1.विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases),अवकल समीकरण में विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases in Differential Equations):

Particular Integral in Special Cases

विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases) ज्ञात करनेवाले के दो आर्टिकल पूर्व में पोस्ट कर चुके हैं।सर्वप्रथम जिसका विशिष्ट समाकल ज्ञात करना है D वाले पदों के गुणनखण्ड करके अथवा आरोही क्रम में रखकर व उपयुक्त प्रसार से अथवा उपयुक्त विधि से विशिष्ट समाकल ज्ञात हो जाएगा।

\frac{1}{f(D)} x^{m} का मान ज्ञात करना, जहाँ m धन पूर्णांक है (Evaluate \frac{1}{f(D)} x^{m}, where m is a positive integer) यदि f(D)=(D-\alpha) तो विशिष्ट समाकल होगा:-
y=\frac{1}{(D-\alpha)} x^{m}=-\frac{1}{\alpha(1-\frac{D}{ \alpha})} x^{m} \\ =-\frac{1}{\alpha}\left(1-\frac{D}{\alpha}\right)^{-1} x^{m} \quad \text { [अरोही घातों के प्रसार करने परं] } \\ =-\frac{1}{\alpha}\left(1 +\frac{D}{\alpha}+\frac{D^{2}}{\alpha^{2}}+\ldots +\frac{D^{m}}{\alpha^{m}}+\ldots . . .\right) x^{m} \\ =-\frac{1}{\alpha}\left(x^{m}+\frac{m x^{m-1}}{\alpha}+\ldots +\frac{m !}{\alpha^{m}}\right)
व्यापक रूप में यदि
f(D)=\left(D-\alpha_{1}\right)\left(D-\alpha_{2}\right) \ldots \left(D-\alpha_{n}\right)
y=\frac{1}{\left(D-\alpha_{1}\right)\left(D-\alpha_{2}\right) \ldots\left(D-\alpha_{n}\right)} x^{m} \\ =\left\{\frac{A_{1}}{D-\alpha_{1}}+\frac{A_{2}}{D-\alpha_{2}}+\ldots +\frac{A_{n}}{D-\alpha_{n}}\right\} \text { [आंशिक भित्रों में तोड़ने पर] } \\ =A_{1} \frac{1}{\left(D-\alpha_{1}\right)} x^{m}+A_{2} \frac{1}{D-\alpha_{2}} x^{m}+\ldots +A_{n} \frac{1}{D-\alpha_{n}} x^{m}
तत्पश्चात् उपर्युक प्रसार से विशिष्ट समाकल ज्ञात हो जाएगा।
तत्पश्चात् उपर्युक प्रसार से विशिष्ट समाकल ज्ञात हो जाएगा ।
टिप्पणी 1. प्रसार (expansion) करते समय यह ध्यान देने योग्य है कि D की n वीं घात से अधिक घात वाले पदों को लिखना व्यर्थ होगा, क्योंकि उनकी x^{n} के ऊपर संक्रिया करने पर परिणाम शून्य प्राप्त होगा ।
टिप्पणी 2. \frac{1}{(D-\alpha)} Q(x)=-\frac{1}{\alpha}\left[1+\frac{D}{\alpha}+\frac{D^{2}}{\alpha^{2}}+\ldots \ldots\right] Q(x)
लिखना उचित है, क्योंकि यह देखा जा सकता है कि
(D-\alpha)\left\{-\frac{1}{\alpha}\left[1+\frac{D}{\alpha}+\frac{D^{2}}{\alpha^{2}}+\ldots\right] Q(x)\right\}=Q(x)
जैसा कि होना चाहिए ।
टिप्पणी 3. हम जानते हैं कि \{f(D)\}^{-1} का D की घातों में प्रसार वहीं होगा चाहे प्रथम हम इसको इसके आंशिक भित्रों में तोड़कर प्रत्येक पद का प्रसार करें या हम इसका प्रसार अन्यथा करें।
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2.विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल के साधित उदाहरण (Particular Integral in Special Cases Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following Differential Equations):
Example:1. \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=x^{2}
Solution:\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=x^{2}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
\left(D^{3}+3 D^{2}+2 D\right) y=x^{2} जहाँ D=\frac{d}{d x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=C_{1}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2x} \\ P.I.=\frac{1}{D(D+1)(D+2)} x^{2} \\ = \frac{1}{D\left(D^{2}+3 D+2 \right)} x^{2} \\ =\frac{1}{2 D\left(1+\frac{3}{2} D+\frac{1}{2} D^{2}\right)} x^{2}\\ =\frac{1}{2 D}\left[1+\frac{3}{2} D+\frac{1}{2} D^{2}\right]^{-1} x^{2} \\ =\frac{1}{2 D}\left[1-\frac{3}{2} D-\frac{1}{2} D^{2}+\left(\frac{3}{2} D+\frac{1}{2} D^{2}\right)^{2}-\cdots\right] x^{2} \\ =\frac{1}{2D} \left[1-\frac{3}{2} D-\frac{1}{2} D^{2}+\frac{9}{4} D^{2}-\cdots \right] x^{2} \\ =\frac{1}{2 D}\left[1-\frac{3}{2} D+\frac{7}{4} D^{2}- \cdots\right] x^{2} \\ =\frac{1}{2 D}\left[x^{2}-3 x-\frac{7}{2}\right] \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}-\frac{3 x^{2}}{4}+\frac{7}{4} x \\ =\frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+\frac{7}{4} x \\ P.I=\frac{1}{12}\left(2 x^{3}-9 x^{2}+21 x\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I 

\Rightarrow y=C_{1}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2 x}+\frac{1}{12}\left(2 x^{3}-9 x^{2}+21 x\right)
Example:2. \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+8 y=x
Solution: \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+8 y=x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{3}+2 D^{2}+4 D+8\right) y=x \\ \Rightarrow \left[D^{2}(D+2)+4(D+2)\right] y=x \\ \Rightarrow (D+2)\left(D^{2}+4\right) y=x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F. =C_{1} e^{-2 x}+C_{2} \cos 2 x+c_{3} \sin 2 x \\ P.I. =\frac{1}{(D+2)\left(D^{2}+4\right)} x \\ =\frac{1}{\left(D^{3}+2 D^{2}+4 D+8\right)} x \\ =\frac{1}{8\left(1+\frac{D}{2}+\frac{1}{4} D^{2}+\frac{1}{8} D^{3}\right)}x \\ =\frac{1}{8}\left[1+\frac{D}{2}+\frac{1}{4} D^{2}+\frac{1}{8} D^{3}\right]^{-1} x \\ =\frac{1}{8}\left[1-\frac{D}{2}-\frac{1}{4} D^{2}-\frac{1}{8} D^{3}+\left(\frac{D}{2}+\frac{1}{4} D^{2}+\frac{1}{8} D^{3}\right)^{2}-\cdots \right]x \\ =\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{2}\right) \\ P.I.=\frac{1}{16}(2 x-1)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=C.F.+P.I.

y=C_{1} e^{-2 x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x+\frac{1}{16}(2 x-1)
Example:3. \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}+y=x
Solution:\frac{d^{3} y}{d x^{3}}-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}+y=x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{3}-D^{2}-D+1\right) y=x \\ \Rightarrow {\left[D^{2}(D-1)-1(D-1)\right] y=x } \\ \Rightarrow (D-1)\left(D^{2}-1\right) y=x \\ \Rightarrow (D-1)(D-1)(D+1) y=x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

(m-1)(m-1)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=1,1,-1 \\ C.F.=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{x}+C_{3} e^{-x} \\ P.I. =\frac{1}{(D-1)^{2}(D+1)} x \\ =\frac{1}{\left(D^{3}-D-D+1\right)} x \\ =\left(1-D-D^{2}+ D^{3} \right)^{-1} x \\ =\left[1+D+D^{2}-D^{3}+\left(-D-D^{2}+D^{3}\right)^{2}-\cdots \right]x \\ =x+1 \\ \Rightarrow P.I.=x+1
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{x}+C_{3} e^{-x}+x+1
Example:4. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=x^{2}+e^{x}+\cos 2 x
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=x^{2}+e^{x}+\cos 2 x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{2}-4 D+4\right) y=x^{2}+e^{x}+\cos 2 x \\ \Rightarrow(D-2)^{2} y=x^{2}+e^{x}+\cos 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

(m-2)^{2} =0 \\ \Rightarrow m =2,2 \\ C.F =\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{2 x} \\ P.I.=\frac{1}{(D-2)^{2}}\left(x^{2}+e^{x}+\cos 2 x\right) \\ =\frac{1}{(D-2)^{2}}x^{2}+\frac{1}{(D-2)^{2}} e^{x}+\frac{1}{(D-2)^{2}} \cos 2 x \\ =\frac{1}{D^{2}-4 D+4} x^{2}+\frac{1}{(D-2)^{2}} e^{x}+\frac{1}{D^{2}-4 D+4} \cos 2 x \\ =\frac{1}{4\left(1-D+\frac{D^{2}}{4}\right) }x^{2}+e^{x}+\frac{1}{(2i)^{2}-4 D+4} \cos 2 x \\ =\frac{1}{4}\left(1-D+\frac{D^{2}}{4}\right)^{-1} x^{2}+e^{x}+\frac{1}{4 i^{2}-4 D+4} \cos 2 x \\ =\frac{1}{4}\left[1+D-\frac{D^{2}}{4}+\left(-D+\frac{D^{2}}{4}\right)^{2}-\cdots\right] x^{2}+e^{x}+\frac{1}{-4-4 D+4} \cos 2x \\ =\frac{1}{4}\left[x^{2}+2 x-\frac{1}{2}+2\right]+e^{x}+\frac{1}{-4 D} \cos 2 x \\ =\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x+\frac{3}{2}\right)+e^{x}+\frac{1}{-4D} \cos 2 x \\ =\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x+\frac{3}{2}\right)+e^{x}-\frac{1}{8} \sin 2x \\ P.I.=\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x+\frac{3}{2}\right)+e^{x}-\frac{1}{8} \sin 2x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{2 x}+\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x+\frac{3}{2}\right)+e^{x}-\frac{1}{8} \sin 2 x
Example:5. \left(D^{2}+2 D+2\right) y=x^{2}
Solution: \left(D^{2}+2 D+2\right) y=x^{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=e^{-x}\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)\\ P.I=\frac{1}{D^{2}+2 D+2} x^{2} \\ P.I= \frac{1}{D^{2}+2 D+2} x^{2} \\ = \frac{1}{2\left(1+D+\frac{D^{2}}{2}\right)} x^{2} \\ = \frac{1}{2}\left( 1+D+\frac{D^{2}}{2}\right)^{-1} x^{2} \\ = \frac{1}{2}\left[1-D-\frac{D^{2}}{2}+\left(D+\frac{D^{2}}{2}\right)^{2}- \cdots\right]x^{2} \\ =\frac{1}{2}\left(x^{2}-2 x+1\right) \\ =\frac{1}{2}(x-1)^{2} \\ \Rightarrow P.I.= \frac{1}{2}(x-1)^{2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =e^{-x}\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)+\frac{1}{2}(x-1)^{2}
Example:6. \left(D^{2}+1\right) y=e^{-x}+\cos x+x^{3}
Solution: \left(D^{2}+1\right) y=e^{-x}+\cos x+x^{3}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+1 =0 \\ \Rightarrow m =\pm i \\ C.F.=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x \\ P.I.=\frac{1}{D^{2}+1}\left[e^{-x}+\cos x+x^{3}\right] \\ = \frac{1}{D^{2}+1} e^{-x}+\frac{1}{D^{2}+1} \cos x+\frac{1}{D^{2}+1} x^{3} \\ =e^{-x} \cdot \frac{1}{(-1)^{2}+1}+R.P. \frac{1}{(D+i)(D-i)} e^{i x} +\left(1+D^{2} \right)^{-1} x^{3}\\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\text{R.P.} \frac{1}{(i+i)(D-i)} e^{i x}+\left(1-D^{2}+D^{4}- \cdots \right)x^{3} \\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\text{R.P.} \frac{1}{2 i} \cdot \frac{x}{11} e^{i x}+x^{3}-6 x +6 \\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\text{R.P.} \frac{x \cos x+i x \sin x}{2 i}+x^{3}-6x+6 \\ =\frac{1}{2} e^{x}+\text{R.P.} \left[-\frac{1}{2}(x \cos x+i x \sin x)\right]+ x^{3}-6 x+6 \\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\text{R.P.} \left(-\frac{i}{2} x \cos x-\frac{i^{2}}{2} x \sin x\right)+x^{3}-3 x^{2}+6 \\ \Rightarrow P.I.=\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{1}{2} x \sin x+x^{3}-6x+6
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

Particular Integral in Special Cases

Example:7. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-2 y=x+\sin x
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-2 y=x+\sin x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{2}+D-2\right) y=x+\sin x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-2 x} \\ P.I.=\frac{1}{D^{2}+D-2}(x+\sin x) \\ =\frac{1}{D^{2}+D-2} x+\frac{1}{D^{2}+D-2} \sin x \\ =\frac{1}{-2\left(1-\frac{D}{2}-\frac{D^{2}}{2}\right)} x+\frac{1}{i^{2}+D-2} \sin x \\ =-\frac{1}{2}\left[1-\frac{D}{2}-\frac{D^{2}}{2}\right]^{-1} x+\frac{1}{-1+D-2} \sin x \\ =-\frac{1}{2}\left[1+\frac{D}{2}+\frac{D^{2}}{2}-\left(\frac{D}{2}+\frac{D^{2}}{2}\right)^{2}-\cdots\right] x+\frac{1}{D-3} \sin x \\ =-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\text{I.P.} \frac{e^{i x}}{\left(i-3\right)} \\ =-\frac{1}{4}(2 x+1)+\text{I.P.} \frac{(i+3)}{(i-3)(i+3)} e^{i x} \\ =-\frac{1}{4}(2 x+1)+\text{I.P.} \frac{(i+3)(\cos x+i \sin x)}{i^{2}-9} \\ =-\frac{1}{4} (2 x+1) +\text{I.P.} \frac{[(3 \cos x-\sin x)+i(\cos x+3 \sin x)]}{-1-9} \\ =-\frac{1}{4} (2x+1)-\frac{1}{10}(\cos x+3 \sin x) \\ \Rightarrow P .I.=-\frac{1}{4} (2x+1)-\frac{1}{10}(\cos x+3 \sin x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-2 x}-\frac{1}{4}(2 x+1)-\frac{1}{10}(\cos x+3 \sin x)
Example:8. \left(D^{2}-5 D+6\right) y=x
Solution:\left(D^{2}-5 D+6\right) y=x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=C_{1} e^{2x}+C_{2} e^{3 x} \\ P.I=\frac{1}{D^{2}-5 D+6} x\\ =\frac{1}{6} \frac{1}{\left(1-\frac{5}{6} D+\frac{D^{2}}{6}\right)} x \\ =\frac{1}{6}\left(1-\frac{5}{6} D+\frac{D^{2}}{6}\right)^{-1} x \\ =\frac{1}{6}\left[1+\frac{5}{6} D-\frac{D^{2}}{6}+\left(\frac{-5}{6} D+\frac{D^{2}}{6}\right)^{2}-\cdots\right]x \\ =\frac{1}{6}\left(x+\frac{5}{6}\right) \\ =\frac{x}{6}+\frac{5}{36}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{3 x}+\frac{x}{6}+\frac{5}{36}
Example:9. \left(D^{2}-2 D+3\right) y=\cos x+x^{2}
Solution: \left(D^{2}-2 D+3\right) y=\cos x+x^{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F. =C_{1} e^{x} \cos \left(\sqrt{2} x+C_{2}\right)\\ P.I.=\frac{1}{D^{2}-2 D+3}\left(\cos x+x^{2} \right)\\ =\frac{1}{D^{2}-2 D+3} \cos x+\frac{1}{D^{2}-2 D+3} x^{2}\\ =\frac{1}{i^{2}-2 D+3} \cos x+\frac{1}{3\left(1-\frac{2 D}{3}+\frac{D^{2}}{3}\right)} x^{2}\\ =\frac{1}{-1-2 D+3} \cos x+\frac{1}{3}\left(1-\frac{2 D}{3}+\frac{D^{2}}{3}\right)^{-1} x^{2} \\ =-\frac{1}{2(D-1)} \cos x+ \frac{1}{3}\left[1+\frac{2 D}{3}-\frac{D^{2}}{3}+\left(-\frac{2D}{3}+\frac{D^{2}}{3}\right)^{2}-\cdots\right] x^{2} \\ \\ =-\frac{1}{2} \text{R.P.} \frac{e^{i x}}{(i-1)}+\frac{1}{3}\left[1+\frac{2 D}{3}-\frac{D^{2}}{3}+\frac{4 D^{2}}{9}-\cdots\right] x^{2} \\ =-\frac{1}{2} \text{R.P.} \frac{(i+1)(\cos x+i \sin x)}{(i-1)(i+1)}+\frac{1}{3}\left[1+\frac{2 D}{3}-\frac{1}{3} D^{2}-\cdots\right] x^{2} \\ =-\frac{1}{2} \text{R.P.} \frac{[(\cos x-\sin x)+i(\cos x+\sin x)]}{i^{2}-1} \frac{[x^{2}+\frac{4 x}{3}+\frac{2}{9}]}{3} \\ \Rightarrow P.I=\frac{1}{4}(\cos x-\sin x)+x^{2}+\frac{4 x}{3}+\frac{2}{9}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{x} \cos \left(\sqrt{2} x+C_{2}\right)+\frac{1}{4}(\cos x-\sin x)+\frac{1}{27}\left(3 x^{2}+12 x+2\right)
Example:10. \frac{d^{4} y}{d x^{4}}-a^{4} y=x^{4}
Solution: \frac{d^{4} y}{d x^{4}}-a^{4} y=x^{4}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{4}-a^{4}\right) y=x^{4}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{-a x}+C_{3} \cos a x+C_{4} \sin a x \\ P.I =\frac{1}{D^{4}-a^{4}} x^{4}=\frac{1}{-a^{4}\left(1-\frac{D^{4}}{a^{4}}\right)} x^{4} \\ =-\frac{1}{a^{4}}\left[1-\frac{D^{4}}{a^{4}}\right]^{-1} x^{4} \\ =-\frac{1}{a^{4}}\left[1+\frac{D^{4}}{a^{4}}-\left(\frac{D^{4}}{a^{4}}\right)^{2}+ \cdots \right]x^{4} \\ =-\frac{1}{a^{4}}\left[1+\frac{D^{4}}{a^{4}}-\frac{D^{8}}{a^{8}}+ \cdots\right] x^{4} \\ \Rightarrow P.I.=-\frac{1}{a^{4}}\left(x^{4}+24\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{-a x}+C_{3} \cos a x+C_{3} \sin a x-\left(\frac{x^{4}}{a^{4}}\right)-\left(\frac{24}{a^{4}}\right)
Example:11. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=\sin ^{2} x
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 y=\frac{1-\cos 2 x}{2}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{2}+4\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}+4=0 \\ \Rightarrow m =\pm 2i \\ P.I.=C_{1} \cos \left(2 x+C_{2}\right) \\ P.I.=\frac{1}{D^{2}+4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x\right) \\ =\frac{1}{D^{2}+4}\left(\frac{1}{2} e^{0 \cdot x}\right)-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{D^{2}+4} \cos 2 x \\ =\frac{1}{8}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} \sin 2 x \\ =\frac{1}{8}-\frac{x}{8} \sin 2 x \\ \Rightarrow P.I.=-\frac{1}{8}(x \sin 2 x-1)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} \cos \left(2 x+C_{2}\right)-\frac{1}{8}( x \sin 2x-1)
Example:12.  \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+y=e^{x}+x^{2}-\sin x
Solution:\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+y=e^{x}+x^{2}-\sin x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^{2}+2 D+1\right) y=e^{2 x}+x^{2}-\sin x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-x} \\ \text { P.I. }=\frac{1}{D^{2}+2 D+1}\left(e^{x}+x^{2}-\sin x\right) \\ \text { P.I. }=\frac{1}{D^{2}+2 D+1}\left(e^{x}+x^{2}-\sin x\right) \\ =\frac{1}{D^{2}+2 D+1} e^{x}+\frac{1}{D^{2}+2 D+1} x^{2} -\frac{1}{D^{2}+2 D+1} \sin x \\ =\frac{1}{1^{2}+2 \times 1+1} e^{x}+\left(1+2 D+D^{2}\right)^{-1} x^{2}-\frac{1}{(D+1)^{2}} \sin x \\ =\frac{1}{4} e^{x}+\left[1-2 D-D^{2}+\left(2 D+D^{2}\right)^{2}- \cdots x^{2} \right]-\text{I.P} \frac{1}{ D^{2}+2 D+1}e^{i x} \\ =\frac{1}{4} e^{x}+\left(1-2 D-D^{2}+4 D^{2} \cdots \right) x^{2}- \text{I.P} \frac{1}{ i^{2}+2 D+1}e^{i x}\\ P.I=\frac{1}{4} e^{x}+\left(1-2D+3 D^{2}-\cdots\right) x^{2}-\frac{\sin x }{2 D} \\ \Rightarrow P.I=\frac{1}{4} e^{x}+x^{2}-4 x+6+\frac{1}{2} \cos x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-x}+\frac{1}{4} e^{x}+x^{2}-4 x+6+\frac{1}{2} \cos x
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases),अवकल समीकरण में विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases in Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल की समस्याएँ (Particular Integral in Special Cases Problems):

Particular Integral in Special Cases

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following Differential Equations):

(1.) \left(D^{4}+D^{2}+16\right) y=16 x^{2}+256

(2.) \left(D^{2}+1\right) y=\sin 3 x-\cos ^{2} \frac{1}{2} x
(3.)If \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{g}{b}(x-a)=0 ,(a,b and g being positive numbers) and x=a’ and \frac{dx}{dt}=0 when t=0, Show that x=a+(a^{\prime}-a) \cos \left ( \sqrt{\frac{g}{b}t} \right )
उत्तर (Answers): (1.) y=e^{-\frac{1}{2} x \sqrt{7}}\left[C_{1} \cos \left(\frac{3}{2}\right) x+C_{2} \sin \left(\frac{3}{2}\right) x\right]+e^{\frac{1}{2} x \sqrt{7} } \left[C_{3} \cos \left(\frac{3}{2}\right) x+C_{4} \sin \left(\frac{3}{2}\right) x\right]+x^{2}+\frac{127}{8}

(2.)  y=C_{1} e^{-x}+e^{\frac{x}{2}} \cdot\left[C_{2} \cos \left(\frac{1}{2} x \sqrt{3}\right) +C_{3} \cdot \sin \left(\frac{1}{2} x \sqrt{3}\right)\right]+\frac{1}{730}(\sin 3 x+27 \cos 3 x) -\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases),अवकल समीकरण में विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases in Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases),अवकल समीकरण में विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases in Differential Equations) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकल (Particular Integral in Special Cases) ज्ञात करनेवाले
के दो आर्टिकल पूर्व में पोस्ट कर चुके हैं।सर्वप्रथम जिसका विशिष्ट समाकल ज्ञात करना है