1.फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 (Function and Relation Class 11),फलन तथा सम्बन्ध (Function and Relation):

Function and Relation Class 11

फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 (Function and Relation Class 11) के इस आर्टिकल से पूर्व सम्बन्ध तथा फलन के कुछ आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं।इस आर्टिकल में फलन तथा सम्बन्ध के कुछ ओर उदाहरणों के द्वारा इन्हें समझेंगे।
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2.फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Function and Relation Class 11 Solved Examples):

Example:1.सम्बन्ध f,f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}, 0 \leq x \leq 3 \\ 3 x, 3 \leq x \leq 10 \end{array}\right. द्वारा परिभाषित है।
सम्बन्ध g, g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 x, & 2 \leq x \leq 10 \end{array}\right. द्वारा परिभाषित है।

दर्शाइए कि क्यों f एक फलन है और g फलन नहीं है।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, 0 \leq x \leq 3 \\ 3 x, 3 \leq x \leq 10\end{array}\right. \\ (x)=x^{2}, 0 \leq x \leq 3 \\ f(3)=3^{2}=9 \\ f(x)=3 x, 3 \leq x \leq 10 \\ f(3)=3 \times 3=9
अतः f के प्रत्येक अवयव का अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान है।फलतः f फलन है।

g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 x, & 2 \leq x \leq 10 \end{array}\right. \\ g(x)=x^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ g(2)=2^{2}=4 \\ g(x)=3 x, 2 \leq x \leq 10 \\ g(2)=3 \times 2=6
g(2) के दो प्रतिबिम्ब विद्यमान है अर्थात् g(x) के प्रत्येक अवयव का अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान नहीं है।फलतः g फलन नहीं है।
Example:2. f(x)=x^{2} तो \frac{f(1 \cdot 1)-f(1)}{(1 \cdot 1-1)} ज्ञात कीजिए।

Solution: f(1)=x^{2} \\ f(1 \cdot 1)=1 \cdot 1^{2}=1.21 \\ f(1)=1^{2}=1 \\ \frac{f(1.1)-f(1)}{f(1 \cdot 1-1)}=\frac{1.21-1}{1.1-1} \\ =\frac{.21}{.1} \\ =2.1
Example:3.फलन f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12} का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
Solution: f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12} \\ x^{2}-8 x+12=0 \\ \Rightarrow x^{2}-6 x-2 x+12=0 \\ \Rightarrow x[(x-6)-2(x-6)]=0 \\ \Rightarrow(x-2)(x-6)=0 \\ \Rightarrow x-2=0, x-6=0 \\ \Rightarrow x=2,6
अतः फलन f(x) का प्रान्त=R-{2,6} अर्थात् 2 व 6 को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
Example:4. f(x)=\sqrt{(x-1)} द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution: f(x)=\sqrt{(x-1)} \\ x-1=0 \Rightarrow x=1
अतः फलन f(x) का प्रान्त=[1, \infty)
f(x) का परिसर=[0, \infty)
Example:5. f(x)=|x-1| द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रान्त=R-{2,6} तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution:  f(x)=|x-1|
f(x) का प्रान्त=R
f(x) का परिसर=ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

Function and Relation Class 11

Example:6.मान लीजिए कि f=\left\{\left(x,\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right),: x \in R \right\}  R से R में एक फलन है।f का परिसर निर्धारित कीजिए।
Solution: f=\left\{\left(x, \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right): x \in R\right\} \\ f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow y=f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow y+y x^{2}=x^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-x^{2} y=y \\ \Rightarrow x^{2}(1-y)=y \\ \Rightarrow x^{2}=\frac{y}{1-y} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{y}{1-y}} , x \in R \\ \frac{y}{1-y} \geq 0 \Rightarrow 1-y \neq 0 \\ y \geq 0 \Rightarrow 1-y \neq 0
x के सभी वास्तविक मानों के लिए y \geq 0
f का अंश हर से कम है: y<1
f का परिसर=\{y: y \in R, y \in(0,1)\} =कोई भी धन वास्तविक संख्या i.e. 0 \leq x <1
Example:7.मान लीजिए कि f, g : R \rightarrow R क्रमशः f(x)=x+1,g(x)=2x-3 द्वारा परिभाषित है।f+g, f-g और \frac{f}{g} ज्ञात कीजिए।
Solution:f(x)=x+1,g(x)=2x-3
(f+g)x=f(x)+g(x)
=x+1+2x-3
\Rightarrow  (f+g)x=3x-2
(f-g)x=f(x)-g(x)
=x+1-(2x-3)
=x+1-2x+3
\Rightarrow  (f-g)x=-x+4

\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{x+1}{2 x-3}, x \neq \frac{3}{2}
Example:8.मान लीजिए कि f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)} Z से Z में f(x)=ax+b द्वारा परिभाषित एक फलन है जहाँ a,b कोई पूर्णांक हैं।a,b को निर्धारित कीजिए।
Solution:f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)}
f(x)=ax+b

f(1)=a(1)+b \Rightarrow a+b=1 \cdots(1)\\ f(2)=a(2)+b \Rightarrow 2 a+b=3 \cdots(2) \\  a+b=1 \cdots(1) \\ 2 a+b=3 \cdots(2) 
–      –      – घटाने पर
……………

\Rightarrow-a=-2 \Rightarrow a=2
a का मान समीकरण (1) में रखने पर:

2+b=1 \Rightarrow b=1-2 \Rightarrow b=-1
Example:9. R=\{(a, b): a, b \in N \text { तथा } a=b^{2}\} द्वारा परिभाषित N से N में एक सम्बन्ध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है?
(i) (a, a) \in R सभी a \in N
(ii) (a, b) \in R का तात्पर्य है कि (b, a) \in R
(iii) (a, b) \in R,(b, c) \in R का तात्पर्य है कि (a, c) \in R ? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
Solution:(i) (a,a) \in R सभी a \in N, a=b^{2} \\ a \neq a^{2} \Rightarrow 2 \neq 2^{2}
अतः कथन सत्य नहीं है।
Solution:(ii) \left(a, b\right) \in R का तात्पर्य है कि

(b, a) \in R, a=b^{2}
यदि (4,2) \in R \Rightarrow 4=2^{2}
परन्तु 2 \neq 4^{2}
अतः उक्त कथन सत्य नहीं है।
(iii)(a, b) \in R,(b , c) \in R का तात्पर्य है कि

(a, c) \in R, a=b^{2} 
यदि (16,4) \in R \Rightarrow 16=4^{2} \\ (4,2) \in R \Rightarrow 4=2^{2}
परन्तु 16 \neq 2^{2}
अतः उक्त कथन सत्य नहीं है।
Example:10.मान लीजिए कि A={1,2,3,4}, B={1,5,9,11,15,16} और f={(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)} क्या निम्नलिखित कथन सत्य है?
(i)f,A से B में एक सम्बन्ध है।
Solution:f, A से B में एक सम्बन्ध है।
f={(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)}
f में क्रमित युग्म का प्रथम घटक A का अवयव है तथा द्वितीय घटक B का अवयव है।
अतः f,A से B में एक सम्बन्ध है।
(ii)f,A से B में एक फलन है।
Solution:f,A से B में एक फलन है।
f={(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)}
f के क्रमित युग्म में A के प्रत्येक अवयव का अद्वितीय प्रतिबिम्ब B में विद्यमान नहीं है।जैसे:
f(2)=9 तथा f(2)=11
अतः f,A से B में एक फलन नहीं है।
Example:11.मान लीजिए कि f, f=\{(a b, a+b): a, b \in z\} द्वारा परिभाषित Z×Z का एक उपसमुच्चय है।क्या f,Z से Z में एक फलन है?अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।
Solution: f=\{(a b, a+b): a, b \in z\}
f(ab)=a+b
यदि a=-1,b=-2 \Rightarrow ab=2
तो f(2)=-1-2=-3
यदि a=1,b=2 \Rightarrow ab=2
तो f(2)=1+2=3
अतः Z के प्रत्येक अवयव का अर्थात् ab का Z में अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान नहीं है।अतः f,Z से Z में फलन नहीं है।
Example:12.मान लीजिए A={9,10,11,12,13}तथा f: A \rightarrow N ,f(n)=n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है।f का परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution: f: A \rightarrow N ,f(n)=n का महत्तम अभाज्य गुणक
f(9)=9 का महत्तम अभाज्य गुणक=3
f(10)=10 का महत्तम अभाज्य गुणक=5
f(11)=11 का महत्तम अभाज्य गुणक=11
f(12)=12 का महत्तम अभाज्य गुणक=3
f(13)=13 का महत्तम अभाज्य गुणक=13
अतः f का परिसर={3,5,11,13}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 (Function and Relation Class 11),फलन तथा सम्बन्ध (Function and Relation) को समझ सकते हैं।

3.फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Function and Relation Class 11):

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(1.)सम्बन्ध R=\left\{(x, y) \mid x, y \in N \text{ तथा } x+y=0 \right\} का प्रान्त व परिसर ज्ञात करो।
(2.)फलन \frac{1}{\sqrt{(x+1)(x+2)}} का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
(3.)फलन f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}} का प्रान्त क्या है?
उत्तर (Answers):(1.) प्रान्त={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, परिसर={9,8,7,6,5,4,3,2,1}

(2.) (-\infty,-2) \cup (-1, \infty) (3.) R^{-}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 (Function and Relation Class 11),फलन तथा सम्बन्ध (Function and Relation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.फलन तथा सम्बन्ध कक्षा 11 (Function and Relation Class 11),फलन तथा सम्बन्ध (Function and Relation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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