1.लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9),लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of Right Circular Cone):

Volume of Right Circular Cone Class 9

लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9) में बेलन और शंकु का आपस में सम्बन्ध है।शंकु और बेलन के आधार की त्रिज्या एक ही हो और ऊँचाई भी एक ही हो तो शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है।

Volume of Right Circular Cone Class 9

शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h
जहाँ r आधार की त्रिज्या और h शंकु की ऊँचाई है।
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2.लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Volume of Right Circular Cone Class 9 Solved Examples):

जब तक कहा न जाए \pi =\frac{22}{7} लीजिए 

Example:1.उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी 
(i)त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 cm है।
Solution:r=6 cm, h=7 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 7 \\ =264 \mathrm{~cm}^{3}
(ii)त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
Solution:r=3.5 cm, h=12 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12\\ =\frac{3234}{21}\\ =154 \mathrm{~cm}^{3}
Example:2.शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i)त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
Solution:r=7 cm, h=25 cm
ऊँचाई (h)=\sqrt{l^{2}-r^{2}} \\ =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \\ =\sqrt{625-49} \\ =\sqrt{576} \\ \Rightarrow h =24 \mathrm{~cm}
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन (धारिता)=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \\ =\frac{25872}{21} \\ =1232 \mathrm{~cm}^{3} \\ =\frac{1232}{1000} \text { लीटर } \\ =1.232 \text { लीटर }
(ii)ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।
Solution:h=12 cm, l=13 cm

r=\sqrt{l^{2}-h^{2}} \\ =\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}} \\ =\sqrt{169-144} \\ =\sqrt{25} \\ \Rightarrow r =5 \mathrm{~cm}
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन (धारिता)=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12 \\ =\frac{2200}{7} \mathrm{~cm}^{3} \\ =\frac{2200}{7000} \text { लीटर }=\frac{11}{35} \text { लीटर}
Example:3.एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 घनमीटर है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।(\pi=3.14 प्रयोग कीजिए)
Solution:शंकु की ऊँचाई h=15 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h =1570 \mathrm{~cm}^{3} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times 3.14 \times r^{2} \times h =1570  \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{1570 \times 3}{3.14 \times 15} \\ =\frac{4710}{47.1} \\ =100 \\ \Rightarrow r=\sqrt{100} \\ \Rightarrow r=10 \mathrm{~cm}
Example:4.यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48 \pi है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई h=9 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन =\frac{1}{3} \pi r^{2} h=48 \pi \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^{2} \times 9=48 \pi \\ \Rightarrow 3 \pi r^{2}=48 \pi \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{48 \pi}{3 \pi} \\ \Rightarrow r^{2}=16 \\ \Rightarrow r=\sqrt{16} \\ \Rightarrow r=4 \mathrm{~cm}
व्यास=2 r=2×4=8 cm
Example:5.ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आधार का एक गढ्ढा 12 m गहरा है।इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
Solution:शंक्वाकार गढ्ढे की गहराई h=12 m

r=\frac{3.5}{2}
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन (धारिता)=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2} \times 12 \\ =\frac{3234}{84} \\ =38.5 \mathrm{~m}^{3} \\ =385 \mathrm{Hl}

उपर्युक्त उदाहरण द्वारा लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9),लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of Right Circular Cone) को समझ सकते हैं।

Volume of Right Circular Cone Class 9

Example:6.एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 घनसेमी है।यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है तो ज्ञात कीजिए:
(i)शंकु की ऊँचाई
(ii)शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii)शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
Solution:(i)शंकु की ऊँचाई

r=\frac{28}{2}=14 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन \frac{1}{3} \pi r^{2} h=9856 \mathrm{~cm}^{3}\\ \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h=9856\\ h=\frac{9856 \times 3 \times 7}{22 \times 14 \times 14}\\ = \frac{206976}{4312}\\ \Rightarrow h=48 \mathrm{~cm}
(ii)शंकु की तिर्यक ऊँचाई
शंकु की ऊँचाई h=48 cm,शंकु की त्रिज्या r=14 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\ =\sqrt{48^{2}+14^{2}} \\ =\sqrt{2304+196} \\ =\sqrt{2500}\\ l=50 \mathrm{~cm}
(iii)शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi r l\\ =\frac{22}{7} \times 14 \times 50 \\ =\frac{15400}{7} =2200 \mathrm{cm}^{2}
Example:7.भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परित घुमाया जाता है।इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई h=12cm
शंकु की त्रिज्या r=5 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12 \\ =100 \pi \mathrm{cm}^{3}
Example:8.यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिये।प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की ऊँचाई h=5 cm
शंकु की त्रिज्या r=12 cm
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \pi \times 12 \times 12 \times 5 \\ =240 \pi \mathrm{cm}^{3}
दोनों आयतनों में अनुपात =100 \pi:240 \pi =5: 12
Example:9.गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है।इसका आयतन ज्ञात कीजिये।इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाता है।वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Solution:शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या r=\frac{10.5}{2} m
शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई h=3 m
तिर्यक ऊँचाई l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\\ =\sqrt{3^{2}+(5-25)^{2}}\\ =\sqrt{9+275625}\\ =\sqrt{36.5625}\\ =6.046\\ l \approx 6.05
शंक्वाकार ढेरी का आयतन =\frac{1}{3} \pi r ^{2} h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 3 \\ =\frac{1819.125}{21} \\ =86.625 \mathrm{~m}^{3}
शंक्वाकार केनवास का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi r l =\frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.05 \\ =99.825 \mathrm{~m}^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9),लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of Right Circular Cone) को समझ सकते हैं।

3.लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Volume of Right Circular Cone Class 9):

Volume of Right Circular Cone Class 9

(1.)एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या का अनुपात 12:5 है। यदि शंकु का आयतन 8478 घनसेमी है तो शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिये। (\pi=3.14 लीजिए)
(2.)दो शंकुओं के आधार का व्यास समान है। उनकी तिरछी ऊँचाईयों का अनुपात 5:4 है। यदि छोटे शंकु का वक्र पृष्ठ 400 वर्गसेमी है तो बड़े शंकु का वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
(3.)एक शंकु के आकार के टेन्ट में 22 व्यक्ति बैठ सकते हैं। प्रति व्यक्ति बैठने के लिए 2 वर्गमीटर स्थान की आवश्यकता है तथा सांस के लिए 10 घनमीटर हवा की आवश्यकता है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
उत्तर (Answers):(1.)39 cm(2.)500 घनसेमी (3.)15 मीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9),लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of Right Circular Cone)को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9),लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of Right Circular Cone) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Volume of Right Circular Cone Class 9

लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन कक्षा 9 (Volume of Right Circular Cone Class 9) में बेलन और
शंकु का आपस में सम्बन्ध है।शंकु और बेलन के आधार की त्रिज्या एक ही हो और ऊँचाई
भी एक ही हो तो शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है।