1.सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation):

Standard Deviation in Statistics

सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) अपकिरण को मापने की सबसे अधिक लोकप्रिय और वैज्ञानिक रीति है। प्रमाप विचलन व सामूहिक प्रमाप विचलन के आर्टिकल्स इससे पूर्व भी पोस्ट कर चुके हैं अतः उन्हें भी देखना चाहिए।इस आर्टिकल में कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों द्वारा इसे समझेंगे।

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2.सांख्यिकी में प्रमाप विचलन के उदाहरण (Standard Deviation in Statistics Examples):

Examle:1.दो कक्षाओं के सामान्य ज्ञान की परीक्षा के प्राप्तांकों के समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन निम्नवत हैं:
(Mean and Standard deviation of the scores of a general knowledge test of two classes are as under):

दोनों कक्षाओं के विद्यार्थियों का सामूहिक समान्तर माध्य एवं प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।कौनसी कक्षा द्वारा उन्नति द्रुतगति तथा नियमित रूप से प्रदर्शित की जा रही है और क्यों?
(Calculate the combined mean and standard deviation for the students of two classes.Which class is expected to show a rapid and consistent progress and why?)
Solution: Class A \bar{X}_{1}=80 marks, \sigma_{1}=15 marks, N_{1} =25

Class B \bar{X}_{2}=85 marks, sigma_{2}=20 marks, N_{2}=75 \bar{X}_{A B}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}}\\ =\frac{80 \times 25+85 \times 75}{25+75}\\ =\frac{2000+6375}{100}\\ =\frac{8375}{100}\\ \Rightarrow \bar{X}_{A B}=83.75\\ \sigma_{A B}=\sqrt{\frac{N_{1} \left( \sigma_{1}^{2} +D_{1}^{2}\right)+N_{2}\left(\sigma_{2}^{2}+ D_{2}^{2}\right)}{N_{1}+N_{2}}}\\ D_{1}= \overline{X}_{1}-\overline{X}_{A B}=80-83.75=-3.75\\ D_{2}=\overline{X}_{2}-\overline{X}_{AB}=85-83.75=1.25 \\ \sigma_{A B}=\sqrt{\frac{25\left[15^{2}+(-3.75)^{2}\right]+ 75 \left(20^{2}+1.25\right)^{2}}{25+75}}\\ =\sqrt{\frac{25 \times 239.0625+75 \times 401.5625}{100}}\\ =\sqrt{\frac{5976.5625+ 30117.1875}{100}}\\ =\sqrt{\frac{36093.75}{100}}\\ =\sqrt{360.9375}\\ =18.9988 \\ \sigma_{A B} \approx 19 marks

C. V. of Class A=\frac{\sigma_{1}}{\bar{X}_{1}} \times 100 \\ =\frac{15}{80} \times 100\\ =18.75

C. V. of class B=\frac{\sigma_{2}}{\bar{X}_{2}} \times 16\\ =\frac{20 \times 100}{85}\\ =23.529 \\ \approx 23.53
Class A more consistent
Example:2.एक वर्ग का समान्तर माध्य \bar{X}=10 , कुल पदों की संख्या (N)=60 प्रसरण \left( \sigma^{2}\right)=4 है। उस वर्ग के एक उपवर्ग का समान्तर माध्य \bar{X}_{1}=11,N_{1}=40, \sigma_{1}^{2}=2.25 हैं। दूसरे उप-वर्ग का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(A group has \bar{X}=10,N=60,\left(\sigma^{2}\right)=4. A sub-group of this has \bar{X}_{1}=11,N_{1}=40, \sigma_{1}^{2}=2.25 . Find the mean and standard deviation of the other sub-group.)

Solution:-\bar{X}=10, N=60, \sigma^{2}=4\\ \overline{X_{1}}=11, N_{1}=40, \sigma^{2}=2.25 \\ \bar{X}_{2}=?, N_{2}=60-40=20, \sigma_{2}=? \\ \bar{X}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}}\\ 10=\frac{11 \times 40+\overline{X_{2}} \times 20}{60}\\ \Rightarrow 600=440+20 \bar{X}_{2}\\ \Rightarrow 20 \bar{X}_{2}=600-440\\ \Rightarrow 20 \bar{X}_{2}=120\\ \Rightarrow \bar{X}_{2}=\frac{160}{20}\\ \Rightarrow \bar{X}_{2}=8 \\ D_{1}= \bar{X}_{1}-\bar{X}=11-10=1\\ D_{2}=\bar{X}_{2}-\bar{X}=8-10=-2 \\ \sigma= \sqrt{\left[\frac{N_{1} \left(\sigma_{1}^{2}+D_{1}^{2} \right)+N_{2}\left(\sigma_{2}^{2}+D_{2}^{2}\right)}{N_{1}+N_{2}}\right]} \\2=\sqrt{\left[\frac{40\left(2.25+ 1^{2}\right)+ 20\left(\sigma_{2}^{2}+(-2)^{2}\right]}{60}\right]}\\ =\sqrt{\frac{40 \times 3.25+20 \sigma_{2}^{2}+20 \times 4}{60}}\\ =\sqrt{\frac{130+20 \sigma_{2}^{2}+80}{60}}\\ \Rightarrow 4=\frac{210+20 \sigma_{2}^{2}}{60} \\ \Rightarrow 240=210+20 \sigma_{2}^{2} \\ \Rightarrow 20 \sigma_{2}^{2}=240-210 \\ \Rightarrow 20 \sigma_{2}^{2}=30 \\ \Rightarrow \sigma_{2}^{2}=30 \\ \Rightarrow \sigma_{2}^{2}=1.5 \\ \Rightarrow \sigma_{2}=\sqrt{1.5} \\ =1.2247 \\ \sigma_{2} \approx 1.225 \quad \bar{x}_{2}=8
Example:3.5 अवलोकनों का समान्तर माध्य 4.4 तथा प्रसरण 8.24 है। यदि पाँच में से तीन अवलोकन 1,2,6 हों तो शेष दो अवलोकनों को ज्ञात कीजिए।
(The mean of 5 observations is 4.4 and the variance is 8.24.If three of the five observations are 1,2 and 6, find the other two.)
Solution: \bar{X}=4.4, \sigma^{2}=8.24 \text {, } N=5\\ X_{1}=1, X_{2}=2, X_{3}=6, X_{4}=3, X_{5}=? \\ \bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}}{5}\\ 4.4=\frac{1+2+6+X_{4}+X_{5}}{5} \\ 2.2=9+X_{4}+X_{5} \\ \Rightarrow X_{4}+X_{5}=13 \cdots(1) \\ \sigma=\sqrt{\left[\frac{\Sigma x^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}\right]} \\ \sigma^{2}=\frac{\Sigma X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2} \\ 8.24=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+ X_{4}^{2}+ X_{5}^{2}}{N^{2}}-(4.4)^{2} \\ \Rightarrow 8.24=\frac{1^{2}+2^{2}+6^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}}{5}-19.36 \\ \Rightarrow 8.24=\frac{1+4+36+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}-96.8}{5} \\ \Rightarrow 41.2+96.8=41+X_{4}^{2}+ X_{5}^{2} \\ \Rightarrow 138-41=X_{4}^{2}+X_{5}^{2} \\ \Rightarrow X_{4}^{2}+X_{5}^{2}=97 \cdots(2)
समीकरण (1) से X_{4} का मान रखने पर:

\left(3-X_{5}\right)^{2}+X_{5}^{2}=97 \\ \Rightarrow 169+X_{5}^{2}-26 X_{5}+X_{5}^{2}=97 \\ \Rightarrow 2 X_{5}^{2}-26 X_{5}+169-97=0 \\ \Rightarrow 2 X_{5}^{2}-26 X_{5}+72=0 \\ \Rightarrow X_{5}^{2}-13 X_{5}+36=0 \\ \Rightarrow X_{5}^{2}-9 X_{5}-4 X_{5}+36=0 \\ \Rightarrow X_{5}\left(X_{5}-9\right) -4\left(X_{5}-9\right)=0 \\ \Rightarrow \left(X_{5}-4\right)\left(X_{5}-9\right)=0 \\ \Rightarrow x_{5}=4,5
यदि X_{5}=4 तो X_{1}=9
यदि X_{5}=5 तो X_{2}=8 (असंभव है)

Standard Deviation in Statistics

Example:4.संख्याओं के दो समूह प्रस्तुत हैं प्रथम 2,5,8,11,14 तथा द्वितीय 2,8,14
(i)प्रत्येक समूह का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए तथा
(ii)मिश्रित समूह के विचरण गुणांक का परिकलन कीजिए।
(Given two sets of numbers
(i)Find the mean and standard deviation of each set and
(ii)The Coefficient of Variation of the combined set
Solution:(i)\bar{X_{1}}=\frac{2+5+8+11+14}{5}=\frac{40}{5}=8\\ \bar{X}_{2}=\frac{2+8+14}{3}=\frac{24}{3}=8\\ \sigma_{1}=\sqrt{\frac{\Sigma X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\ =\sqrt{\frac{2^{2}+5^{2}+ 8^{2}+ 11^{2}+14^{2}}{5}-8^{2}} \\ =\sqrt{\frac{4+25+64+121+196}{5}-64} \\ =\sqrt{\frac{410}{5}-64}\\ =\sqrt{82.64}\\ =\sqrt{18}\\ =4.2426 \\ \sigma_{1} \approx 4.243\\ \sigma_{2}=\sqrt{\frac{2^{2}+ 8^{2}+ 14^{2}}{3}-(8)^{2}}\\ =\sqrt{\frac{4+64+196}{2}-64}\\ =\sqrt{\frac{264}{3}-64}\\ =\sqrt{88-64}\\=\sqrt{24}\\ =4.898\\ \sigma_{2} \approx 4.90 \quad \sigma_{1}=4.243, \bar{X}_{1}=8, \bar{X}_{2}=8
Solution:(ii)\bar{X}_{12}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}}\\ =\frac{8 \times 5+8 \times 3}{5+3}\\ =\frac{40+24}{8}\\ =\frac{64}{8}\\ \Rightarrow \overline{X}_{12}=8\\ D_{1}= \bar{X}_{1}-\bar{X}_{12}=8-8=0\\ D_{2}=\bar{X}_{2}-\bar{X}_{12}=8-8=0\\ \sigma_{12}=\sqrt{\frac{N_{1} \left(\sigma_{1}^{2}+D_{1}^{2}\right)+N_{2}\left(\sigma_{2}^{2}+D_{2}^{2}\right)}{N_{1}+N_{2}}} \\ \sigma_{12}=\sqrt{\frac{5\left(4 \cdot 243^{2}+0^{2}\right)+3\left(4 \cdot 90^{2}+0^{2}\right)}{5+3}} \\= \sqrt{\frac{5 \times 18.003049+3 \times 24.0)}{8}} \\ =\sqrt{\frac{90.015245+72.03}{8}} \\ =\sqrt{\frac{162.045245}{8}} \\ =\sqrt{20.25565563} \\ \Rightarrow \sigma_{12} =4.5

C.V.=\frac{\sigma_{12}}{\bar{X}_{12}} \times 100 \\ =\frac{4.5}{8} \times 100

C.V=56.25 \%, \sigma_{12}=4.5, \overline{X}_{12}=8
Example:5.किसी उद्योग की दो फर्मों A और B का मासिक मजदूरी विश्लेषण से निम्न परिणाम प्राप्त हुए:
(An analysis of the monthly wages paid to workers in two firms A and B belonging to the same industry gives the following results):

(i) कौनसी फर्म A या B अधिक मजदूरी का भुगतान करती है?
(Which firm A or B pays a larger wages bill?)
(ii)किस फर्म की अधिक विचरणता है?
(In which firm there is greater Variability in wages?)
(iii)दोनों फर्म की कुल मजदूरी का सामूहिक समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Find out mean and standard deviation of the total wages of both the firms.)
Solution:(i) N_{1}=500, \bar{X}_{1}=186, \sigma_{1}^{2}= 1 \\ N_{2}=600 ,\bar{X}_{2}=175, \sigma_{2}^{2}=100
Firm A मजदूरी भुगतान करती है= 500×186=93000
Firm B मजदूरी भुगतान करती है= 600×175=105000
(ii) \sigma_{1}=\sqrt{81}=9, \sigma_{2}=\sqrt{100}=10

C.V. of firm A =\frac{\sigma_{1}}{\bar{X}_{1}} \times 100 \\ =\frac{9}{186} \times 100 \\ =4.838 \% \\ \approx 4.84 \%

C.V of firm B=\frac{\sigma_{2}}{\bar{X}_{2}} \times 100 \\ =\frac{10}{175} \times 100=5.71 \%

(iii)\bar{X}_{AB}=\frac{\bar{X}_{1} N_{1}+\bar{X}_{2} N_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ =\frac{186 \times 500+175 \times 600}{500+600} \\ =\frac{93000+1,05000}{1100} \\ =\frac{198000}{1100} \\ \bar{X}_{AB} =180 \\ D_{1}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{A B}=186-180=6\\ D_{2}=\bar{X}_{2}-\bar{X}_{A B}=175-180=-5\\ \sigma_{12}= \sqrt{\left[\frac{N_{1}\left(\sigma_{1}^{2}+D_{1}^{2}\right)+N_{2} \left(\sigma_{2}^{2}+ D_{2}^{2}\right)}{N_{1}+N_{2}}\right]} \\ =\sqrt{\left[\frac{500\left(81+6^{2}\right)+600\left(100+(-5)^{2}\right)}{500+600}\right]}\\ =\sqrt{\left[\frac{50 \times 117+600 \times 125}{1100}\right]}\\ =\sqrt{58500+75000} \\ =\sqrt{\frac{133500}{1100}} \\ =\sqrt{121.363636}\\ \sigma_{12}=11.016
Firm B में अधिक विचरणता है।
Example:6.बनारस के साड़ी बुनकरों के एक वर्ग के लिए मध्यका और चतुर्थक आय क्रमशः 44.3 रु.,43.0 रु. और 45.9 रु. प्रतिदिन है।मजदूरी का वर्ग विस्तार 40 और 50 रु. के बीच है।वर्ग के 10% बुनकर 42 रु. प्रतिदिन से कम कमाते हैं, 13% 47रु. और उससे अधिक और 6% 48 और अधिक कमाते हैं। इन तथ्यों को एक आवृति बंटन के रूप में प्रस्तुत कीजिए और विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए।
(For a certain group of ‘saree’ weavers of Banaras, the median and quartile earnings per week are Rs. 43.3, 43.0 and 45.9 respectively.The earnings for the group range between Rs. 40 and Rs. 50. Ten percent of the group earn under Rs. 42 per week, 13 percent earn Rs. 47 and over and 6 percent Rs. 48 and over. Put these data in form of frequency distribution and obtain an estimate of the Coefficient variation.)

Solution:-Mean frequency Table

Q.D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2} \\ =\frac{45.9-43}{2}=1.45 \\ \sigma =\frac{3}{2} Q \cdot D=\frac{3}{2} \times 1.45=2.175

C.V.=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100=\frac{2.175}{44.63} \times 100=4.87 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रमाप विचलन के सवाल (Standard Deviation in Statistics Questions):

Standard Deviation in Statistics

(1.)निम्न आँकड़ों से माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following figures find the mean and standard deviation):

(2.)निम्न श्रेणी में माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(In the following series calculate the mean and standard deviation):
शुद्धता की चार्लियर जाँच का भी प्रयोग कीजिए

(Also Apply Charlier’s check):
उत्तर (Answers): (1 .) \bar{X}=35.16 yrs., \sigma=19.76 yrs (2.) \bar{X}=31 yrs, \sigma=15.54 yrs
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) अपकिरण को मापने की
सबसे अधिक लोकप्रिय और वैज्ञानिक रीति है। प्रमाप विचलन व सामूहिक प्रमाप विचलन