1.कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11),गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11):

Geometric Progression in Class 11

कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11) कहते है यदि कोई पद अपने पिछले पद से एक अचर अनुपात में बढ़ता है।इस अचर गुणांक को सार्व अनुपात कहते हैं।साधारणतः हम गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद को a तथा सार्व अनुपात r से सांकेतिक करते हैं।
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2.कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी के साधित उदाहरण (Geometric Progression in Class 11 Solved Examples):

Example:1.अनुक्रम 2,4,8,16,32 तथा 128,32,8,2,\frac{1}{2} के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
Solution:2×128,4×32,8×8,16×2,32×\frac{1}{2}
=256,128,64,32,16
a=256, r=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\\ S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\\ =\frac{256 \left[\left(\frac{1}{2}\right)^5-1\right]}{\frac{1}{2}-1}\\ =\frac{256\left[\frac{1}{32}-1\right]}{-\frac{1}{2}}\\ =25\left(\frac{1-32}{32}\right)\\ =256 \times \frac{-31}{32} \times-\frac{2}{1}\\ \Rightarrow S_{n}=496
Example:2.दिखाइए कि अनुक्रम a, a r, a r^2, \ldots \ldots a r^{n-1} तथा A, A R, A R^2, \ldots AR^{n-1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution: a \times A, a r \times AR, a r^2 \times AR^{2}, \ldots \ldots a r^{n-1} \times A R^{n-1} \\ \Rightarrow a A, aArR, aAr^{2}R^{2}, \ldots \ldots , a A r^{n-1}R^{n-1}
सार्व अनुपात=\frac{a A r R}{a A} \\ =r R
Example:3.ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो,जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
Solution: T_n=a r^{n-1} \\ T_3=a r^2=a+9 \ldots(1) \\ T_2=a r=a r^3+18 \ldots(2)
(1) से: a r^2-a=9 \\ a\left(r^2-1\right)=9 \cdots(3)
(2) से: a r-a r^3=18 \\ -a r\left(r^2-1\right)=18 \cdots(4)
(4) में (3) का भाग देने पर:

-\frac{a r\left(r^2-1\right)}{a\left(r^2-1\right)}=\frac{18}{9} \\ \Rightarrow-r=2 \Rightarrow r=-2
r का मान समीकरण (1) में रखने पर:

a(-2)^2=a+9 \\ \Rightarrow 4 a-a=9 \\ \Rightarrow 3 a=9 \\ \Rightarrow a=3
गुणोत्तर श्रेणी के चार पद:3,-6,12,-24
Example:4.यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ,qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a,b तथा c हो तो सिद्ध कीजिए कि a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}=1
Solution: T_p=A R^{p-1}=a \cdots(1) \\ T_q=A R^{q-1}=b \cdots(2) \\ T_r=A R^{r-1}=c \cdots(3) \\ a^{q-r}=(A R^{p-1})^{q-r}\\ \Rightarrow a^{q-r}=A^{q-r} R^{(p-1)(q-r)} \cdots(4)\\ b^{r-p}=\left(A R^{q-1}\right)(r-p)\\ \Rightarrow b^{r-p}=A^{r-p} R^{(q-1)(r-p)} \cdots(5)\\ c^{p-q}=\left(A R^{r-1}\right)^{p-q}\\ \Rightarrow c^{p-q}=A^{p-q} R^{(r-1)(p-q)} \cdots(6)
(4),(5),(6) को गुणा करने पर:

\Rightarrow a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}=A^{q-r} R^{(p-1)(q-r)} A^{r-p}\\ R^{(q-1)(r-p)} \cdot A^{p-q} R^{(r-1)(p-q)}\\ =a^{q-r+r-p+p-q} R^{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}\\ =A^0 R^{p q-p r-q+r+q r-p q-r+p+r p-q r-p+q}\\ =A^0R^{0}\\ \Rightarrow a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}=1
Example:5.यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं एवं P,n पदों का गुणनफल हो तो सिद्ध कीजिए कि p^2=(a b)^n

Solution:-A=a,T_n=A r^{n-1}=b \\ \Rightarrow a r^{n-1}=b \\ \Rightarrow r^{n-1}=\frac{b}{a} \\ \Rightarrow r=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}} \\ A \times A r \times A r^2 \times A r^3 \times \cdots \times A r^{n-1}=P \\ \Rightarrow a \times a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}} \times a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{n-1}} \times a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{n-1}} \ldots \ldots \times a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n-1}{n-1}}=P \\ \Rightarrow a^{1+1+1+1 \cdots+n \text{}}\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}+\frac{2}{n-1}+\frac{3}{n-1}+\cdots+\frac{n-1}{n-1}}=P \\ \Rightarrow a^n\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}} =P \\ \Rightarrow a^n\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n(n-1)}{2(n-1)}} =P \\ \Rightarrow a^n\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n}{2}}=P \\ \Rightarrow a^{\frac{n}{2}} \cdot b^{\frac{n}{2}}=P \\ \Rightarrow(a b)^{\frac{n}{2}}=P \\ \Rightarrow p^2=(a b)^n
Example:6.दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n+1)वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात \frac{1}{r^{n}} है।
Solution:गुणोत्तर श्रेणी: a, a r, a r^2, a r^3, a r^4, \ldots \ldots ,a r^{n-1}
(n+1)वाँ पद से 2nवाँ पद:

a r^n, a r^{n+1}, a r^{n+2}, \ldots, a r^{2 n-1}
प्रश्नानुसार: S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \cdots(1)
(n+1) से 2nवें पद तक का योगः

S_{2 n}=\frac{a r^n\left[r^n-1\right]}{r-1} \cdots(2) \\ \frac{S_n}{S_{2 n}}=\frac{\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}}{\frac{a r^n\left(r^n-1\right)}{r-1}} \\ \Rightarrow \frac{S_n}{S_{2 n}}=\frac{1}{r^{n}}
Example:7.यदि a,b,c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)=(a b+b c+c d)^2
Solution:a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं अतः

L.H.S.=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right) \\ =\left(a^2+a^2 r^2+a^2 r^4\right) \left(a^2 r^2+a^2 r^4+a^2 r^6\right) \\ =a^2\left(1+r^2+r^4\right) \cdot a^2 r^2\left(1+r^2+ r^4\right) \\=a^4 r^2\left(1+r^2+r^4\right)^2

R.H.S.=\left(a b+b c+cd\right)^2 \\ =\left(a \cdot a r+a r \cdot a r^2+a r^{2} \cdot a r^{3}\right)^2 \\ =\left(a^2 r+a^2 r^3+a^2 r^{5}\right)^2 \\ =a^4 r^2\left(1+r^2+r^4\right)^2

L.H.S.=R.H.S.

Geometric Progression in Class 11

Example:8.ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 और 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
Solution:3 तथा 81 के बीच दो संख्याएँ G_{1},G_{2} इस प्रकार हैं कि 3,G_{1},G_{2},81 गुणोत्तर श्रेणी है।
इस प्रकार r=\left(\frac{81}{3}\right)^{\frac{1}{2+1}} \\ r=(27)^{\frac{1}{3}}=3 \\ G_1=a r=a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}=3 \times 3=9 \\ \Rightarrow G_1=9 \\ G_2=a r^2 \\ =a\left(\frac{b}{a} \right)^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow G_2= 3 \times 3^2=27
अतः ऐसी दो संख्याएँ:9,27
Example:9.n का मान ज्ञात कीजिए ताकि \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}, a,b के बीच गुणोत्तर श्रेणी हो।
Solution: \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}=\sqrt{a b}\\ \Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1}= a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}\left(a^n+b^n\right)\\ \Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1}=a^{\frac{2 n+1}{2}} b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2 n+1}{2}}\\ \Rightarrow a^{n+1}-a^{\frac{2 n+1}{2}} b^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2 n+1}{2}}-b^{n+1}\\ \Rightarrow a^{\frac{2 n+1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{2 n+1}{b^2}\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\\ \Rightarrow \frac{a^{2 n+1}}{b^{\frac{2 n+1}{2}}}=1 \\ \Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{2 n+1}{2}}=1
यह तभी संभव है जबकि

\frac{2 n+1}{2}=0 \\ \Rightarrow 2 n+1=0 \Rightarrow n=-\frac{1}{2}
Example:10.दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3+2 \sqrt{2}) : (3-2 \sqrt{2}) के अनुपात में हैं।
Solution:माना संख्याएँ a,b हैं।
a+b=6 \sqrt{a b} \\ \Rightarrow \frac{a+b}{2 \sqrt{a b}}=3 \\ \Rightarrow \frac{a+b+2 \sqrt{a b}}{a+b-2 \sqrt{a b}}=\frac{3+1}{3-1} (योगान्तरानुपात से)

\Rightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{4}{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{\sqrt{a} +\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^{2}=\frac{2}{1}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2}}{1} \\ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} (योगान्तरानुपात से)

\Rightarrow \frac{2 \sqrt{a}}{2 \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\ \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः

\Rightarrow \frac{a}{b}=\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^2 \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{2+1+2 \sqrt{2}}{2+1-2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow a : b=(3+2 \sqrt{2}) : (3-2 \sqrt{2})
Example:11.यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समान्तर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)} हैं।
Solution:माना दो धनात्मक संख्याएँ a व b हैं तथा इनके बीच समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य क्रमशः  A तथा G हैं।
A=\frac{a+b}{2}  तथा G=\sqrt{a b} \\ \Rightarrow a+b=2 A तथा G^2=a b \cdots(1)
अब वह समीकरण जिसके मूल a व b हैं,होगी
x^2-(a+b) x+a b=0 \\ \Rightarrow x^2-2 A x+G^2=0 [(1) से]

\Rightarrow x=A \pm \sqrt{A^2-G^2}
अतः संख्याएँ a=A+\sqrt{A^2-G^2}
एवं b=A-\sqrt{A^2-G^2}
Example:12.किसी कल्चर बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे पश्चात् दुगुनी हो जाती है यदि प्रारम्भ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे,चौथे तथा nवें घंटों बाद क्या होगी?
Solution:बैक्टीरिया पहले घंटे बाद 60,दूसरे घंटे बाद 120,इसी प्रकार आगे भी बैक्टीरिया की संख्या होगीः
30,60,120,240….
दूसरे घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या=120
चौथे घंटे बाद बैक्टीरिया =480
nवें बाद बैक्टीरिया की संख्या 

T_{n+1}=a\left(r\right)^n \\ T_{n+1}=30(2)^n
Example:13.500 रुपए की धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी,ज्ञात कीजिए।
Solution:500 की धनराशि 10% वार्षिक ब्याज पर निम्न प्रकार हो जाएगी
500,550,605,….

a=500, r=\frac{550}{500}=1.1, n=11 \\ T_n=a r^{n-1} \\ \Rightarrow T_{11}=500(1.1)^{11-1} \\ \Rightarrow T_{11}=500(1.1)^{10}
Example:14.यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समान्तर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 और 5 हैं तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना द्विघात समीकरण के मूल a और b हैं तो द्विघात समीकरण:

\frac{a+b}{2}=8  तथा  \sqrt{a b}=5

(a+b)=16  तथा a b=25…..(1)

द्विघात समीकरण के मूल a और b हैं

x^2-(a+b) x+a b=0 \\ \Rightarrow x^2-16 x+25=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11),गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी पर आधारित सवाल (Questions Based on Geometric Progression in Class 11):

Geometric Progression in Class 11

(1.)यदि a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए:

a\left(b^2+c^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)
(2.)यदि b और  c के मध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य G_{1},G_{2} हैं तो सिद्ध कीजिए:

G_1^3+G_2^3=2 a b c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11),गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11),गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 11 में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Class 11) कहते है यदि कोई पद
अपने पिछले पद से एक अचर अनुपात में बढ़ता है।इस अचर गुणांक को सार्व अनुपात कहते हैं।