1.अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics):

Sequence Class 11

अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11) का उपयोग साधारण अंग्रेजी के समान किया जाता है।जब हम कहते हैं कि समूह के अवयवों को अनुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है तब हमारा तात्पर्य है कि समूह को इस प्रकार क्रमिक किया गया है कि हम उसके सदस्यों को प्रथम,द्वितीय,तृतीय संख्या आदि पहचान सकते हैं।
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2.अनुक्रम कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Sequence Class 11 Solved Examples):

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक पाँच पद लिखिए जिनका nवाँ पद दिया गया है:
Example:1. a_{n}=n(n+2)
Solution: a_{n}=n(n+2) \\ a_{1}=1(1+2)=3 \\ a_{2}=2(2+2)=8 \\ a_{3}=3(3+2)=15 \\ a_{4}=4(4+2)=24 \\ a_{5}=5(5+2)=35 
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
3,8,15,24,35
Example:2. a_{n}=\frac{n}{n+1}
Solution: a_{n}=\frac{n}{n+1} \\ a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\ a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} \\ a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \\ a_{4}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} \\ a_{5}=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

\frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6}
Example:3. a_{n}=2^{n}
Solution: a_{n}=2^{n} \\ a_{1}=2^{1}=2 \\ a_{2}=2^{2}=4 \\ a_{3}=2^{3}=8 \\ a_{4}=2^{4}=16 \\ a_{5}=2^{5}=32
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
2,4,8,16,32
Example:4. a_{n}=\frac{2 n-3}{6}
Solution: a_{n}=\frac{2 n-3}{6} \\ a_{1}=\frac{2 \times 1-3}{6}=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6} \\ a_{2}=\frac{2 \times 2-3}{6}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6} \\ a_{3}=\frac{2 \times 3-3}{6}=\frac{6-3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ a_{4}=\frac{2 \times 4-3}{6}=\frac{8-3}{6}=\frac{5}{6} \\ a_{5}=\frac{2 \times 5-3}{6}=\frac{10-3}{6}=\frac{7}{6}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

-\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}
Example:5. a_{n}=(-1)^{n-1} 5^{n+1}
Solution: a_{n}=(-1)^{n-1} 5^{n+1} \\ a_{1} =(-1)^{1-1} 5^{1+1} \\ a_{1} =(-1)^{0} \times 5^{2}=25 \\ a_{2} =(-1)^{2-1} \times 5^{2+1}=(-1) \times 5^{3} \\ \Rightarrow a_{2} =-125 \\ a_{3} =(-1)^{3-1} \times 5^{3+1} \\ =(-1)^{2} \times 5^{4} \\ \Rightarrow a_{3} =625 \\ a_{4} =(-1)^{4-1} \times 5^{4+1} \\ =(-1)^{3} \times 5^{5} \\ \Rightarrow a_{4} =-3125 \\ a_{5} =(-1)^{5-1} 5^{5+1} \\ =(-1)^{4} 5^{6} \\ \Rightarrow a_{5} =15625
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
25,-125,625,-3125,15625
Example:6. a_{n}=n \frac{n^{2}+5}{4}
Solution: a_{n}=n \frac{n^{2}+5}{4} \\ a_{1}=1 \times\left(\frac{1^{2}+5}{4}\right)=\frac{1+5}{4} \\ \Rightarrow a_{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\ a_{2}=2 \times\left(\frac{2^{2}+5}{4}\right) \\ =2 \times \frac{4+5}{4} \\ a_{2}=\frac{9}{2} \\ a_{3}=3\left(\frac{3^{2}+5}{4}\right) =3 \times \frac{9+5}{4} \\ =\frac{3 \times 14}{4} \\ \Rightarrow a_{3}=\frac{21}{2} \\ a_{4}=4\left(\frac{4^{2}+5}{4}\right) \\ =4\left(\frac{16+5}{4}\right) \\ \Rightarrow a_{4}=21\\ a_{5}=5\left(\frac{5^{2}+5}{4}\right)\\ =5\left(\frac{25+5}{4}\right)\\ =\frac{5 \times 30}{4}\\ \Rightarrow a_{5}=\frac{75}{2}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

Sequence Class 11

निम्नलिखित 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिये जिनका nवाँ पद दिया गया है:
Example:7. a_{n}=4 n-3 ; a_{17}, a_{24}
Solution: a_{n}=4 n-3 ; a_{17}, a_{24}
n=17 रखने पर:

a_{17}=4 \times 17-3=68-3=65
n=24 रखने पर:

a_{24}=4 \times 24-3=96-3=93
अतः a_{17}=65, a_{24}=93
Example:8. a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} ; a_{7}
Solution: a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} ; a_{7}
n=7 रखने पर:

a_{7} =\frac{7^{2}}{2^{7}} \\ \Rightarrow a_{7} =\frac{49}{128}
Example:9. a_{n}=(-1)^{n-1} n^{3}; a_{9}
Solution: a_{n}=(-1)^{n-1} n^{3}; a_{9}
n=9 रखने पर:

a_{9} =(-1)^{9-1}\left(9^{3}\right) \\ =(-1)^{8} 729 \\ \Rightarrow a_{9} =729
Example:10. a_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3} ; a_{20}
Solution: a_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3} ; a_{20}
n=20 रखने पर:

a_{20}=\frac{20(20-2)}{20+3} \\ \Rightarrow a_{20}=\frac{20 \times 18}{23} \\ \Rightarrow a_{20}=\frac{360}{23}
प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:
Example:11. a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2 सभी n>1 के लिए
Solution: a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2 \\ a_{2}=3 a_{2-1}+2 \\ a_{2}=3 a_{1}+2=3 \times 3+2=11 \\ a_{3}=3 a_{3-1}+2=3 a_{2}+2 \\ \Rightarrow a_{3}=3 \times 11+2=35 \\ a_{4}=3 a_{4-1}+2=3 a_{3}+2 \\ =3 \times 35+2 \\ \Rightarrow a_{4}=107 \\ a_{5} =3a_{5-1}+2 \\ =3 a_{4}+2 \\ =3 \times 107+2 \\ =321+2 \\ \Rightarrow a_{4}=323
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

3,11,35,107,323
संगत श्रेणी:3+11+35+107+323+….
Example:12. a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n} जहाँ n \geq 2
Solution: a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n} जहाँ n \geq 2  \\ a_{2} =\frac{a_{2}-1}{2}=\frac{a_{1}}{2} \\ \Rightarrow a_{2} =-\frac{1}{2} \\ a_{3} =\frac{a_{3}-1}{3} \\ =\frac{a_{2}}{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{3} \\ \Rightarrow a_{3} =-\frac{1}{6} \\ a_{4} =\frac{a_{4-1}}{4}=\frac{a_{3}}{4} \\ =\frac{-\frac{1}{6}}{4} \Rightarrow a_{4}=-\frac{1}{24} \\ a_{5} =\frac{a_{5}-1}{5}=\frac{a_{4}}{5} \\=\frac{-\frac{1}{24}}{5} \\ \Rightarrow a_{5} =\frac{-1}{120}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{24},-\frac{1}{120}
संगत श्रेणी है:

Example:13. a_{1}=a_{2} =2 , a_{n}=a_{n-1}-1  जहाँ n>2
Solution: a_{1}=a_{2}=2 , a_{n}=a_{n-1}-1  जहाँ n>2

a_{3}=a_{3-1}-1=a_{2}-1\\=2-1=1\\ a_{4}=a_{4-1}-1=a_{3}-1\\ =1-1=0\\ \Rightarrow a_{4}=0\\ a_{5}=a_{5-1} -1=a_{4}-1\\ \Rightarrow a_{5}=0-1=-1
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
2,2,1,0,-1
संगत श्रेणी है:
2+2+1+0+(-1)+…
Example:14.Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:
1=a_{1}=a_{2}  तथा a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n>2 तो \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
ज्ञात कीजिए जबकि n=1,2,3,4,5
Solution: a_{1}=a_{2}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} \\ a_{3} =a_{3-1}+a_{3-2} \\ =a_{2}+a_{1} \\ a_{3} =1+1 \\ \Rightarrow a_{3} =2 \\ a_{4} =a_{4-1}+a_{4-2} \\ =a_{3}+a_{2} \\ =2+1 \\ a_{4} =3 \\ a_{5} =a_{5-1}+a_{5-2} \\ =a_{4}+a_{3} \\ =3+2 \\ \Rightarrow a_{5} =5 \\ a_{6} =a_{6-1}+a_{6-2} \\ =a_{5}+a_{4} \\ =5+3 \\ \Rightarrow a_{6} =8 \\ a_{1}=a_{2} =1, a_{3}=2, a_{4}=3,a_{5}=5,a_{6}=8 \\ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
जब n=1, \frac{a_{1+1}}{a_{1}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{1}=1
जब n=2,\frac{a_{2+1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{2}{1}=2
जब n=3, \frac{a_{3+1}}{a_{3}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{3}{2}
जब n=4,\frac{a_{4}+1}{a_{4}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{5}{3}
जब n=5,\frac{a_{5+1}}{a_{5}}=\frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{8}{5}
अतः\frac{a_{n+1}}{a_{n}} के मान जब n=1,2,3,4,5 है,निम्न है:

1,2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.अनुक्रम कक्षा 11 के सवाल (Sequence Class 11 Questions):

Sequence Class 11

(1.)निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद लिखिए:

(i) a_{n}=2 n+5 (ii) a_{n}=\frac{n-3}{4}
(2.) a_{n}=(n-1)(2-n)(3+n) द्वारा परिभाषित अनुक्रम का 20 वाँ पद क्या है?
(3.)माना कि अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:

a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 for n \geq 2
तो अनुक्रम के पाँच पद ज्ञात कीजिए और संगत श्रेणी लिखिए।
उत्तर (Answers):(1)(i)a_{1}=7,a_{2}=9,a_{3}=11 (ii) a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=-\frac{1}{4}, a_{3}=0

(2)a_{20}=-7866

(3.) a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=5, a_{4}=7, a_{5}=9 संगत श्रेणी 1+3+5+7+9+…है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11) का उपयोग साधारण अंग्रेजी के समान किया जाता है।
जब हम कहते हैं कि समूह के अवयवों को अनुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है