpha_4, \alpha_2+2 \alpha_3+\alpha_4-3 \alpha_1+2 \alpha_2-2 \alpha_3+\alpha_4\right)=(0,0,0) \\ 3 \alpha_1-\alpha_2+4 \alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(1) \\ \alpha_2+2 \alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(2) \\ -3 \alpha_1+2 \alpha_2-2 \alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(3)$
(1) व (3) को जोड़ने परः

$\alpha_2+2 \alpha_3+3 \alpha_4=0 \ldots(4) \\ \alpha_2+2 \alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(2)$
(4) व (2) को हल करने परः

$\frac{\alpha_2}{2-6}=\frac{\alpha_3}{3-1}=\frac{\alpha_4}{2-2} \\ \Rightarrow \frac{\alpha_2}{-4}= \frac{\alpha_3}{2} =\frac{\alpha_4}{0} \\ \Rightarrow \frac{\alpha_2}{-2}=\frac{\alpha_3}{1}=\frac{\alpha_{4}}{0} \\ \alpha_2=-2 k, \alpha_3=k, \alpha_4=0$
(1) सेः $\alpha_1=-2 k, \alpha_2=-2 k, \alpha_3=k, \alpha_{4}=0$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(v).(0,2,-4),(1,-2,-1),(1,-4,3)
Solution:(0,2,-4),(1,-2,-1),(1,-4,3)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0\\ \Rightarrow \alpha_1(0,2,-4)+\alpha_2(1,-2,-1)+ \alpha_3(1,-4,3) =(0,0,0)\\ \Rightarrow \left(\alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1-2 \alpha_2-4 \alpha_3,-4 \alpha_1, \alpha_2+3 \alpha_3\right)=(0,0,0)\\ \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(1)\\ 2 \alpha_1-2 \alpha_2-4 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ -4 \alpha_1-\alpha_2+3 \alpha_3=0 \ldots(3)$
(1) व (2) सेः

$2 \alpha_1+2 \alpha_2=0 \Rightarrow \alpha_1+\alpha_2=0\ldots(4)$
(1) व (3) सेः

$-4 \alpha_1-u \alpha_2 \Rightarrow \alpha_1+\alpha_2=0$
माना $\alpha_1=1$ तो $\alpha_2=-1 \\ \alpha_3=1$
अतः $\alpha_1=1, \alpha_2=-1, \alpha_3=1$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(vi).(1,3,2),(1,-7,-8),(2,1,-1)
Solution:(1,3,2),(1,-7,-8),(2,1,-1)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,3,2)+\alpha_2(1,-7,-8)+ \alpha_3 (2,1,-1) =(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3, 3 \alpha_1-7 \alpha_2+ \alpha_3, 2 \alpha_1-8 \alpha_2-\alpha_3\right)=(0,0,0) \\ \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(1) \\ 3 \alpha_1-7 \alpha_2+\alpha_3=0 \ldots(2) \\ 2 \alpha_1-8 \alpha_2-\alpha_3=0 \ldots(3)$
(2) को 2 से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 6 \alpha_1-14 \alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(4) \\ \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(1) \\ - \quad \quad - \quad \quad - \text { घटाने परः}\\ \hline \end{array}\\ 5\alpha_1-15 \alpha_2=0 \\ \Rightarrow \alpha_1-3 \alpha_2=0 \ldots(5)$
(2) व (3) को जोड़ने परः

$5 \alpha_1-15 \alpha_2=0 \\ \alpha_1-3 \alpha_2=0$
माना $\alpha_1=3$ अतः $\alpha_2=1$
(1) सेः $\alpha_3=-2 \\ \alpha_1=3, \alpha_2=1, \alpha_3=-2$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(vii).(1,2,1),(3,1,5),(3,-4,7)
Solution:(1,2,1),(3,1,5),(3,-4,7)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R$ कि ऐसे तीन अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,2,1)+\alpha_2(3,1,5)+\alpha_3 (3,-4,7)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(\alpha_1+3 \alpha_2+3 \alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2-4 \alpha_3, \alpha_1+5 \alpha_2+7 \alpha_3\right)=(0,0,0) \\ \alpha_1+3 \alpha_2+3 \alpha_3=0 \ldots(1) \\ 2 \alpha_1+ \alpha_2-4 \alpha_3=0 \ldots(2) \\ \alpha_1+5 \alpha_2+1 \alpha_3=0 \ldots(3)$
(1) को (2) से गुणा करने परः
$\begin{array}{ll} 2 \alpha_1+6 \alpha_2+6 \alpha_3=0 \ldots(4) \\ 2 \alpha_1+\alpha_2-4 \alpha_3 =0 \ldots(2) \\ - \quad \quad - \quad \quad + \text { घटाने परः}\\ \hline \end{array}\\ 5 \alpha_2+10 \alpha_3=0 \\ \alpha_2+2 \alpha_3=0 \ldots(5)$
(1) में से (3) घटाने परः

$-2 \alpha_2-4 \alpha_3=0 \\ \alpha_2+2 \alpha_3=0$
माना $\alpha_2=2$ अतः $\alpha_3=-1$
(1) सेः $\alpha_1=-3 \\ \alpha_1=-3, \alpha_2=2, \alpha_3=-1$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:2(viii).(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(1,-1,-1,0),(2,1,1,6)
Solution:(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(1,-1,-1,0),(2,1,1,6)
मान लो $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_{4} \in R$ कि ऐसे चार अदिश विद्यमान हैं कि

$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_{4}=0 \\ \Rightarrow \alpha_1(1,1,2,4)+\alpha_2 (2,-1,-5,2)+ \alpha_3 (1,-1,-1,0) +\alpha_4(2,1,1,6)=(0,0,0,0) \\ \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3+2 \alpha_4 =0 \cdots(1) \\ \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3+\alpha_4=0 \cdots(2) \\ 2 \alpha_1-5 \alpha_2-\alpha_3+ \alpha_4 =0 \cdots(3) \\ 4 \alpha_1+2 \alpha_2+6 \alpha_4=0 \cdots(4)$
(1) में से (2) घटाने परः

$3 \alpha_2+2 \alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(5)$
(3) को 2 से गुणा करके (3) को घटाने परः

$3 \alpha_2-\alpha_3+\alpha_4=0 \ldots(6)$
(3) को 2 से गुणा करके (4) को घटाने परः

$6 \alpha_2+\alpha_3+2 \alpha_4=0 \ldots(7)$
(6) को 2 से गुणा करके (5) में जोड़ने परः

$3 \alpha_2+\alpha_{4}=0 \ldots(8)$
(6) व (7) को जोड़ने परः

$3 \alpha_2+\alpha_{4}=0 \ldots(9)$
माना $\alpha_2=1$ अतः $\alpha_4=-3$
(5) सेः $\alpha_3=0$

(1) सेः $\alpha_1=4 \\ \alpha_1=4, \alpha_2=1, \alpha_3=0, \alpha_4=-3$
अतः दिए हुए सदिश एकघाततः परतन्त्र हैं।
Example:3.एकल समुच्चय {v} एकघाततः स्वतन्त्र होता है यदि और केवल यदि $v \neq 0$
(The singleton set {v} is L.I. iff $v \neq 0$ )
Solution:माना $S=\{\alpha\}$ सदिश समष्टि का उपसमुच्चय है।तथा माना $\alpha$ शून्य सदिश नहीं है। यदि a कोई अदिश है तब
$a \alpha=0$ परन्तु $\alpha \neq 0$
अतः a=0
अतः समुच्चय S एकघाततः स्वतन्त्र है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता पर आधारित सवाल (Questions Based on Linear Independence in Linear Algebra):

Linear Independence in Linear Algebra

प्रदर्शित कीजिए कि निम्न सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैंः
(Prove that the following vectors are L.I.):
(1.)(1,2,1),(2,1,0),(1,-1,2)
(2.)(1,1,2),(1,2,5),(5,3,4)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रश्न:1.एकघाती स्वतन्त्रता को परिभाषित करो। (Define Linear Independent):

उत्तर:यदि फील्ड F पर सदिश समष्टि है एवं S, V का एक सीमित अशून्य उपसमुच्चय है अर्थात् $S=\left\{v_1, v_2, \ldots ,v_{n}\right\}$ तब S को एकघाततः स्वतन्त्र कहेंगे यदि ऐसे अदिशों $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ का अस्तित्व है कि
$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \Rightarrow \alpha_{i}=0, i=1,2,\ldots, n$
अर्थात् उसके सदिशों का निरर्थक एकघाती संचय (जिसमें प्रत्येक अदिश गुणांक शून्य है) ही केवल एकमात्र ऐसा संचय है जो कि शून्य के बराबर है।

प्रश्न:2.एकघाती आश्रितता को परिभाषित करो। (Define Linear Dependent):

उत्तर:यदि V फील्ड F पर सदिश समष्टि है एवं S, V का एक सीमित अशून्य उपसमुच्चय है अर्थात् $S=\left\{v_1, v_2,\ldots, v_n\right\}$ तब S को एकघाततः आश्रित कहते हैं यदि ऐसे अदिशों $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ का अस्तित्व है कि $\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0$ तथा समस्त शून्य नहीं है।

प्रश्न:3.एकघाततः स्वतन्त्र किस पर निर्भर करता है? (Linear Independent Depends on):

उत्तर:एकघाती स्वतन्त्र केवल सदिशों पर ही निर्भर नहीं करता है किन्तु फील्ड पर भी निर्भर करता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता (Linear Independence in Linear Algebra),एकघाती स्वतन्त्रता और एकघाती आश्रितता (Linear Independence and Linear Dependence) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Linear Independence in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में एकघाती स्वतन्त्रता
(Linear Independence in Linear Algebra)