1.गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric and Arithmetic Progression),समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11):

Geometric and Arithmetic Progression

गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric and Arithmetic Progression) के इस आर्टिकल से पूर्व हम समान्तर व गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद और पदों का योगफल का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों द्वारा इन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी के साधित उदाहरण (Geometric and Arithmetic Progression Solved Examples):

Example:1.किसी समान्तर श्रेणी का pवाँ,qवाँ,rवाँ पद क्रमशः a,b,c हैं तो सिद्ध कीजिए
(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0
Solution: a_{n}=A+(n-1) d \\ a_{p}=A+(p-1) d=a \\ \Rightarrow a_{p}=A+p d-d=a \cdots(1) \\ a_{q}=A+(q-1) d=b \\ \Rightarrow a q=A+q d-d=b \cdots(2) \\ a_{r}=A+(r-1) d=c \\ \Rightarrow a_r=A+r d-d=c \cdots(3) \\ (q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0
L.H.S. (q-r) a+(r-p) b+(p-q) c
(1),(2) व (3) से a,b,c के मान रखने परः
(A+pd-d) (q-r) +(A+qd-d) (r-p)+(A+rd-d) (p-q)
=Aq-Ar+pqd-prd-qd+rd+Ar-Ap+qrd-pqd-rd+pd+Ap-Aq+prd-qrd-pd+qd
=0=R.H.S.
Example:2.यदि a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right),b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) समान्तर श्रेणी में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं।
Solution: a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right),b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः 2 b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \\ \Rightarrow \frac{2 b}{c}+\frac{2 b}{a}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\\ \Rightarrow \frac{2 a b+2 b c}{a c}=\frac{a^2 c+a^2 b+b c^2+a c^2}{a b c}\\ \Rightarrow 2 a b^2+2 b^2 c=a^2 c+a^2 b+b c^2+a c^2\\ \Rightarrow 2 a b^2+2 b^2 c=a^2 c+a c^2+a^2 b+b c^2\\ \Rightarrow 2 a b^2+2 b^2 c+2 a b c=a^2 c+a c^2+a^2 b+b c^2+2 abc\\ \Rightarrow 2 b(a b+b c+a c)= ac(a+c)+b\left(a^2+c^2+2 a c\right)\\ \Rightarrow 2 b(a b+b c+a c)=a c(a+c)+b(a+c)^2\\ \Rightarrow 2 b(a b+b c+a c)=(a+c)(a c+a b+b c)\\ \Rightarrow 2 b=a+c
अतः a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं।
Example:3.यदि a,b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि \left(a^n+b^{n}\right), \left(b^n+c^n \right), \left(c^n+d^n\right) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Solution:a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं

a=a, b=a r, c=a r^{2}, d=a r^3 \cdots(1) \\ \left(a^n+b^{n}\right), \left(b^n+c^n\right), \left(c^n+ d^n\right) गुणोत्तर श्रेणी में होंगे यदि अर्थात्
सिद्ध करना हैः \left(b^n+c^n\right)^2=\left(a^n+b^n\right)\left(c^n+d^n\right)\\ \text { L.H.S. }\left(b^n+c^n\right)^2=\left[a^n r^n+a^n r^{2 n}\right]^2\\ =a^{2 n} r^{2 n}\left(1+r^n\right)^2 \\ \text { R.H.S. }=\left(a^n+b^n\right)\left(c^n+d^n\right)=\left(a^n+a^n r^n\right)\left(a^n r^{2 n}+a^n r^{3 n}\right) \\ =a^n\left(1+r^n\right) a^n r^{2 n}\left(1+r^n\right) \\ =a^{2 n} r^{2 n} \left(1+r^n \right)^2

L.H.S.=R.H.S.
Example:4.यदि x^2-3 x+P=0 के मूल a तथा b हैं तथा x^2-12 x+q=0 के मूल c तथा d हैं,जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं।सिद्ध कीजिए कि (q+p):(q-p)=17:15
Solution: x^2-3 x+P=0 के मूल a, b हैं
अतः ab=p… (1)
a+b=3 …. (2)
x^2-12 x+q=0 के मूल c,d हैं अतः
cd=q …. (3)
c+d=12 …. (4)
a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं अतः
a=a, b=a r, c=a r^2, d=a r^3 \cdots(5) \\ \frac{q+p}{q-p} =\frac{a b+c d}{c d-a b}  [(1) व (3) से] =\frac{a \cdot a r+a r^2 \cdot a r^3}{a r^2 \cdot a r^3-a \cdot a r} [(5) से]
=\frac{a^2 r\left(1+r^4\right)}{a^2 r(r^{4}-1)} \\ \frac{q+p}{q-p}=\frac{1+r^{4}}{r^{4}-1} \cdots(6)\\ \frac{c+d}{a+b}=\frac{a r^2+a r^3}{a+a r} [(5) से]
\frac{12}{3}=\frac{a r^2(1+r)}{a(1+r)}[(2) व (4) से]

4=r^2 \Rightarrow r=2
r का मान (6) में रखने परः

\frac{q+p}{q-p}=\frac{2^4+1}{2^4-1}\\ =\frac{17}{15}
(q+p):(q-p)=17:15
Example:5.दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समान्तर माध्य का अनुपात m:n है।दर्शाइए कि

a:b=\left(m+\sqrt{m^2-n^2}\right):\left(m-\sqrt{m^2-n^2}\right)
Solution:a व b का समान्तर माध्य=\frac{a+b}{2}
a व b का गुणोत्तर माध्य=\sqrt{a b}
प्रश्नानुसारः
\frac{\frac{a+b}{2}}{\sqrt{a b}}=\frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{a+b}{2 \sqrt{a b}}=\frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{a+b+2 \sqrt{a b}}{a+b-2 \sqrt{a b}}=\frac{m+n}{m-n} (योगान्तरानुपात से)
\Rightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{m+n}{m-n} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{a} +\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{m+n}{m-n}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+ \sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}} (योगान्तरानुपात से)

\Rightarrow \frac{2 \sqrt{a}}{2 \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}
वर्ग करने परः

\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{m+n+m-n+2 \sqrt{m^2-n^2}}{m+n+m-n-2 \sqrt{m^2-n^2}} \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{2 m+2 \sqrt{m^2-n^2}}{2 m-2 \sqrt{m^2-n^2}} \\ \Rightarrow \frac{a}{b}= \frac{2\left(m+\sqrt{m^2-n^2}\right)}{2\left(m-\sqrt{m^2-n^2}\right)} \\ \Rightarrow a : b=\left(m+ \sqrt{m^2-n^2}\right) : \left(m-\sqrt{m^2-n^2}\right)
Example:6.यदि a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में है तथा \frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e} समान्तर श्रेणी में है तो सिद्ध कीजिए कि a,c,e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Solution:a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं अतः
2b=a+c  …. (1)
b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं अतः

c^2=b d \\ \Rightarrow d=\frac{c^2}{b} \cdots(2) \\ \frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e} समान्तर श्रेणी में हैं
\frac{2}{d}=\frac{1}{c}+\frac{1}{e} \\ \frac{2}{\frac{c^2}{b}}=\frac{1}{c}+\frac{1}{e} [(2) से)]

\Rightarrow \frac{2 b}{c^2}=\frac{1}{c}+\frac{1}{e} \\ \Rightarrow \frac{a+c}{c^2}=\frac{c+e}{c e} \\ \Rightarrow a e+c e=c^2+c e \\ \Rightarrow c^2=a e
अतः a,c,e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Example:7.निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिएः
Example:7(i).5+55+555+…..
Solution:5+55+555+…..
S_n=5+55+555+………+n पदों तक
=\frac{5}{9}[9+99+999+…….+n पदों तक]
=\frac{5}{9}[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+……..+n पदों तक]
=\frac{5}{9}[(10+10^2+10^{3}+…….+n पदों तक)-(1+1+1+……..+n पदों तक)]
=\frac{5}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]\\ =\frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^n-1\right)}{9}-n\right] \\ S_n=\frac{50}{81}\left(10^n-1\right)-\frac{5 n}{9}
Example:7(ii)..6+.66+.666+…..n पदों तक
Solution:.6+.66+.666+…..n पदों तक
S_n=[.6+.66 t .666+……+n पदों तक]
=\frac{6}{9}[.9+.99+-999+……+n पदों तक]
=\frac{2}{3}[(1-.1)+(1-.01)+(1-.001)+……..+n पदों तक]
=\frac{2}{3}[(1+1+1+…….+n पदों तक)-(.1+.01+.001+………+n पदों तक)]
=\frac{2}{3}\left[n-\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots \text { n पदों तक }\right)\right] \\ =\frac{2}{3}\left[n-\frac{\left.\frac{1}{10}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^n\right)\right]}{1-\frac{1}{10}}\right] \\ =\frac{2}{3}\left[n-\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)}{\frac{9}{10}}\right] \\ =\frac{2}{3}\left[n-\frac{1}{9}\left(1-10^{-n}\right)\right] \\ \Rightarrow S_n=\frac{2}{3} n-\frac{2}{27}\left(1-10^{-n}\right)

Geometric and Arithmetic Progression

Example:8.श्रेणी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिएः
2×4+4×6+6×8+……+n पदों तक
Solution:2×4+4×6+6×8+……+n पदों तक

a_n =2 n(2 n+2) \\ a_{20} =2 \times 20(2 \times 20+2) \\ =40 \times 42 \\ \Rightarrow a_n =1680
Example:9.यदि S_{1}, S_{2}, S_{3} क्रमशः n प्राकृत संख्याओं का योग,उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है तो सिद्ध कीजिए कि 9 S_2^2=S_3\left(1+8 S_1\right)
Solution: S_1=\frac{n(n+1)}{2} \ldots(1) \\ S_2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \ldots(2) \\ S_3=\left[ \frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \cdots(3) \\ 9 S_2^2 =S_3\left(1+8 S_1\right) \\ \text { L.H.S. } 9 S_2^2 =9\left[\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\right]^2 \\ =\frac{9 n^2(n+1)^2(2 n+1)^2}{36} \\ \Rightarrow 9 S_2^2 =\frac{n^2(n+1)^2(2 n+1)^2}{4} \cdots(4) \\ \text { R.H.S. }=S_3\left(1+8 S_1\right)\\ \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\left[1+\frac{8 n(n+1)}{2}\right] \\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}[1+4 n(n+1)] \\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}\left[1+4 n^2+4 n\right] \\ \Rightarrow S_3\left(1+8 S_1\right)=\frac{n^2(n+1)^2(2 n+1)^2}{4} \cdots(5)
(4) व (5) सेः

S_2^2=S_3\left(1+8 S_1\right)
Example:10.निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिएः

\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+ \cdots
Solution: \frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+ \cdots \\ a_n =\frac{\Sigma n^3}{\Sigma(2 n-1)} \\ =\frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{\frac{2 n(n+1)}{2}-n} \\ =\frac{\frac{n^2 (n+1)^2}{4}}{n^{2}} \\ =\frac{(n+1)^2}{4} \\ a_n =\frac{1}{4}\left(n^2+2 n+1\right) \\ S_n =\Sigma a_n \\ =\frac{1}{4} \Sigma\left(n^2+2 n+1\right) \\=\frac{1}{4}\left[\Sigma n^2+2 \Sigma n+\Sigma 1\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{2 n(n+1)}{2}+n\right] \\ =\frac{n}{4}\left[\frac{2 n^2+3 n+1}{6}+n+1+1\right] \\ =\frac{n}{24}\left[2 n^2+3 n+1+6 n+12\right] \\ \Rightarrow S_n =\frac{n}{24}\left(2 n^2+9 n+13\right)
Example:11.दर्शाइए किः

\frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2+\cdots+n \times(n+1)^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3+\cdots+ n^2 \times(n \times 1)}=\frac{3 n+5}{3 n+1}
Solution: \frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2+\cdots+n \times(n+1)^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3+\cdots+n^2 \times(n \times 1)}=\frac{3 n+5}{3 n+1}\\ \text { R.H.S. }=\frac{3 n+5}{3 n+1}\\ n=1, \frac{3 \times 1+5}{3 \times 1+1}=\frac{8}{4}=2=\frac{1 \times 2^2}{1^2 \times 2}\\ n=2, \quad \frac{3 \times 2+5}{3 \times 2+1}=\frac{11}{7}=\frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2+\cdots+n \times(n+1)^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3+\cdots+n^2 \times(n \times 1)}=\frac{3 n+5}{3 n+1}
Example:12.कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को 12000 रुपये में खरीदता है और शेष राशि को 500 रुपये की वार्षिक किश्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है।किसान को ट्रेक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?
Solution:नकद भुगतान=6000
किश्तों में भुगतान=12×500=6000
प्रथम किश्त के समय ब्याज का भुगतान=\frac{6000 \times 1 \times 12}{100}=720
द्वितीय किश्त के समय ब्याज का भुगतान =\frac{5500 \times 1 \times 12}{100}=660
तृतीय किश्त के समय ब्याज का भुगतान=\frac{5000 \times 1 \times 12}{100}=600 \\ a=720, d=-60, n=12 \\ S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{12} =\frac{12}{2}[2 \times 720+(12-1) \times-60] \\ =\frac{12}{2}[1440-660] \\ =\frac{12}{2} \times 780 \\ \Rightarrow S_{12} =4680
किसान को ट्रैक्टर की कुल कीमत देनी पड़ेगी=6000+6000+4680
=16680 रुपये
Example:13.शमशाद अली 22000 रुपये में एक स्कूटर खरीदता है।वह 4000 रुपये नकद देता है शेष राशि को 1000 रुपये वार्षिक किश्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है।उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?
Solution:नकद भुगतान=4000
किश्तों में भुगतान=18×1000=18000
प्रथम किश्त के समय ब्याज का भुगतान=\frac{18000 \times 1 \times 10}{100}=1800
द्वितीय किश्त के समय ब्याज का भुगतान=\frac{17000 \times 1 \times 10}{100}=1700
तृतीय किश्त के समय ब्याज का भुगतान=\frac{16000 \times 1 \times 10}{100}=1600
a=1800, d=1600-1700=-100, n=18 \\ S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n+1) d] \\ S_{18} =\frac{18}{2}[2 \times 1800+(18-1) \times(-100)] \\ =\frac{18}{2}[3(400-1700]\\ =9 \times 1900=17100
शमशाद को स्कूटर के लिए कुल राशि चुकानी पड़ेगी=4000+18000+17100
=39100 रुपये
Example:14.एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है।वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है तथा उनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करनेवाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रृंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।
Solution:गुणोत्तर श्रेणी हैं।

a=4, r=\frac{16}{4}=4, n=8\\ S_n=\frac{a\left(r^2-1\right)}{r-1}=\frac{4\left(4^8-1\right)}{4-1}\\ =\frac{4 \times 65535}{3}=87380
डाक खर्च=87380 \times \frac{50}{100}=43690 रुपये
Example:15.एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रुपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया।जब रकम बैंक में जमा की गई तब से,15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गई, ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रथम वर्ष का ब्याज=\frac{10,000 \times 1 \times 5}{100}=500
द्वितीय वर्ष का ब्याज=\frac{10,000 \times 1 \times 5}{100}=500
500,500,500,…….
a=500, \quad d=0, \quad n=14 \\ S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{14}=\frac{14}{2}[2 \times 500+(14-1) \times 0] \\ S_{14}=7 \times 1000=7000
15वें वर्ष में कुल राशि=10000+7000=17000

S_{20} =\frac{20}{2}[2 \times 500+(20-1) \times 0] \\ =\frac{20}{2} \times 2 \times 500=10000
20 वर्ष बाद कुल राशि=10000+10000=20000
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric and Arithmetic Progression),समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) को समझ सकते हैं।

3.गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी की समस्याएँ (Geometric and Arithmetic Progression Problems):

Geometric and Arithmetic Progression

(1.)दो कारें एक ही स्थान से एक ही दिशा में एक साथ चलना प्रारम्भ करती हैं।पहली कार 10 किमी प्रति घण्टे की एक समान चाल से चलती है जबकि दूसरी कार प्रथम घण्टे में 8 किमी प्रति घण्टे की चाल से चलती है तथा प्रत्येक अग्रवती घण्टे में अपनी चाल \frac{1}{2} किमी से बढ़ाती है।यदि दोनों कारें बिना रुके चलती रहें, तो कितने समय बाद दूसरी कार पहली से आगे निकल जाएगी?
(2.)एक व्यक्ति की प्रथम वर्ष में आय 300000 रुपये है तथा उसकी 10000 रुपए प्रति वर्ष उन्नीस वर्षों तक बढ़ती है तो उसके द्वारा 20 वर्षों में प्राप्त आय ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) 9 घण्टे (2.)7900000 रुपये
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric and Arithmetic Progression),समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric and Arithmetic Progression),समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

गुणोत्तर श्रेढ़ी और समान्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression and Arithmetic Progression) के
इस आर्टिकल से पूर्व हम समान्तर व गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद और पदों का योगफल का
अध्ययन कर चुके हैं।