1.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Equations),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus):

• समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Equations) के इस आर्टिकल से पूर्व वक्रों अथवा सरल रेखाओं अथवा दोनों से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल कार्तीय, ध्रुवीय निर्देशांकों, प्राचलिक समीकरणों तथा द्वि-समाकलन से ज्ञात करने के बारे में अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में इन सभी पर आधारित कुछ विशेष सवालों को हल करेंगे।
  
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2.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Quadrature in Integral Equations):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि कोटि x=a,वक्र y^{2}\left(2a-x\right)=x^{3} एवं उसकी अनन्तस्पर्शी के बीच घिरे क्षेत्रफल को ऐसे दो भागों में विभाजित करती है जिसका अनुपात {3\pi}-8:{3\pi}+8 है।
(Prove that ordinate x=a divides the area between the curve y^{2}\left(2a-x\right)=x^{3} and its asymptote in two parts such that their ratio is {3\pi}-8:{3\pi}+8.)

Solution:वक्र का समीकरण:katex]y^{2}\left(2a-x\right)=x^{3}[/katex]
y=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2a-x}}
कोटि 0 से a के बीच क्षेत्रफल=
=_{0}^{a} ydx
=\int_{0}^{a}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2a-x}} dx
\text{Put }x=2a\sin^{2}{\theta}
dx=4a\sin{\theta}\cos{\theta}{d\theta}
जब x=0 तो {\theta}=0
जब x=a तो {\theta}=\frac{\pi}{4}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\left(2a\sin^{2}{\theta}\right)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2a-2a\sin^{2}{\theta}}}\left(4a\sin{\theta}\cos{\theta}\right){d\theta}
=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\left(2\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}\sin^{3}{\theta}\right)}{\sqrt{2a}\sqrt{1-\sin^{2}{\theta}}}\left(4a\sin{\theta}\cos{\theta}\right){d\theta}
=8a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^{3}{\theta}}{\cos{\theta}}\left(\sin{\theta}\cos{\theta}\right){d\theta}
=8a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^{4}{\theta}{d\theta}
=8a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right)^{2}{d\theta}
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cos^{2}{2\theta}-2\cos{2\theta}\right){d\theta}
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[1+\left(\frac{1+\cos{4\theta}}{2}\right)-2\cos{2\theta}\right]{d\theta}
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos{4\theta}-2\cos{2\theta}\right]{d\theta}
=2a^{2}\left[\frac{3}{2}{\theta}+\frac{1}{8}\sin{4\theta}-\sin{2\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

=2a^{2}\left[\frac{3\pi}{8}+0-1+0\right]

=2a^{2}\left(\frac{3\pi}{8}-1\right)

=\frac{a^{2}}{4}\left({3\pi}-8\right)

इसी प्रकार a से 2a के बीच क्षेत्रफल:

x=2a\sin^{2}{\theta}

जब x=a तो {\theta}=\frac{\pi}{4}

जब x=2a तो {\theta}=\frac{\pi}{2}

=2a^{2}\left[\frac{3}{2}{\theta}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{a^{2}}{4}\left[\sin{4\theta}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}-2a^{2}\left[\sin{2\theta}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}

=2a^{2}\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{8}\right)+0-0+2a^{2}
=2a^{2}\left(\frac{3\pi}{8}+1\right)
=\frac{a^{2}}{4}\left({3\pi}+8\right)
अतः दोनों क्षेत्रफलों में अनुपात:
\frac{a^{2}}{4}\left({3\pi}-8\right):\frac{a^{2}}{4}\left({3\pi}+8\right)
{3\pi}-8:{3\pi}+8
Example 2.सिद्ध कीजिए कि वक्र y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right) के लूप का क्षेत्रफल, वक्र और इसकी अनन्तस्पर्शी के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
(Prove that the area of the loop of the curve y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right) is equal to the area between the curve and its asymptote.)

Solution:y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right)
y^{2}=\frac{x^{2}\left(3a-x\right)}{\left(a+x\right)}
y=x\sqrt{\frac{\left(3a-x\right)}{a+x}}
अभीष्ट क्षेत्रफल=2 ×\int_{0}^{3a} ydx
=2 × \int_{0}^{3a}x\sqrt{\frac{\left(3a-x\right)}{a+x}} dx
\text{Put }x=-a+4a\sin^{2}{\theta}
dx=8a\sin{\theta}\cos{\theta}{d\theta}
जब x=0 तो {\theta}=\frac{\pi}{4}
जब x=3a तो {\theta}=\frac{\pi}{2}
=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(-a+4a\sin^{2}{\theta}\right)\\ \sqrt{\frac{3a+a-4a\sin^{2}{\theta}}{a-a+4a\sin^{2}{\theta}}}\left(8a\sin{\theta}\cos{\theta}\right){d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(-1+4\sin^{2}{\theta}\right)\sqrt{\frac{1-\sin^{2}{\theta}}{\sin^{2}{\theta}}}\left(\sin{\theta}\cos{\theta}\right){d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(-1+4\sin^{2}{\theta}\right)\left(\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\right)\sin{\theta}\cos{\theta}{d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(-1+4\sin^{2}{\theta}\right)\cos^{2}{\theta}{d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(-\cos^{2}{\theta}+4\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}\right){d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{2\theta}\right]
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\frac{1+\cos{2\theta}}{2}+\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right]{d\theta}
=16a^{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\cos{2\theta}\right]{d\theta}
=16a^{2}\left[-\frac{\sin{2\theta}}{2}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}

=8a^{2}

अनन्तस्पर्शी x=-a है।अतः अनन्तस्पर्शी की सीमाएँ -a से o होगी।

जब x=-a तो {\theta}=0

जब x=0 तो {\theta}=\frac{\pi}{4}

अतः क्षेत्रफल =16a^{2}\left[-\frac{\sin{2\theta}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

8a^{2}
फलतः दोनों स्थितियों में क्षेत्रफल समान है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि वक्र x^{3}+y^{3}=3axy तथा इसकी अनन्तस्पर्शी के बीच का क्षेत्रफल, इसके लूप के बराबर होता है।
(Prove that the area included between the curve x^{3}+y^{3}=3axy and its asymptote is equal to the area of its loop.)

Solution:x^{3}+y^{3}=3axy
ध्रुवीय निर्देशांकों में परिवर्तन के लिए:
x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}
r^{3}\cos^{3}{\theta}+r^{3}\sin^{3}{\theta}=3ar^{2}\sin{\theta}\cos{\theta}
\Rightarrow{r}=\frac{\left(3a\sin{\theta}\cos{\theta}\right)}{\left(cos^{3}{\theta}\sin^{3}{\theta}\right)}
जब r=0 तो \sin{\theta}\cos{\theta}=0
\sin{\theta}=0,\cos{\theta}=0
\Rightarrow{\theta}=0,\frac{\pi}{2}
अतः लूप का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^{2}{d\theta}
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left(9a^{2}\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}\right)}{\left(cos^{3}{\theta}\sin^{3}{\theta}\right)^{2}}{d\theta}
\cos^{6}{\theta} से अंश व हर को भाग देने पर:
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{9a^{2}\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}}{\left(1+\tan^{3}{\theta}\right)^{2}}
\text{Put }1+\tan^{3}{\theta}=t
3\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}=dt
\text{जब }{\theta}=0 \text{ तो } t=1
\text{जब }{\theta}=\frac{\pi}{2} \text{ तो } t={\infin}
=\frac{3a^{2}}{2}\int_{1}^{\infin}\frac{1}{t^{2}}dt
=\frac{3a^{2}}{2}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\infin}

\frac{3a^{2}}{2}

वक्र और अनन्तस्पर्शी के मध्य क्षेत्रफल= वक्र, अनन्तस्पर्शी और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल+ ∆BOC का क्षेत्रफल+वक्र, अनन्तस्पर्शी तथा y अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल

=2 × वक्र,अनन्तस्पर्शी और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल +∆BOC का क्षेत्रफल …(1)

सममिति से: [वक्र, अनन्तस्पर्शी तथा x-अक्ष के बीच क्षेत्रफल =वक्र, अनन्तस्पर्शी तथा y-अक्ष के बीच क्षेत्रफल] ∆BOC का क्षेत्रफल

=\frac{1}{2}×\text{ OB }×\text{ OC }

अनन्तस्पर्शी x+y+a=0 का ध्रुवीय रूप

r=\frac{-r}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}

{\theta}=\frac{3\pi}{4} तब ध्रुवान्तर रेखा अनन्तस्पर्शी की तरह अनन्त की ओर अग्रसर होती है और जब {\theta}={\pi}, ध्रुवान्तर रेखा शून्य के बराबर और अनन्तस्पर्शी=a अनन्तस्पर्शी पर कोई बिन्दु P लो।OP को मिलाओ। वक्र, अनन्तस्पर्शी तथा x-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल= अनन्तस्पर्शी, ध्रुवान्तर रेखा OP,वक्र तथा x-अक्ष का सीमा का मान जब P\rightarrow{\infin}\text{ या }{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}

=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}

[(अनन्तस्पर्शी,OP तथा x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल)-(ध्रुवान्तर रेखा,OP तथा वक्र के चाप के बीच क्षेत्रफल)]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left[\left\{\frac{1}{4}\int_{\alpha}^{\pi}r^{2}{d\theta}\text{ अनन्तस्पर्शी के लिए }\right\}-\left\{\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}r^{2}{d\theta}\text{ वक्र के लिए }\right\}\right]
\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}[\frac{a^{2}}{2}\int_{\alpha}^{\pi}\frac{d\theta}{\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\right)^{2}}-\frac{9a^{2}}{2}\int_{\alpha}^{\pi}\frac{\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}{d\theta}}{\left(\cos^{3}{\theta}+\sin^{3}{\theta}\right)^{2}}] ….(2)
अब \frac{d\theta}{\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\right)^{2}}

=\int_{\alpha}^{\pi}\frac{\sec^{2}{\theta}{d\theta}}{\left(1+\tan{\theta}\right)^{2}}
\text{Put }\tan{\theta}=t
\Rightarrow{\sec^{2}{\theta}}{d\theta}=dt
\text{जब }{\theta}={\alpha}\text{ तो }t=\tan{\alpha}
\text{जब }{\theta}={\pi}\text{ तो }t=0
=\int_{\tan{\alpha}}^{0}\frac{dt}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}
=\left[-\frac{1}{1+t}\right]_{\tan{\alpha}}^{0}

=\left[\frac{1}{\tan{\alpha}}-1\right]

=-\frac{\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}}

तथा\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}}{\left(\cos^{3}{\theta}+\sin^{3}{\theta}\right)^{2}}

=\int_{\alpha}^{\pi}\frac{\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\theta}}{\left(1+\tan^{3}{\theta}\right)^{2}}
\text{Put }1+\tan^{3}{\theta}=t
3\sec^{2}{\theta}\tan^{2}{\theta}{d\theta}=dt
\text{जब }{\theta}={\alpha}\text{ तो }t=1+\tan^{\alpha}
\text{जब }{\theta}{\pi}\text{ तो }t=1
=\int_{1+\tan^{3}{\alpha}}^{1}\frac{dt}{t^{2}}
=\left[-\frac{1}{t}\right]_{1+\tan^{3}{\alpha}}^{1}

=\left[\frac{1}{1+\tan^{3}{\alpha}}-1\right]

=-\frac{\tan^{3}{\alpha}}{1+\tan^{3}{\alpha}}

(2)से:

=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left[\frac{a^{2}}{2}\left(-\frac{\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}}\right)-\frac{9a^{2}}{2}\left(-\frac{\tan^{3}{\alpha}}{1+\tan^{3}{\alpha}}\right)\right]

=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)\left[\frac{3\tan^{3}{\alpha}}{1+\tan^{3}{\alpha}}-\frac{\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}}\right]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)[\frac{3\tan^{3}{\alpha}\left(1+\tan{\alpha}\right)-\tan{\alpha}\left(1+\tan^{3}{\alpha}\right)}{\left(1+\tan^{3}{\alpha}\right)\left(1+\tan{\alpha}\right)}]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)[\frac{\left(1+\tan{\alpha}\right)[3\tan^{3}{\alpha}-\tan{\alpha}\left(1-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}\right)]}{\left(1+\tan{\alpha}\right)^{2}\left(1-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}\right)}]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)[\frac{2\tan^{3}{\alpha}-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}}{\left(1+\tan{\alpha}\right)\left(1-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}\right)}]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)[\frac{\left(1+\tan{\alpha}\right)\left(2\tan^{2}{\alpha}-\tan{\alpha}\right)}{\left(1+\tan{\alpha}\right)\left(1-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}\right)}]
=\lim_{{\alpha}\rightarrow{\frac{3\pi}{4}}}\left(\frac{a^{2}}{2}\right)[\frac{\tan{\alpha}\left(2\tan{\alpha}-1\right)}{\left(1-\tan{\alpha}+\tan^{2}{\alpha}\right)}]
=\left(\frac{a^{2}}{2}\right)\left(\frac{3}{3}\right)
=\frac{a^{2}}{2}
समीकरण (1) से अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{2a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}
\frac{3}{2}a^{2}
=लूप का क्षेत्रफल
Example:4.सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्त a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1 एवं b^{2}x^{3}+a^{2}y^{2}=1 के बीच उभयनिष्ठ क्षेत्रफल है जहाँ 0<a<b.
(Prove that the area common to the ellipses a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1 and b^{2}x^{3}+a^{2}y^{2}=1 is where 0<a<b.)

Solution:a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1 …(1)
b^{2}x^{3}+a^{2}y^{2}=1 …(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु:
\left(\frac{1}{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}},\frac{1}{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\right)
दीर्घवृत्तों का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल=4 × (प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल)
=4 × (वर्ग CLPM+PLB का क्षेत्रफल+PMB’ का क्षेत्रफल)
परन्तु PLB का क्षेत्रफल=PMB’ का क्षेत्रफल
उभयनिष्ठ क्षेत्रफल= 4 × (वर्ग CLPM का क्षेत्रफल+ 2 × PLB का क्षेत्रफल) …(3)
वर्ग का क्षेत्रफल=PL.CL
=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}
2 × PLB का क्षेत्रफल=2\int_{text{x for L}}^{\text{x for B}} ydx
=2\int_{\text{x for L}}^{\text{x for B}}\frac{1}{ab}\sqrt{\left(\frac{1}{b^{2}}-x^{2}\right)}dx
\text{x for L}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
x for B प्राप्त करने के लिए y=0 रखने पर (दीर्घवृत्त (2) में) तब यह \frac{1}{b} है।
2 × PLB का क्षेत्रफल=
=\frac{2b}{a}\left[\frac{x}{2}\sqrt{\frac{1}{b^{2}}-x^{2}}+\frac{1}{2b^{2}}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{1}{b}}\right)\right]{\frac{1}{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}}}^{\frac{1}{b}}

=\frac{2b}{a}[\frac{1}{2b^{2}}\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2b\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{1}{2b^{2}}\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)]

=\frac{2b}{a}[\frac{1}{2b^{2}}\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)\right)-\frac{a}{2b\left(a^{2}+b^{2}\right)}]

=\frac{2b}{a}[\frac{1}{2b^{2}}\cos^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)-\frac{a}{2b\left(a^{2}+b^{2}\right)}]

=\frac{2b}{a}[\frac{1}{2b^{2}}\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)-\frac{a}{2b\left(a^{2}+b^{2}\right)}]

=\frac{1}{ab}\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}

समीकरण (3) में मान रखने पर:

उभयनिष्ठ क्षेत्रफल=4\left(\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}+\frac{1}{ab}\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)

=\frac{4}{ab}\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)

Example:5.यदि अतिपरवलय \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 का शीर्ष A,केन्द्र O हो और P(x,y) इस पर स्थित कोई बिन्दु हो तो सिद्ध कीजिए कि (If A is the vector,O the centre and P(x,y) be any point on the hyperbola \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 then prove that x=a\cosh\left(\frac{2S}{ab}\right) और (and) x=a\sinh\left(\frac{2S}{ab}\right) जहाँ S त्रिज्यखण्डीय क्षेत्रफल OAP है (Where S is the sectorial area OPA).

Solution:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

अतिपरवलय की प्राचलिक समीकरण

x=a\cosh{\phi},y=b\sinh{\phi}

A बिन्दु पर:

\text{जब }{\phi}=0 \text{ और } \text{P पर }{\phi}={\phi}

S=OAP का त्रिज्यखण्डीय क्षेत्रफल =

\frac{1}{2}\int_{{\phi}=0}^{\phi}\left(x\frac{dy}{d\phi}-y\frac{dx}{d\phi}\right){d\phi}

=\frac{1}{2}\int_{0}^{\phi}\left(a\cosh{\phi}.h\cosh{\phi}-b\sinh{\phi}.a\sinh{\phi}\right){d\phi}
=\frac{ab}{2}\int_{0}^{\phi}.1.{d\phi}
=\frac{ab}{2}\left({\phi}\right)
={\phi}=\frac{2S}{ab}
अतःx=a\cosh\left(\frac{2S}{ab}\right) तथा (and) x=a\sinh\left(\frac{2S}{ab}\right)
Example:6.यदि O लेमीनीस्केट r^{2}=a^{2}\cos{2\theta} का ध्रुव है और PQ इसके दो लूपों की उभयस्पर्शी है तो रेखा PQ एवं वक्र के चापों OP एवं OQ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए
(If O is the pole of the lemniscate r^{2}=a^{2}\cos{2\theta} and PQ is the common tangent to its two loops, then find the area bounded by the line PQ and the arcs OP and OQ of the curves.):

Solution:PQ रेखा x-अक्ष के समान्तर है अर्थात् स्पर्शरेखा PB ,x-अक्ष के साथ कोण बनाती है।
{\psi}={\pi} (बिन्दु P के लिए)
r^{2}=a^{2}\cos{2\theta}
2r\frac{dr}{d\theta}=a^{2}\left(-\sin{2\theta}\right)
\Rightarrow{\frac{dr}{d\theta}}=-\frac{a^{2}\sin{2\theta}}{r}
\Rightarrow{\tan{\phi}}=r\frac{d\theta}{dr}
=-\frac{r×r}{a^{2}\sin^{2}{2\theta}}
=-\frac{a^{2}\cos{2\theta}}{a^{2}\sin{2\theta}}
=-\cot{2\theta}
\tan{\phi}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}+2{\theta}\right)}
\Rightarrow{\phi}=\frac{\pi}{2}+2{\theta}
अवकलन गणित से हम जानते हैं:
{\psi}={\theta}+{\phi}
बिन्दु P पर {\pi}={\theta}+\frac{1}{2}{\pi}+2{\theta}
\Rightarrow{3\theta}=\frac{\pi}{2}
\Rightarrow{\theta}=\frac{\pi}{6}
P का सदिश कोण (Vectorial Angel)=\frac{\pi}{6}
ध्रुवान्तर रेखा (Radius Vector) OP=\sqrt{\left(a^{2}\cos{\left(\frac{2\pi}{6}\right)}\right)}
=\sqrt{\left(a^{2}×\frac{1}{2}\right)}
=\frac{a}{\sqrt{2}}
OP=\frac{a}{\sqrt{2}} तथा \angle{\text{BOP}}=\frac{1}{2}{\pi}-\frac{\pi}{6}
\frac{\pi}{3}
r=0 रखने पर a^{2}\cos{2\theta}=0
\Rightarrow{\theta}=\pm{\frac{\pi}{4}}
रेखा {\theta}=\pm{\frac{\pi}{4}} ध्रुव पर स्पर्शरेखा है।
अभीष्ट क्षेत्रफल=2[∆BOP का क्षेत्रफल -चाप OP तथा ध्रुवान्तर रेखा OP के बीच का क्षेत्रफल]
=2[\left(\frac{1}{2}\text{.OB.BP}\right)-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}r^{2}{d\theta}]
=[\left(\frac{1}{2}\text{.OP.ON}\right)-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}a^{2}\cos{2\theta}{d\theta}]
=2[\left(\frac{1}{2}.\text{ OP }.\sin{\frac{\pi}{6}}.\text{ OP }\cos{\frac{\pi}{6}}\right)-\frac{a^{2}}{2}\left\{\left(\frac{\sin{2\theta}}{2}\right)\right\}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}]
=[\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right).\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right).\frac{1}{2}.\sqrt{3}]-\frac{1}{2}a^{2}\left(\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{\frac{\pi}{3}}\right)
=\frac{1}{8}a^{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\left(2-\sqrt{3}\right)
=\frac{1}{8}a^{2}\left(3\sqrt{3}-4\right)
Example:7.दोनों भागों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए जिनमें कार्डिआइड r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) को परवलय 2a=r\left(1+\cos{\theta}\right) विभाजित करता है।
(Find the ratio of the two parts into which the parabola r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) divides the area of the cardioid 2a=r\left(1+\cos{\theta}\right).)

Solution:r=2a\left(1+\cos{\theta}\right) …(1)
2a=r\left(1+\cos{\theta}\right) …(2)
प्रतिच्छेद बिन्दु हेतु:
2a\left(1+\cos{\theta}\right)=\frac{2a}{\left(1+\cos{\theta}\right)}
\Rightarrow{\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}}=1
\Rightarrow{\left(1+\cos{\theta}\right)}=\pm{1}
\Rightarrow{\theta}=\pm{\frac{\pi}{2}}
सम्पूर्ण कार्डिआइड का क्षेत्रफल=2 × \int_{{\theta}=0}^{\pi}4a^{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}{d\theta}
=4a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\right)^{2}{d\theta}
=16a^{2}\int_{0}^{\pi}\cos^{4}\left(\frac{\theta}{2}\right){d\theta}
\text{Put } {\theta}={2\phi}
{d\theta}=2{d\phi}
\text{जब }{\theta}=0\text{ तो }{\phi}=0
\text{जब }{\theta}={pi}\text{ तो }{\phi}=\frac{\pi}{2}
=32a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}{\phi}{d\phi}

\Rightarrow{32a^{2}}.\left(\frac{3}{4}\right).\frac{1}{2}.\frac{1}{2} {\pi}

=6{\pi}a^{2} …(1)

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=2 × OACBDO का क्षेत्रफल

=2[OACBEO का क्षेत्रफल+OEBDO का क्षेत्रफल] …(2)

OACBEO का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^{2}{d\theta}

परवलय के लिए r=\frac{2a}{1+\cos{\theta}}
OACBEO का क्षैत्रफल=\frac{1}{2}×4a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}}
=\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sec^{4}\left(\frac{\theta}{2}\right){d\theta}
=\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\tan^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\sec^{2}\frac{\theta}{2}{d\theta}
\text{Put }\tan{\frac{\theta}{2}}=t
\Rightarrow{\sec^{2}\frac{\theta}{2}{d\theta}}=2dt
\text{जब }{\theta}=0\text{ तो }t=0
\text{जब }{\theta}=\frac{\pi}{2}\text{ तो }t=1
=a^{2}\int_{0}^{1}\left(1+t^{2}\right)dt
=a^{2}\left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}

=\frac{4a^{2}}{3} …(3) और OEBDO का क्षेत्रफल=

\frac{1}{2}\int{\frac{\pi}{2}}^{\pi}r^{2}{d\theta}\left(\text{ कार्डिआइड से }r=2a\left(1+\cos{\theta}\right)\right)

=\frac{1}{2}×4a^{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}{d\theta}
=2a^{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(1+2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}\right){d\theta}
=2a^{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[1+2\cos{\theta}+\left(\frac{1+\cos{2\theta}}{2}\right)\right]{d\theta}
=2a^{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\frac{3}{2}+2\cos{\theta}+\frac{1}{2}\cos{2\theta}\right){d\theta}
=2a^{2}\left[\frac{3}{2}{\theta}+2\sin{\theta}+\frac{1}{4}\sin{2\theta}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}

=2a\left[\frac{3}{2}{\pi}-\frac{3}{4}{\pi}-2\right]

=2a^{2}\left(\frac{3}{4}{\pi}-2\right)

समीकरण (2) से छायांकित भाग का क्षेत्रफल: =2\left[\frac{4}{3}a^{2}+2a^{2}\left(\frac{3}{4}-2\right)\right]

=a^{2}\left({3\pi}-\frac{16}{3}\right)

=\frac{1}{3}a^{2}\left(9{\pi}-16\right)

Example:8.सिद्ध कीजिए कि वक्र x^{3}+y^{3}=3axy के लूप का क्षेत्रफल वक्र r^{2}=a^{2}\cos{2\theta} के लूप का क्षेत्रफल का तीन गुना है। (Prove that the area of the curve x^{3}+y^{3}=3axy is three times the area of the loops of the curve r^{2}=a^{2}\cos{2\theta}.)

Solution:x^{3}+y^{3}=3axy

ध्रुवीय निर्देशांकों में परिवर्तन के लिए:

x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}

r^{3}\cos^{3}{\theta}+r^{3}\sin^{3}{\theta}=3ar^{2}\sin{\theta}\cos{\theta} \Rightarrow{r}=\frac{\left(3a\sin{\theta}\cos{\theta}\right)}{\left(cos^{3}{\theta}\sin^{3}{\theta}\right)}

जब r=0 तो \sin{\theta}\cos{\theta}=0

\sin{\theta}=0,\cos{\theta}=0 \Rightarrow{\theta}=0,\frac{\pi}{2}

अतः लूप का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int{0}^{\frac{\pi}{2}}r^{2}{d\theta}

=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left(9a^{2}\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}\right)}{\left(cos^{3}{\theta}\sin^{3}{\theta}\right)^{2}}{d\theta}
\cos^{6}{\theta} से अंश व हर को भाग देने पर:
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{9a^{2}\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}}{\left(1+\tan^{3}{\theta}\right)^{2}}
\text{Put }1+\tan^{3}{\theta}=t
3\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}=dt
\text{जब }{\theta}=0 \text{ तो } t=1
\text{जब }{\theta}=\frac{\pi}{2} \text{ तो } t={\infin}
=\frac{3a^{2}}{2}\int_{1}^{\infin}\frac{1}{t^{2}}dt
=\frac{3a^{2}}{2}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\infin} \frac{3a^{2}}{2}

एक लूप का क्षेत्रफल=r^{2}=a^{2}\cos{2\theta}

अभीष्ट क्षेत्रफल=2\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{r=0}^{f\left({\theta}\right)}r{d\theta}dr

=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{a\sqrt{\cos{2\theta}}}rdr{d\theta}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[r^{2}\right]_{0}^{a\sqrt{\cos{2\theta}}}{d\theta}

=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a^{2}\cos{2\theta}{d\theta}

=a^{2}\left[\frac{\sin{2\theta}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

=\frac{a^{2}}{2}{1}

=\frac{a^{2}}{2}

Example:9.सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्त जिसकी a तथा b अर्द्ध-अक्ष है,के दीर्घाक्ष एवं नाभि से खींची गई ध्रुवान्तर रेखा के बीच त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \frac{1}{2}ab\left({\theta}-e\sin{\theta}\right) है, जहाँ उस बिन्दु का उत्केन्द्र कोण है जिस तक ध्रुवान्तर रेखा खींची गई है। (Prove that the area of the sector of the ellipse of semi-axes a and b between the major axis and a radius vector from the focus is \frac{1}{2}ab\left({\theta}-e\sin{\theta}\right) where is the eccentric angle of the point to which the radius vector is drawn.)

Solution:S नाभि है तथा P बिन्दु इस प्रकार है कि SP ध्रुवान्तर रेखा है।नाभि S के निर्देशांक (ae,0) तथा P के निर्देशांक \left(a\cos{\theta},b\sin{\theta}\right) है।O मूलबिन्दु तथा OA व OB क्रमश: x व y है।

अभीष्ट क्षेत्रफल=SAPS का क्षेत्रफल

=NAP का क्षेत्रफल+∆SNP का क्षेत्रफल …(1)

∆SNP का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}×\text{ SN }× \text{ PN }

=\frac{1}{2}\left(a\cos{\theta}-ae\right)×b\sin{\theta}

=\frac{1}{2}ab\left(\cos{\theta}-e\right)×\sin{\theta}

NAP का क्षेत्रफल=\int_{a\cos{\theta}}^{a} ydx

\int_{a\cos{\theta}}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{\left(a^{2}-x^{2}\right)}dx
\frac{b}{a}\left[\frac{x}{2}\sqrt{\left(a^{2}-x^{2}\right)}+\frac{1}{2}a^{2}\sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_{a\cos{\theta}}^{a}
=\left(\frac{b}{a}\right)[\frac{1}{2}×\frac{1}{2}{\pi}-\frac{1}{2}a\cos{\theta}\sqrt{\left(a^{2}\sin^{2}{\theta}\right)}-\frac{1}{2}a^{2}\sin^{-1}\left(\cos{\theta}\right)]
=\left(\frac{b}{a}\right)[\frac{1}{4}{\pi}-\frac{a^{2}}{2}\sin{\theta}\cos{\theta}-\frac{1}{2}a^{2}\sin^{-1}[\sin{\left(\frac{\pi}{2}-{\theta}\right)}]
=\left(\frac{b}{a}\right)\frac{1}{4}a^{2}[{\pi}-2\sin{\theta}\cos{\theta}-2\left(\frac{\pi}{2}-{\theta}\right)
=\frac{1}{2}ab\left({\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta}\right)
=\frac{1}{2}ab\left({\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta}\right)+\frac{1}{2}ab\left(\cos{\theta}-e\right)×\sin{\theta}
=\frac{1}{2}ab\left({\theta}-e\sin{\theta}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Equations),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) को समझ सकते हैं।

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3.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Equations),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Equations),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Quadrature in Integral Equations

समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन
(Quadrature in Integral Equations)

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