1.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness):

Karl Pearson Coefficient of Skewness

विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness) समान्तर माध्य,मध्यका,बहुलक तथा प्रमाप विचलन पर निर्भर करता है।यह माप समंक श्रेणी के माध्यों की स्थिति पर निर्भर करता है।एक विषम आवृत्ति वितरण में समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक के मूल्य समान नहीं होते हैं।इन माध्यों के मध्य अन्तर जितना अधिक होगा,वितरण उतना ही अधिक विषम होगा।यह माप धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।निरपेक्ष माप को प्रमाप विचलन (S.D.) से विभाजित करने पर सापेक्ष माप ज्ञात किया जाता है।इस माप के निम्न सूत्र हैं:
(i)Skewness(SK)=Mean \overline{X}-Mode(Z)(निरपेक्ष माप)

(ii)Coefficient of Skewness(J)=\frac{Mean (\overline{X})-Mode(Z)}{\text{S.D.}(\sigma)}
यदि श्रेणी में बहुलक मूल्य का निर्धारण सम्भव न हो तो वैकल्पिक सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है जो कार्ल पियर्सन का द्वितीय माप (Second Measure of Skewness) कहलाता है।इसके सूत्र निम्नवत् हैं:
Skewness(SK)=3(Mean-Median)(निरपेक्ष मान)

Coefficient of Skewness(J)=\frac{3(Mean-Median)}{\text{S.D.}(\sigma)}
कार्ल पियर्सन का वैकल्पिक सूत्र (Alternative Formula) माध्यों के मध्य आनुपातिक सम्बन्ध (Empirical Relationship) =3 M-2 \overline{X} पर आधारित है।
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2.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Karl Pearson Coefficient of Skewness):

Example:1(a).समान्तर माध्य=45,मध्यका=48 तथा विषमता गुणक=-0.4 है तो प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Given, Median=48,Coefficient of Skewness=-0.4;estimate the value of the standard deviation):
Solution: \overline{X}=45, M=48, \quad J=-0.4, (S . D .) \sigma=? \\ J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ -0.4=\frac{3(45-48)}{\sigma} \\ \Rightarrow-0.4 \sigma=3 X-3 \\ \Rightarrow \sigma=\frac{9}{0.4} \\ \Rightarrow \sigma=22.5
Example:1(b).एक वितरण में समान्तर माध्य 15 रुपए तथा मध्यका 10 रुपए है।यदि विचरण गुणांक 70% हो तो कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक ज्ञात कीजिए।
(In a distribution the mean is Rs. 15 and median Rs. 10.If the coefficient variation is 70%,find the Karl Pearson’s coefficient of skewness.)
Solution: \overline{X}=15, M=10,विचरण-गुणांक (C. V.)=70%, J=?
विचरण-गुणांक (C.V.)=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ 70 \%=\frac{\sigma}{15} \times 100 \\ \Rightarrow \sigma=\frac{70 \times 15}{100}=10.5 \\ J =\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ \Rightarrow J =\frac{3(15-10)}{10.5} \\ =\frac{3 \times 5}{10.5} \\ \Rightarrow J =1.4285 \\ \Rightarrow J \approx 1.43
Example:1(c).एक वितरण का कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक +0.25 है,प्रमाप विचलन 6 तथा माध्य 24 है।वितरण का बहुलक एवं मध्यका ज्ञात कीजिए।
(Karl Pearson’s coefficient of skewness of a distribution is +0.25 and its S. D. is 6 and Mean is 24.Find the mode and median of the distribution.):
Solution: J=0.25, \sigma=6, \overline{X}=24 \\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.25=\frac{24-Z}{6} \\ \Rightarrow 0.25 \times 6=24-Z \\ \Rightarrow Z=24-1.5 \\ \Rightarrow Z=22.5 \\ J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.25=\frac{3(24-M)}{6} \\ \Rightarrow \frac{0.25 \times 6}{3}=24-M \\ \Rightarrow M=24-0.5 \\ \Rightarrow M=23.5
Example:1(d).उपर्युक्त वितरण (c) का बहुलक 18 हो तो प्रमाप विचलन क्या होगा?
(If the mode of the above distribution (c) is 18, what will be the S. D.?):
Solution: J=0.25, \overline{X}=24, Z=18, \sigma=? \\ J=\frac{\bar{X}-Z}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.25=\frac{24-18}{\sigma} \\ \Rightarrow \sigma=\frac{6}{0.25} \\ \Rightarrow \sigma=\frac{6}{25} \times 100 \\ \Rightarrow \sigma=+24
Example:1(e).यदि समान्तर माध्य 10,मध्यका 9 तथा कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक +0.3 है तो बहुलक, चतुर्थक विचलन तथा माध्य विचलन का सम्भावित मूल्य ज्ञात कीजिए।
(If arithmetic mean is 10,median 9 and Karl Pearson’s coefficient of skewness +0.3, find out estimated values of Mode,Quartile deviation & Mean deviation.):
Solution: J=+0.3, \overline{X}=10, M=9, \sigma=?, \text{Q.D.}=?, \text{M.D.}=?, Z=? \\ J= \frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.3=\frac{3(10-9)}{\sigma} \\ \Rightarrow \sigma=\frac{3 \times 1}{0.3} \\ \Rightarrow \sigma=10 \\ \text{Q.D.}=\frac{2}{3} \sigma \text { (Empirical Relationship) } \\ =\frac{2}{3} \times 10\\ =6.666\\ \Rightarrow \text{Q.D.} \approx 6.67\\ \delta=\frac{4}{5} \sigma \text { (Empirical Relationship) }\\ =\frac{4}{5} \times 10\\ \Rightarrow \delta=8\\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma}\\ 0.3=\frac{10-Z}{10}\\ \Rightarrow Z=10-3= 7
Example:1(f).एक आवृत्ति बंटन में कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक क्रमशः 0.4 तथा 30% है जबकि बहुलक 88 है।माध्य तथा मध्यका ज्ञात कीजिए।
(Karl Pearson’s coefficient of skewness for a distribution is 0.4 and its coefficient of variation is 30%.If its mode 88,find out mean and median.):
Solution:J=0.4,C.V.=30%,Z=88

J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ \Rightarrow 0.4=\frac{\overline{X}-88}{0} \\ \Rightarrow 0.4 \sigma =\overline{X}-88 \cdots(1) \\ \text{C.V.}=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ 30=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ \overline{X}=\frac{10 \sigma}{3} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

0.4 \sigma=\frac{10 \sigma}{3}-88 \\ \Rightarrow \frac{10 \sigma}{3}-0.4 \sigma=88 \\ \Rightarrow \frac{10 \sigma}{3}-\frac{4}{10} \sigma=88 \\ \Rightarrow \frac{100 \sigma-12 \sigma}{30}=88 \\ \Rightarrow \frac{88 \sigma}{30}=88 \\ \Rightarrow \sigma=30
\sigma का मान (2) में रखने पर:

\overline{X} =\frac{10}{3} \times 30 \\ \Rightarrow \overline{X} =100 \\ J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ 0.4=\frac{3(100-M)}{30} \\ \Rightarrow 12=300-3 \mathrm{M} \\ \Rightarrow 3 M=300-12 \\ \Rightarrow 3 M=288 \\ \Rightarrow M=\frac{288}{3} \\ \Rightarrow M=96
Example:2.निम्नलिखित सांख्यिकीय तथ्य दो आवृत्ति वितरण से प्राप्त किए गए हैं जो एक फैक्ट्री के 1515 मजदूरों की ऊँचाई व वजन से सम्बन्धित हैं।बताइए कि किस वितरण में विषमता अधिक है?
(Given the following statistical data obtained from two frequency distributions regarding the height and weight of 1515 workers in a factory.Show which of the distributions shows greater skewness):

Solution:\overline{X}_{1}=67.92 inches, M=68.02 inches

S.D. (\delta)=2.43 inches

\sigma_{1} =\frac{5}{4} \text { (Empirical Relationship) } \\ =\frac{5}{4} \times 2.43 \\ \Rightarrow \sigma_{1} =3.0375 \\ J =\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(67.92-68.02)}{3.0375} \\ =\frac{3 \times-0.1}{3.0375} \\ \Rightarrow J =-0.0987 \\ \overline{X_{2}}=138.88 ,M=137.62 lbs, S.D.(\delta)=17.2

\sigma_{2} =\frac{5}{4} \delta \text { (Empirical Relationship) } \\=\frac{5}{4} \times 17.2 \\ \Rightarrow \sigma_{2} =21.5 \\ J =\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(138.88-137.62)}{21.5} \\ =\frac{3 \times 1.26}{21.5} \\ =0.1758 \\ \Rightarrow J \approx 0.18
Weight more skewed

Karl Pearson Coefficient of Skewness

Example:3.निम्नलिखित विवरण दो फैक्ट्री की मजदूरी से सम्बन्धित हैं जिनके आधार पर यह निष्कर्ष ज्ञात किया गया है कि दोनों में विचरणता व विषमता समान है।इस कथन की सत्यता की जाँच कीजिए:
(The following particulars relate to the wages in respect of two factories from which it is conducted that variability and skewness are the same in both the factories.Examine the truth of this statement.):

Solution: Factory A

C.V. of A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{10}{50} \times 100=20 \% \\ J =\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{50-45}{10} \\ \Rightarrow J =\frac{5}{10}=+0.5

Factory B

C.V. of B=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 10\\=\frac{10}{45} \times 100\\ =22.222\\ \approx 22.2 \%\\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma}\\ =\frac{45-50}{10}\\ =-\frac{5}{10}\\ \Rightarrow J=-0.5
Both the Statements are false
Example:4.समान्तर माध्य,बहुलक तथा प्रमाप विचलन के आधार पर कार्ल पियर्सन का विषमता का माप परिकलित कीजिए:
(Calculate the Karl Pearson’s measure of skewness on the basis of mean,mode and standard deviation) :

Solution: Calculation of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

\overline{X} =A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =17.5+\frac{283}{560} \times 1 \\ =17.5+0.566 \\ =18.066 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 18.07 \\ Z=18.5 \\ \sigma =\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma d^{2} x^{\prime} \cdot N-\left(\Sigma f d x^{\prime}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{1735 \times 500-(283)^{2}} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{867500-80089} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{787411} \\ =\frac{1}{500} \times 887.3618 \\ =1.77472 \\ \sigma \approx 1.77 \\ J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{18.07-18.5}{1.77} \\ =\frac{-0.43}{1.77} \\ =-0.2429 \\ J \approx-0.24
Example:5.विभिन्न समंकों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणक के द्वितीय माप की गणना कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s second measure of coefficient of skewness from the following data):

Solution:Calculation of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness)

Median (M)=size of \left(\frac{N+1}{2}\right) th item
=size of \left(\frac{500+1}{2}\right) th item
=size of 250.5 th item
M=8.5
\sigma=\frac{i}{N} \sqrt{\Sigma f d^{2} x^{\prime} \cdot N-\left(\Sigma f d x^{\prime}\right)^{2}}\\ =\frac{1}{500} \sqrt{1669 \times 500-(-217)^{2}}\\ =\frac{1}{500} \sqrt{834500-47089}\\ =\frac{1}{500} \times \sqrt{787411} \\ \sigma =\frac{1}{500} \times 887.36182 \\ \sigma= 1.7747 \\ \sigma \approx 1.77 \\ \sigma \approx \frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(8.066-8.5)}{1.77} \\ =\frac{3 \times-0.434}{1.77} \\ =\frac{-1.302}{1.77} \\ =-0.735 \\ J \approx-0.73
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) को समझ सकते हैं।

3.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Karl Pearson Coefficient of Skewness):

Karl Pearson Coefficient of Skewness

(1.)निम्न समंकों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following figures, find Karl Pearson’s coefficient of skewness):

(2.)निम्नलिखित आँकड़ों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate the Karl Pearson’s coefficient of skewness):

उत्तर (Answers):(1.) J=-0.6 (2.)J=-0.714
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness),विषमता का कार्ल पियर्सन माप (Karl Pearson Measure of Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विषमता का कार्ल पियर्सन गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Skewness) समान्तर माध्य,
मध्यका,बहुलक तथा प्रमाप विचलन पर निर्भर करता है।