1.युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients):

Simultaneous Linear Differential Equations

युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations) को हल करने की दो विधियाँ हैं।पहली प्रतीकात्मक विधि (Symbolic Method) तथा दूसरी अवकलन विधि (Differentiation Method)।इस आर्टिकल में इन विधियों के द्वारा युगपत रैखिक अवकल समीकरणों को हल करेंगे।

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2.युगपत रैखिक अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Simultaneous Linear Differential Equations Solved Examples):

निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following simultaneous differential equations):
Example:1. \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}-4 x-y=e^t ; \frac{d x}{d t}+3 x+y=0
Solution: 2 \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}-4 x-y=e^t \\ \frac{d x}{d t}+3 x+y=0 .\\ (2 D-4) x+(D-1) y=e^t \cdots(1) \\ (D+3) x+y=0 \cdots(2)
समीकरण (1) को (D-1) से संक्रिया करने पर:
\left.\begin{matrix} (2 D-4) x+(D-1) y=e^t \ldots(1) \\ (D-1)(D+3) x+(D-1) y=0 \ldots(3) \\ -  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \text{घटाने पर }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ (2 D-4) x-(D-1)(D+3) x=e^t \\ (2 D-4) x-\left(D^2+2 D-3\right) x=e^t \\ \Rightarrow \left(2 D-4-D^2-2 D+3\right) x=e^t \\ \Rightarrow\left(-D^2-1\right) x=e^t \\ \Rightarrow\left(D^2+1\right) x=-e^t \ldots(4)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+1 =0 \\ \Rightarrow m =\pm i \\ \text{C.F.}=C_1 \cos t+C_{2} \sin t \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^2+1}\left(-e^t\right) \\ =-e^t \cdot \frac{1}{1^2+1} \\ =-\frac{1}{2} e^t
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=C_1 \cos t+C_2 \sin t-\frac{1}{2} e^{t} \ldots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-C_1 \sin t+C_2 \cos t-\frac{1}{2} e^{t}
x तथा \frac{dx}{dt} का मान समीकरण (2) में रखने पर:

-C_1 \sin t+C_2 \cos t-\frac{1}{2} e^t+3\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t-\frac{1}{2} e^t\right)+y=0 \\ \Rightarrow -C_1 \sin t+C_2 \cos t-\frac{1}{2} e^t+3 C_1 \cos t+3 C_2 \sin t-\frac{3}{2} e^t+y=0 \\ \Rightarrow y=\left(C_1-3 C_2\right) \sin t-\left(C_2+3 C_1\right) \cos t+2 e^t \\ x=C_1 \cos t+C_2 \sin t-\frac{1}{2} e^t
Example:2. 2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d z}{d x}-4 y=2 x ; 2 \frac{d y}{d x}+4 \frac{d z}{d x}-3 z=0
Solution: 2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d z}{d x}-4 y=2 x ; 2 \frac{d y}{d x}+4 \frac{d z}{d x}-3 z=0 \\ \left(2 D^2-4\right) y-D z=2 x \cdots(1) \\ 2 D y+(4 D-3)z=0 \cdots (2)
समीकरण (1) को (4D-3) से तथा समीकरण (2) को D से संक्रिया करने पर:
(4 D-3)\left(2 D^2-4\right) y-D(4 D-3) z=2(4 D-3) x \\ \left.\begin{matrix} \Rightarrow(4 D-3)\left(2 D^2-4\right) y-D(4 D-3) z=8-6 x \cdots(3) \\2 D^2 y+D(4 D-3) z=0 \ldots(4) \\ \text{ जोड़ने पर: } \\ \hline \end{matrix}\right. \\ (4 D-3)\left(2 D^2-4\right)y+2 D^2 y=8-6 x\\ \Rightarrow \left(8 D^3-16 D-6 D^2+12+2 D^2\right) y=8-6 x \\ \Rightarrow \left(8 D^3-4 D^2-6 D+12\right) y=8-6 x \\ \Rightarrow 4\left(2 D^3-D^2-4 D+3\right) y=8-6 x \\ \left(2 D^3-D^2-4 D+3\right) y=2-\frac{3}{2} x \cdots(5)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

2 m^3-m^2-4m+3=0\\ \Rightarrow 2 m^3-2 m^2+m^2-m-3 m+3=0\\ \Rightarrow 2 m^2(m-1)+m(m-1)-3(m-1)=0\\ \Rightarrow(m-1)\left(2 m^2+m-3\right)=0\\ \Rightarrow(m-1)\left[2 m^2+3 m-2 m-3\right]=0\\ \Rightarrow(m-1)[m(2 m+3)-1(2 m+3)]=0\\ \Rightarrow(m-1)(m-1)(2 m+3)=0\\ \Rightarrow (m-1)^2(2 m+3)=0\\ \Rightarrow m=1,1,-\frac{3}{2}\\ \text{C.F.}=\left(C_1+C_2 x\right) e^x+C_3 e^{-\frac{3}{2} x}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(2 D^3-D^2-4 D+3\right)}\left(2-\frac{3 x}{2}\right)\\ =\frac{1}{\left(2 D^3-D^2-4 D+3\right)} e^{0 \cdot x}-\frac{3}{6\left(1+\frac{2 D^3-D^2-4 D}{3}\right)} x \\ =\frac{2}{2(0)^3-0^2-4(0)+3}-\frac{1}{2}\left[1+\frac{2 D^3-D^2-4 D}{3} \right]^{-1}x \\ =\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 D^3-D^2-4 D}{3}+\cdots \right) x \\ =\frac{8}{3}-\frac{1}{2}\left(x+\frac{4}{3}\right) \\ =-\frac{1}{2} x
अब (5) का व्यापक हल होगा:

y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x+C_3 e^{-\frac{3 x}{2}}-\frac{1}{2} x \cdots(6)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=C_2 e^x+\left(C_1+C_2 x\right) e^x-\frac{3}{2} C_3 e^{-\frac{3x}{2}}-\frac{1}{2}x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2}=2 C_2 e^x+\left(C_1+C_2 x\right) e^x+\frac{9}{4} C_3 e^{-\frac{3}{2} x}
(2) में (1) से Dz का मान रखने पर:

2 D y+4\left[\left(2 D^2-4\right) y-2 x\right]-3 z=0 \\ \Rightarrow 3 z=2 D y+8 D^2 y-16 y-8 x
y, Dy तथा का मान रखने पर:

z=\frac{2}{3} C_2 e^x+\frac{2}{3}\left(C_1+C_2 x\right) e^x- C_3 e^{-\frac{3}{2} x}-\frac{1}{3} +\frac{16}{3} C_2 e^x+\frac{8}{3}\left(C_1+C_2 x\right) e^x+6 C_3 e^{-\frac{3}{2} x} -\frac{16}{3}\left(C_1+C_2 x\right) e^x-\frac{16}{3} e^{-\frac{3 x}{2}}+\frac{8}{3} x-\frac{8}{3} x \\ \Rightarrow z=2\left(3 C_2-C_1-C_2 x\right) e^x-\frac{1}{3} e^{-\frac{3}{2} x}-\frac{1}{3}
Example:3. \frac{d^2 x}{d t^2}+4 x+y=t z^{3 t};\frac{d^2 y}{d z^2}+y-2 x=\cos ^2 t
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}+4 x+y=t e^{3 t} \\ \frac{d^2 y}{d t^2}+y-2 x=\cos ^2 t \\ \left(D^2+4\right) x+y=t e^{3 t} \cdots(1) \\ -2 x+\left(D^2+1\right) y=\cos ^2 t \cdots(2)
समीकरण (1) को \left(D^2+1\right) से संक्रिया करने पर:
\left(D^2+1\right)\left(D^2+4\right) x+\left(D^2+1\right) y=\left(D^2+1\right) t e^{3 t} \\ \left.\begin{matrix} \Rightarrow \left(D^2+5 D^2+4\right) x+\left(D^2+1\right) y=6 e^{3 t}+10 t e^{3 t} \ldots(3) \\ -2 x+ \quad \quad \quad \quad \left(D^2+1\right) y=\cos ^2 t \ldots(2) \\ + \quad \quad \quad \quad \quad - \quad \quad \quad - \text{घटाने पर }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ \left(D^4+5 D^2+4+2\right) x=6 e^{3 t}+10 t e^{3 t}-\cos ^2 t \\ \Rightarrow \left(D^4+5 D^2+6\right) x=6 e^{3 t}+10 t e^{3 t}-\frac{1}{2} \cos 2 t-\frac{1}{2} \cdots(4)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^4+5 m^2+6=0 \\ \Rightarrow m^4+3 m^2+2 m^2+6=0 \\ \Rightarrow m^2\left(m^2+3\right) +2\left(m^2+3\right)=0 \\ \Rightarrow \left(m^2+3\right)\left(m^2+2\right)=0 \\ \Rightarrow m^2+3=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{3} i \\ \Rightarrow m^2+2=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{2} i \\ \Rightarrow m=\pm \sqrt{3} i, \pm \sqrt{2} i \\ \text{C.F.}= C_1 \cos \sqrt{3} t+C_2 \sin \sqrt{3} t+C_2 \cos \sqrt{2} t+C_4 \sin \sqrt{2} t \\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(D^4+5 D^2+6\right)}\left(6 e^{3 t}+10 t e^{3 t}-\frac{1}{2} \cos 2 t-\frac{1}{2}\right)\\ =6 \cdot \frac{1}{\left(D^4+5 D^2+6\right)} e^{3 t}+10 \cdot \frac{1}{D^4+5 D^2+6} t e^{3 t}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{D^4+5 D^2+6} \cos 2t -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{D^4+5 D^2+6} e^{0 \cdot t}\\ =6 e^{3 t} \cdot \frac{1}{3^4+5 \times 3^2+6}+10 e^{3 t} \cdot \frac{1}{(D+3)^4+5(D+3)^2+6} t-\frac{1}{2}\cos 2 t \cdot \frac{ 1}{(2 i)^4+5(2 i)^{2}+6} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(0)^4+5 (0)^2+6} \\ =\frac{6 e^{3 t}}{81+45+6}+10 e^{3 t} \cdot \frac{1}{D^4+12 D^3+59 D^2+138 D+132} t-\frac{1}{2} \frac{\cos 2 t}{16-20+6} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}\\ =\frac{6 e^{3 t}}{132}+\frac{10 e^{3 t}}{132}\left(1+\frac{D^4+12 D^3+59 D^2+138 D}{132}\right)^{-1}t-\frac{\cos 2 t}{4}-\frac{1}{12} \\ =\frac{1}{22} e^{3 t}+\frac{5}{66} e^{3 t}\left[1-\frac{D^4+12 D^3+59 D^2+138 D}{132}+ \cdots \right] t-\frac{1}{4} \cos 2 t-\frac{1}{12}\\=\frac{1}{22} e^{3 t}+\frac{5}{66} e^{3 t}\left(t-\frac{138}{132}\right)-\frac{1}{4} \cos 2 t-\frac{1}{12} \\ =\frac{1}{22} e^{3 t}+\frac{5}{66} t e^{3 t}-\frac{115}{1452} e^{3 t}-\frac{1}{4} \cos 2 t-\frac{1}{12} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{49}{1452} e^{3 t}+\frac{5}{66} t e^{3 t}-\frac{1}{4} \cos 2 t-\frac{1}{12}
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=C_1 \cos \sqrt{3} t+C_2 \sin \sqrt{3} t+C_3 \cos \sqrt{2} t+C_4 \sin \sqrt{2} t-\left(\frac{49}{1452}\right) e^{3 t}+\left(\frac{5}{66}\right) t e^{3 t}-\frac{1}{4} \cos 2 t-\frac{1}{12} \cdots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t} =-\sqrt{3} C_1 \sin (\sqrt{3} t)+\sqrt{3} C_2 \cos (\sqrt{3} t) - \sqrt{2} C_3 \sin (\sqrt{2} t)+\sqrt{2} C_1 \cos (\sqrt{2} t) -\frac{37}{1452} e^{3 t}+\frac{5}{22} t e^{3 t}+\frac{1}{2} \sin 2 t
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 x}{d t^2}=-3 C_1 \cos (\sqrt{3} t)-3 C_2 \sin (\sqrt{3} t)+2 C_3 \cos (\sqrt{2} t)-2 C_4 \sin (\sqrt{2} t) +\frac{73}{484} e^{3 t}+\frac{15}{22} t e^{3 t}+\cos 2 t
समीकरण (1) में x तथा \frac{d^2 x}{d t^2} का मान रखने पर:

-3 C_1 \cos (\sqrt{3} t)-3 C_2 \sin (\sqrt{3} t)-2 C_3 \cos (\sqrt{2} t) -2 C_1 \sin (\sqrt{2} t)+\frac{73}{484} e^{3 t}+\frac{15}{22} t e^{3 t}+\cos 2 t +4 C_1 \cos (\sqrt{3} t)+4 C_2 \sin (\sqrt{3} t)+ 4 C_3 \cos (\sqrt{2} t)+4 C_4 \sin (\sqrt{2} t) -\frac{49}{363} e^{3 t}+\frac{10}{33} t e^{3 t}-\cos 2 t-\frac{1}{3}+y=t e^{3 t} \\ \Rightarrow y=-C_{1} \cos (\sqrt{3} t)-C_2 \sin (\sqrt{3} t) - 2 C_{3} \cos (\sqrt{2} t)-2 C_{4} \sin (\sqrt{2} t)+\left(\frac{1}{66}\right) t e^{3 t}-\left(\frac{23}{1452}\right) e^{3 t}+\frac{1}{3}
Example:4. \frac{d x}{d t}-x+y=t^2 ; \frac{d x}{d t}-\frac{d y}{d t}+x=t
Solution: \frac{d x}{d t}-x+y=t^2 \\ \frac{d x}{d t}-\frac{d y}{d t}+x=t \\ (D-1) x+y=t^2 \cdots(1) \\ (D+1) x-D y=t \cdots(2)
समीकरण (1) को D से संक्रिया करने पर:
\left.\begin{matrix} D(D-1) x+D y=2 t \ldots(3) \\ (D+1) x-D y=t \ldots(2) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{जोड़ने पर }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ D(D-1)x+(D+1)x=3t \\ \Rightarrow \left(D^2-D +D+1\right) x=3 t \\ \Rightarrow \left(D^2+1\right) x=3 t \ldots(4)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+1=0 \Rightarrow m=\pm i\\ \text { C.F. }=C_{1} \cos t+C_{2} \sin t\\ \text { P.I. }=\frac{1}{D^2+1} 3 t\\ =3\left(1+D^2\right)^{-1} t\\ =3\left(1-D^2+\cdots\right) t\\ \Rightarrow \text { P.I. }=3 t
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=C_1 \cos t+C_2 \sin t+3 t \cdots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-C_{1} \sin t+C_{2} \cos t+3
x तथा \frac{d x}{d t} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

Simultaneous Linear Differential Equations

Example:5. \frac{d x}{d t}+2 x=t ; \frac{d y}{d t}-2 x=\frac{1}{t}
Solution: \frac{d x}{d t}+2 x=t ; \frac{d y}{d t}-2 x=\frac{1}{t} \\ (D+2) x=t \cdots (1) \\ -2 x+D y=\frac{1}{t} \cdots (2)
(1) का सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m+2=0 \Rightarrow m=-2 \\ \text{C.F.}=C_{1} e^{-2 t} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D+2} t \\ =\frac{1}{2}\left(1+\frac{D}{2}\right)^{-1} t\\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{2}+\cdot \cdot\right) t\\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)
अब (1) का व्यापक हल होगा:

x=C_{1} e^{-2 t}+\frac{1}{2} t-\frac{1}{4}
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:

-2 C_{1} e^{-2 t}-t+\frac{1}{2}+D y=\frac{1}{t}\\ \Rightarrow D y=\frac{1}{t}+2 C_{1} e^{-2 t}+t-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow y=\int \frac{1}{t} d t+2 C_{1} \int e^{-2 t} d t+\int t d t-\int \frac{1}{2} d t +C_{2}\\ \Rightarrow y=-C_1 e^{-2 t}+C_2+\frac{1}{2} t^2-\frac{1}{2} t+\log t
Example:6. 4 \frac{dx}{dt} +9 \frac{d y}{d t}+2 x+31 y=e^t ;3 \frac{d x}{d t}+7 \frac{d y}{d t}+x+24 y=3
Solution:4 \frac{dx}{dt} +9 \frac{d y}{d t}+2 x+31 y=e^t ;3 \frac{d x}{d t}+7 \frac{d y}{d t}+x+24 y=3 \\ (4 D+2) x+(9 D+31) y=e^t \cdots(1) \\ (3 D+1) x+(7 D+24) y=3 \cdots(2)
समीकरण (1) को (3D+1) तथा (2) को (4D+2) से संक्रिया करने पर:
(3 D+1)(4 D+2) x+(3 D+1)(9 D+31) y =(3 D+1) e^t \\ \left.\begin{matrix} \Rightarrow(3 D+1)(4 D+2) x+(3 D+1)(9 D+31) y=4 e^{t} \cdots(3)\\ (3 D+1)(4 D+2) x+(4 D+2)(7 D+24) y=6 \cdots(4) \\ - \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\quad \quad \quad \quad \quad \quad - \text { घटाने पर }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow(3 D+1)(9 D+31)-(4 D+2)(7 D+24)] y=4 e^t-6 \\ \Rightarrow\left(D^2+8 D+17\right) y=-4 e^t+6 \cdots(5)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+8 m+17=0\\ m=\frac{-8 \pm \sqrt{(8)^2-4 \times 1 \times 17}}{2 \times 1} \\ =\frac{-8 \pm \sqrt{64-68}}{2} \\ = \frac{-8 \pm \sqrt{-4}}{2} \\ =\frac{-8 \pm 2 i}{2} \\ m =-4 \pm i \\ \text{C.F.} =e^{-4 t}(C_{1} \cos t+C_{2} \sin t) \\ \text{P.I.} =\frac{1}{\left(D^2+8 D+17\right)}\left(-4 e^t+6\right) \\ =-4 \frac{1}{D^2+8 D+17} e^t+\frac{6}{D^2+8 D+17} e^{0 \cdot t} \\ =\frac{-4 e^t}{(1)^2+8 \times 1+17}+\frac{6}{0^2+8 \times 0+17} \\ =-\frac{4 e^t}{26}+\frac{6}{17} \\ \Rightarrow \text {P.I.}=-\frac{2}{13} e^t+\frac{6}{17}
अब (5) का व्यापक हल होगा:

y=e^{-4 t}(C_{1} \cos t+C_{2} \sin t)+\frac{6}{17}-\frac{2}{13} e^t \cdots(6)
(6) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dy}{dt}=-4 e^{-4 t}\left(C_1 \cos t+C_{2} \sin t\right)-e^{-4 t} \left(-C_1 \sin t+C_2 \cos t\right)-\frac{2}{13} e^t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=e^{-4t}[\left(-4 C_1+C_2\right) \cos t+\left(-4 C_2-C_1\right) -\sin t]-\frac{2}{13} e^t
(1) को 3 से व (2) को 4 से गुणा करके घटाने परः

\left.\begin{matrix} 12 D x+6 x+27 D y+93 y=3 e^t \cdots(7) \\ 12 D x+4 x+28 D y+96 y=12 \cdots(8) \\ - \quad \quad -\quad \quad - \quad \quad -\quad \quad -\text{घटाने परः }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ 2 x-D y-3 y=3 e^t-12 \cdots(9)
y तथा \frac{dy}{dt} का मान समीकरण (9) में रखने पर:

2 x+e^{-4 t}\left[ \left(4 C_{1}-C_2\right) \cos t+\left(4 C_2+C_1\right) \sin t\right]+\frac{2}{13} e^t-3 e^{-4 t}(C_{1} \cos t +C_{2} \sin t)-\frac{18}{17}+\frac{6}{13} e^t=3 t^t-12 \\ x=\frac{1}{2} e^{-4 t}\left[-\left(C_1+C_{2}\right) \sin t+\left(C_2-C_{1}\right) \cos t\right]+\left(\frac{31}{26}\right) e^{t}-\frac{93}{17}
Example:7. \frac{d^2 x}{d t^2}-2\frac{dy}{dt}-x=e^t \cos t ; \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2 \frac{d x}{d t}-y=e^t \sin t
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}-2\frac{dy}{dt}-x=e^t \cos t ; \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2 \frac{d x}{d t}-y=e^t \sin t \\ \left(D^2-1\right) x+(-2 D y)=e^t \cos t \cdots(1) \\ 2 D x+\left(D^2-1\right) y=e^t \sin t \cdots(2)
समीकरण (1) \left(D^2-1\right) को तथा (2) को 2D से संक्रिया करने पर:
\left.\begin{matrix} \left(D^2-1\right)\left(D^2-1\right) x-2 D\left(D^2-1\right) y=\left(D^2-1\right) e^t \cos t \\ \left(D^4-2 D^2+1\right) x-2 D\left(D^2-1\right) y=-2 e^t \sin t-e^t \cos t \\ 4 D^2 x+2 D\left(D^2-1\right) y=2 e^{t} \sin t+2 e^t \cos t \cdots(4) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \text{जोड़ने पर: }\\ \hline \end{matrix}\right. \\ \left(D^4-2 D^2+1+4 D^2\right) x=e^{t} \cos t \\ \left(D^4+2 D^2+1\right) x=e^t \cos t \cdots (5)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^4+2 m^2+1=0\\ \left(m^2+1\right)^2=0\\ \Rightarrow m=\pm i, \pm i\\ \text{C.F.}=\left(C_1 +C_2 t\right) \cos t+\left(C_3+C_4 t\right) \sin t\\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^4+2 D^2+1}\left(e^t \cos t\right)\\ =e^t \frac{1}{(D+1)^4+2(D+1)^{2}+1} \cos t\\ =e^t \cdot \frac{1}{D^4+4 D^3+8 D^2+8 D+4} \cos t \\ =e^t \cdot \frac{1}{(i)^4+4 D(i)^2+8(i)^2+8 D+4} \cos t \\ =e^t \cdot \frac{1}{1-4 D-8+8 D+4} \cos t \\ =e^t \frac{1}{4 D-3} \cos t \\ =e^t \cdot \frac{(4 D+3)}{16 D^2-9} \cos t \\ =e^t-\frac{4 \sin t+3 \cos t}{-16-9} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{25} e^{t} \left ( 4 \sin t-3 \cos t \right )
अब (5) का व्यापक हल होगा:

x=\left(C_1+C_2 t\right) \cos t+\left(C_3+C_4 t\right) \sin t+\left(\frac{1}{25} \right)e^{t} (4 \sin t-3 \cos t) \cdots(6)
(6) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\left(C_4-C_{1}-C_2 t\right) \sin t+\left(C_2+C_3+C_{4} t\right) \cos t+\frac{1}{25} e^t(7 \sin t+\cos t)
पुनः अवकलन करने पर:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\left(2 C_4-C_1-C_2 t\right) \cdot \cos t-\left(2 C_{2}+C_3+C_{4}t\right) \sin t +\frac{1}{25} e^t(6 \sin t+8 \cos t)\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\left(2 C_4-C_1-C_2 t\right) \cdot \cos t-\left(2 C_{2}+C_3+C_{4}t\right) \sin t +\frac{1}{25} e^t(6 \sin t+8 \cos t)
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^{3} x}{d t^{3}}=\left(-3 C_2-C_3-C_4 t\right)^3 \cos t+\left(-3 C_4+C_1+C_2 t\right) \sin t+\frac{1}{25} e^t(14 \cos t-2 \sin t)
(1) को D से संक्रिया करने तथा (2) को 2 से गुणा करके जोड़ने पर:

\left.\begin{matrix}\frac{d^3 x}{d t^3}-2 \frac{d^2 y}{dt^2}-\frac{d x}{d t}=e^t \cos t-e^{t} \sin t \ldots(7) \\ 4 \frac{d x}{d t}+2 \frac{d^2 y}{dt^2}-2 y=2 e^t \sin t \cdots(8) \\ \hline \end{matrix}\right. \\ \frac{d^{3}x}{dt^{3}}+3 \frac{d x}{d t}-2 y=e^t \cos t+e^t \sin t
\frac{d^{3}x}{dt^{3}} तथा \frac{d x}{d t} का मान में रखने पर:

\left(-3C_2-C_3-C_{4} t\right) \cos t+\left(-3 C_4+C_1+C_2 t\right) \sin t +\frac{1}{25} e^t\left(14 \cos t-2 \sin t\right)+\left(3C_4-3C_{1}-3 C_2 t\right) \sin t+\left(3 C_2+3 C_3 t+3C_4 t\right) \cos t+\frac{3}{25} e^{t}(7 \sin t+\cos t) -2 y=e^t \cos t+e^t \sin t \\ \Rightarrow y=-\left(C_1+C_2 t\right) \sin t+\left(C_3+C_4 t\right) \cos t -\left(\frac{1}{25}\right) \cdot e^{t}(3 \sin t+4 \cos t)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

3.युगपत रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Simultaneous Linear Differential Equations):

Simultaneous Linear Differential Equations

निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following simultaneous differential equations):

(1) D x+5 x+y=e^t, D y-x+3 y=e^{2 t} whene D \equiv \frac{d}{dt}

(2) \frac{d x}{d t}=3 x-y, \frac{d y}{d t}=x+y where D \equiv \frac{d}{dt}
उत्तर (Answers): (1.) x=(C_{1} t+C_{2}) \cdot e^{-4 t}+\left(\frac{4}{25}\right) e^t-\left(\frac{1}{36}\right) e^{2 t} \\ y=-(C_{1} t+C_{1}+C_{2}) e^{-4 t}+\left(\frac{9}{25}\right) \cdot e^t+\left(\frac{1}{12}\right) e^{2 t}

(2.) x=\left(C_1 t+C_1+C_2\right) e^{2 t} ; y=\left(C_{1} t+C_2\right) e^{2 t}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations) को हल
करने की दो विधियाँ हैं।पहली प्रतीकात्मक विधि (Symbolic Method) तथा दूसरी अवकलन
विधि (Differentiation Method)।