Sector and Distance Formula Class 10
1.विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector and Distance Formula Class 10),निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (Sector Formula in Coordinate Geometry):
विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector and Distance Formula Class 10) तथा इन पर आधारित उदाहरण का अध्ययन कर चुके हैं।कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों के द्वारा इनको समझते हैं।
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2.विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Sector and Distance Formula Class 10 Solved Examples):
Example:1.बिन्दुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x+y-4=0 जिस अनुपात में विभाजित करती हैं उसे ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(x_{1}, y_{1}\right)=A(2,-2),\left(x_{2}, y_{2}\right)=B(3,7) \\ x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ \Rightarrow x=\frac{m_{1}(3)+m_{2}(2)}{m_{1}+m_{2}}\\ x=\frac{3 m_{1}+2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\ y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\\ =\frac{m_{1}(7)+m_{2}(-2)}{m_{1}+m_{2}}\\ \Rightarrow y=\frac{7 m_{1}-2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
x,y का मान 2x+y-4=0 में रखने पर:
2\left(\frac{3 m_{1}+2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)+\frac{7 m_{1}-2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}-4=0 \\ \Rightarrow \frac{6 m_{1}+4 m_{2}+7 m_{1}-2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \Rightarrow 13 m_{1}+2 m_{2}=4 m_{1}+4 m_{2} \\ \Rightarrow 13 m_{1}-4 m_{1}=4 m_{2}-2 m_{2} \\ \Rightarrow 9 m_{1}=2 m_{2} \\ \Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{9} \\ \Rightarrow m_{1}: m_{2}=2 : 9
अभीष्ट अनुपात=2:9
Example:2.x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x,y), (1,2) और (7,0) संरेखी हैं।
Solution:माना \left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x, y\right) , \left(x_{2}, y_{2}\right)=(1,2),\left(x_{3}, y_{3}\right)=(7,0)
तीन बिन्दुओं के संरेख होने का प्रतिबन्ध:
x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0 \\ x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)=0 \\ \Rightarrow 2 x+0-y+7 y-14=0 \\ \Rightarrow 2 x+6 y-14=0 \\ \Rightarrow x+3 y-7=0
अभीष्ट सम्बन्ध है।
Example:3.बिन्दुओं (6,-6),(3,-7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
Solution:माना वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक O(x,y) है। तथा A(6,-6),B(3,-7),C(3,3)
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी=वृत्त की त्रिज्या
PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ OA=\sqrt{(6-x)^{2}+(-6-y)^{2}} \\ OB=\sqrt{(3-x)^{2}+(-7-y)^{2}} \\ OC=\sqrt{(3-x)^{2}+(3-y)^{2}} \\ OA=OB \\ \Rightarrow O A^{2}=O B^{2} \\ (6-x)^{2}+(-6-y)^{2}=(3-x)^{2}+(-7-y)^{2} \\ \Rightarrow 36-12 x+x^{2}+36+12 y+y^{2}=9-6x+x^{2}+49+14 y+y^{2} \\ \Rightarrow-12 x+12 y+72=-6 x+14 y+58 \\ \Rightarrow-12 x+6 x+12 y-4 y+72-58=0 \\ \Rightarrow-6 x+2 y+14=0 \\ \Rightarrow-2(3 x+y-7)=0 \\ \Rightarrow 3 x+y-7=0 \cdots(1) \\ OA=OC \\ \left(\sqrt{(6-x)^{2}+(-6-y)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{(3-x)^{2}+(3-y)^{2}}\right)^{2} \\ \Rightarrow 36-12 x+x^{2}+36+12 y^{2}+y^{2}=9-6 x+x^{2}+9-6 y+y^{2} \\ \Rightarrow-12 x+12 y+72=-6 x-6 y+18 \\ \Rightarrow-12 x+6 x+12 y+6 y+72-18=0 \\ \Rightarrow-6 x+18 y+54=0 \\ \Rightarrow-6(x+3 y-9)=0 \\ \Rightarrow x-3 y-9=0 \cdots(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
9x+3y-21=0 …. (3)
x-3y-9=0 ….. (2) (जोड़ने पर)
______________________
10x-30=0
\Rightarrow x=\frac{30}{10} \\ \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 \times 3+y-7=0 \\ \Rightarrow 9+y-7=0 \\ \Rightarrow y=-2
अतः अभीष्ट केन्द्र के निर्देशांक (3,-2)
Example:4.किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कि त्रिभुज के सम्मुख शीर्ष A(4,2) और B(3,2) हैं।वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं।
AC=BC
AC^{2}=B C^{2} \\ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2} \\ \Rightarrow(x+1)^{2}=(x-3)^{2} \\ \Rightarrow x+1=x-3 x^{2}+2 x+1=x^{2}-6 x+9 \\ \Rightarrow 8 x=8 \Rightarrow x=1
अब समकोण \triangle ACB में पाइथागोरस प्रमेय से:
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} \\ \Rightarrow (x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=(3+1)^{2}+(2-2)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4+x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4=16 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18=16 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0
x का मान रखने पर:
\Rightarrow (1)^{2}+y^{2}-2 x 1-4 y+1=0 \\ \Rightarrow 1+y^{2}-2-4 y+1=0 \\ \Rightarrow y^{2}-4 y=0 \\ \Rightarrow y(y-4)=0 \\ \Rightarrow y=0,4
अतः वर्ग के अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक (1,0),(1,4) हैं।
Example:5.कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है।गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (Boundary) पर लगाया जाता है।इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लाॅन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i)A को मूलबिन्दु मानते हुए,त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो तो \triangle PQR के निर्देशांक क्या होंगे? साथ ही उपर्युक्त दोनों स्थितियों में त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।आप क्या देखते हैं?
Solution:5(i)यदि A मूलबिन्दु हो तो त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक होंगे:
P(4,6),Q(3,2) तथा R(6,5)
माना \left(x_{1}, y_{1}\right)=P(4,6),\left(x_{2}, y_{2}\right)=Q(3,2) ,\left(x_{3}, y_{3}\right)=R(6,5)
\triangle PQR का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ = \frac{1}{2}[4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)] \\ = \frac{1}{2}[4 x-3+3 x-1+6 \times 4] \\ =\frac{1}{2}[-12-3+24] \\ = \frac{9}{2} वर्ग मीटर
5(ii)जब मूलबिन्दु C हो तो \triangle PQR के शीर्षों के निर्देशांक:
P(-12,-2),Q(-13,-6) तथा (-10,-3) हैं।
माना \left(x_{1}, y_{1}\right)=(-12,-2) , \left(x_{2}, y_{2}\right)=P(-13,-6), \left(x_{3}, y_{3}\right)=R(-10,-3)
\triangle PQR का क्षेत्रफल= \frac{1}{2}[-12\left\{-6-(-3)\right \}-13\left \{ -3-(-2) \right \}-10\left \{ -2-(-6) \right \}] \\ = \frac{1}{2}[-12(-6+3)-13(-3+2)-10(-2+6)] \\ = \frac{1}{2}[-12 \times -3-13 \times -1-10 \times 4]\\ = \frac{1}{2}[36+13-40]=\frac{9}{2} वर्ग मीटर
दोनों स्थितियों में क्षेत्रफल समान है।
Example:6.एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6),B(1,5) और C(7,2) हैं।भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4} है।\triangle ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना \triangle ABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
Solution: \triangle ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) तथा C(7,2) हैं।
\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4} \\ \frac{A B}{A D}=\frac{A C}{A E}=\frac{4}{1} \\ \Rightarrow \frac{A B}{A D}-1=\frac{A C}{A E}-1=\frac{4-1}{1} \\ \Rightarrow \frac{AB-AD}{A D}=\frac{A C-A E}{A E}=\frac{3}{1} \\ \Rightarrow \frac{B D}{A D}=\frac{E C}{A E}=\frac{3}{1} \\ \Rightarrow \frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}=\frac{1}{3} \\ AD: BD=1:3, A E=E C=1: 3
D के निर्देशांक
x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ x=\frac{1 x_{1}+3 \times 4}{1+3}, y=\frac{1 \times 5+3 \times 6}{1+3} \\ 9 x=\frac{1+12}{4}, y=\frac{5+18}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{13}{4}, y=\frac{23}{4} \\ O\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)
E बिन्दु के निर्देशांक
x^{\prime}=\frac{1 \times 7+3 \times 4}{1+3}, y^{\prime}=\frac{1 \times 2+3 \times 6}{1+3} \\ \Rightarrow x^{\prime}=\frac{7+12}{4}, y^{\prime}=\frac{2+18}{4} \\ \Rightarrow x^{\prime}=\frac{19}{4}, y^{\prime}=5 \\ \Rightarrow E\left(\frac{19}{4}, 5\right)
अब \triangle ABC का क्षेत्रफल
\left(x_{1}, y_{1}\right)=A(4, 6),\left(x_{2}, y_{2}\right)=B(1,5) ,\left(x_{3}, y_{3}\right)=C(7,2)\\ =\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}[4(5-2)+1(2-6)+7(6-5)]\\ =\frac{1}{2}[4 \times 3+1 \times-4+7 \times 1]\\ =\frac{1}{2}[12-4+7]\\ =\frac{15}{2} वर्ग मात्रक
\triangle ADE का क्षेत्रफल
A(4, 6),D\left ( \frac{13}{4},\frac{23}{4} \right ),E\left ( \frac{19}{4},5 \right ) \\ = \frac{1}{2} \left[4\left( \frac{23}{4} -5\right) +\frac{13}{4}(5-6)+\frac{19}{4}\left(6-\frac{23}{4}\right)\right] \\ = \frac{1}{2}\left[4 \times \frac{3}{4}+\frac{13}{4}(-1)+\frac{19}{4} \times \frac{1}{4}\right] \\ = \frac{1}{2}\left[\frac{12}{4}-\frac{13}{4}+\frac{19}{16}\right] \\= \frac{1}{2}\left[\frac{48-52+19}{16}\right] \\ = \frac{1}{2} \times \frac{15}{16}=\frac{15}{32} वर्ग मात्रक
अब \frac{\triangle ADE का क्षेत्रफल}{\triangle ABC का क्षेत्रफल}=\frac{\frac{15}{32}}{\frac{15}{2}} \\ =\frac{15}{32} \times \frac{2}{15}=\frac{1}{16}
अतः \triangle ADE का क्षेत्रफल: \triangle ABC का क्षेत्रफल=1:16
Example:7.मान लीजिए A(4,2),B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जानेवाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित एक ऐसे बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP:PD=2:1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ:QE=2:1 हो और CR:RF=2:1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
(v)यदि A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) और C(x_{3},y_{3}) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:7(i)A(4,2),B(6,5),C(1,4)
BC के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक:=\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)
7(ii) A(4,2),D\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले P बिन्दु के निर्देशांक:
x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ \Rightarrow x =\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1 \times 4}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1 \times 2}{2+1} \\ \Rightarrow x=\frac{7+4}{3}, y=\frac{9+2}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{11}{3}, y=\frac{11}{3} \\ P\left(\frac{11}{3},\frac{11}{3}\right)
7(iii) AC के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक:
A(4,2),C(1,4)
\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right) \\ E\left(\frac{5}{2},3\right)
अब B(6,5), E\left(\frac{5}{2}, 3\right) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले Q बिन्दु के निर्देशांक:
\left(\frac{2 \times \frac{5}{2}+1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times 3+1 \times 5}{2+1}\right) \\ =\left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) \\ Q\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)
AB के मध्य बिन्दु F के निर्देशांक:
A(4,2),B(6,5) \\ \left(\frac{4+6}{2} ; \frac{2+5}{2}\right) \\ F(5 , \frac{7}{2})
अब C(1,4) तथा को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले R बिन्दु के निर्देशांक:
\left(\frac{2 \times 5+1 \times 1}{2+1}, \frac{2 \times \frac{7}{2}+1 \times 4}{2+1}\right) \\ =\left( \frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right) \\ =\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \\ R\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)
7(iv) बिन्दु P, Q और R के निर्देशांक समान है अर्थात् ये तीनों बिन्दु संपाती हैं। इस बिन्दु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं जो माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
7(v) A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) और C\left(x_{3} y_{3}\right)
BC के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक
D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)
A\left(x_{1}, y_{1}\right) तथा D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) को केन्द्रक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है अतः केन्द्रक के निर्देशांक:
\left(\frac{2 \times\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)+1 \times x_{1}}{2+1}, \frac{2 \times \left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)+1 \times y_{1}}{2+1}\right) \\ =\left(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3}\right)
केन्द्रक के निर्देशांक \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)
Example:8.बिन्दुओं A(-1,-1),B(-1,4),C(5,4) और D(5,-1) से एक आयत ABCD बनता है।P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं।क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
Solution:A(-1,-1),B(-1,4),C(5,4) और D(5,-1)
AB के मध्य बिन्दु P के निर्देशांक:
P\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right)=P\left ( -1,\frac{3}{2} \right )
BC के मध्य बिन्दु Q के निर्देशांक:
Q\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=Q(2,4)
CD के मध्य बिन्दु R के निर्देशांक:
R\left(\frac{5+5}{2}, \frac{-1+4}{2}\right)=R(5,\frac{3}{2})
DA के मध्य बिन्दु S के निर्देशांक:
S\left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1-4}{2}\right)=S(2,-1)
भुजा PQ= \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right )^{2}} \\=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{61}{4}} \\ \Rightarrow P Q=\sqrt{\frac{61}{4}}
भुजा QR=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right )^{2}} \\ =\sqrt{3^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}} \\ =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \\ \Rightarrow R =\sqrt{\frac{61}{4}}
भुजा RS =\sqrt{(-2-5)^{2}+\left(-1-\frac{3}{2}\right )^{2}} \\ =\sqrt{(-3)^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}} \\ =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \\ =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \\ \Rightarrow R S =\sqrt{\frac{61}{4}}
भुजा SP=\sqrt{(-1-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}+1\right)^{2}} \\=\sqrt{9+\frac{25}{4}} \\ =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \\ \Rightarrow S P =\sqrt{\frac{61}{4}}
विकर्ण PR=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow PR=\sqrt{36} \\ \Rightarrow PR=6
विकर्ण QS=\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-4)^{2}} \\ =\sqrt{(-5)^{2}} \\ QS =5
PQ=QR=RS=SP
तथा विकर्ण PR \neq विकर्ण QS
चतुर्भुज PQRS समचतुर्भुज है।
उपर्युक्त आर्टिकल में विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector Formula and Distance Formula Class 10),निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (Sector Formula in Coordinate Geometry) के बारे में बताया गया है।
3.विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 पर आधारित सवाल (Questions Based on Sector and Distance Formula Class 10):
(1.)उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1,-1),(0,4) और (-5,3) हैं।
(2.)यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1,2),(0,-1) और (2,-1) हैं तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1 .) \frac{\sqrt{130}}{2}, \frac{\sqrt{130}}{2}, \sqrt{13} (2.)(1,-4),(3,2),(-1,2)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector Formula and Distance Formula Class 10),निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (Sector Formula in Coordinate Geometry) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Section Formula Class 10
4.विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector and Distance Formula Class 10),निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (Sector Formula in Coordinate Geometry) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.निर्देशांक ज्यामिति में वर्ग सिद्ध करने का वैकल्पिक तरीका क्या है? (What is the Alternative way to Prove Square in Coordinate Geometry?):
उत्तर:मान लो चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं और एक विकर्ण AC ज्ञात करते हैं।
यदि AC^{2}=AD^{2}+DC^{2} है तो पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से \angle D=90 है। चारों भुजाएँ बराबर होने और एक कोण समकोण होने से चतुर्भुज एक वर्ग हो जाता है।
प्रश्न:2.विभाजन सूत्र का अन्य नाम क्या है? (What is the Other Name of Sector Formula?):
उत्तर:विभाजन सूत्र (Sector Formula) का अन्य नाम Division Formula है जिसे अन्तः विभाजन (Internal Division) और बाह्य विभाजन (External Division) भी कहते हैं।
प्रश्न:3.दूरी सूत्र तथा विभाजन सूत्र लिखो।(Write Distance Formula and Sector Formula):
उत्तर:दूरी सूत्र (Distance Formula):
PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}
विभाजन सूत्र (Sector Formula):
x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \quad y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector and Distance Formula Class 10),निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (Sector Formula in Coordinate Geometry) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Sector Formula and Distance Formula Class 10
विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10
(Sector Formula and Distance Formula Class 10)
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विभाजन सूत्र और दूरी सूत्र कक्षा 10 (Sector Formula and Distance Formula Class 10) तथा
इन परआधारित उदाहरण का अध्ययन कर चुके हैं।कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों के द्वारा
इनको समझते हैं।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
