Logarithmic Differentiation Class 12
1.लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12),लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation):
लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12) में हम एक विशिष्ट वर्ग के फलनों का अवकलन का अध्ययन करेंगे।यदि कोई फलन निम्न रूप का हो अथवा उस तरह का हो तो इसके लघुगणक अवकलन की क्रियाविधि होगी:
y=f(x)=[u(x)]^{v(x)}
लघुगणक (e आधार पर) लेने पर उपर्युक्त को निम्नलिखित प्रकार से पुनः लिख सकते हैं:
\log y=v(x) \cdot \log [u(x)]
श्रृंखला नियम के प्रयोग द्वारा:
\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=v(x) \cdot \frac{1}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)]
इसका तात्पर्य है कि:
\frac{d y}{d x}=y\left[\frac{v(x)}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)]\right]
टिप्पणी:इस विधि में ध्यान देने की मुख्य बात यह है कि f(x) तथा u(x) को सदैव धनात्मक होना चाहिए अन्यथा उनके लघुगणक परिभाषित नहीं होंगे।इस प्रक्रिया को लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) कहते हैं।
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2.लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Logarithmic Differentiation Class 12 Solved Examples):
1 से 11 तक सवालों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Example:1. \cos x .\cos 2 x.\cos 3 x
Solution: y=\cos x .\cos 2 x.\cos 3 x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y =\log [\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x] \\ \Rightarrow \log y =\log (\cos x)+\log (\cos 2 x)+\log (\cos 3 x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} =\frac{1}{\cos x}(-\sin x)+\frac{1}{\cos 2 x}(-2 \sin 2 x) +\frac{1}{\cos 3 x}(-3 \sin 3 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-y\left[\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{2 \sin 2 x}{\cos 2 x}+\frac{3 \sin 3 x}{\cos x x}\right] \\ =-\cos x \cos 2 x \cos 3 x(\tan x+2 \tan 2 x+3 \tan 3 x)
Example:2. \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}
Solution: y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y= \log \left[\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\right] \\ \log y=\frac{1}{2} \log \left[\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}\right] \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log [(x-1)(x-2)]-\frac{1}{2} \log [(x-3)(x-4)(x-5)] \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log (x-1)+\frac{1}{2} \log (x-2)-\frac{1}{2} \log (x-3)-\frac{1}{2} \log (x-4)-\frac{1}{2} \log (x-5)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-3}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-5} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{2}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}\right]
Example:3. (\log x)^{\cos x}
Solution: y=(\log x)^{\cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log [(\log x)]^{\cos x} \\ \Rightarrow \log y=\cos x \log (\log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\cos x \frac{d}{d x} \log (\log x)+\log (\log x) \frac{d}{d x}(\cos x) \\ =\cos x \frac{1}{\log x} \frac{d}{d x}(\log x)+\log (\log x)(-\sin x) \\ \Rightarrow \frac{dy}{d x}=y\left[ \frac{\cos x}{\log x} \cdot \frac{1}{x}-\sin x\log (\log x)\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=(\log x)^{\cos x}\left[\frac{\cos x}{x \log x}-\sin x \log (\log x)\right]
Example:4. x^{x}-2^{\sin x}
Solution: y=x^{x}-2^{\sin x}
माना x^{x}=u,2^{\sin x}=v
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log x^{x}=\log u, \quad \log \left(2^{\sin x}\right)=\log v \\ \Rightarrow x \log x=\log u, \quad \log v=\sin x (\log 2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=x \cdot \frac{1}{x}+1 \cdot \log x \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} =u [1+\log x] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} =x^{x}[1+\log x] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x} =\log 2 (\cos x) \\ \frac{d v}{d x} =v \cdot \log 2 \cos x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2^{\sin x} \cos x \log 2 \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y =u-v \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=x^{x}[1+\log x]-2^{\sin x} \cos x \log 2
Example:5. (x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot(x+5)^{4}
Solution: y=(x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot(x+5)^{4}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log \left[(x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot (x+5)^{4}\right] \\ \log y =\log (x+3)^{2}+\log (x+4)^{3}+\log (x+5)^{4} \\ \Rightarrow \log y =2 \log (x+3)+3 \log (x+4)+4 \log (x+5)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left[\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=(x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot(x+5)^{4}\left[\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5}\right]
Example:6. \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}
Solution:y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \cdots(1)
माना u=(x+\frac{1}{x})^{x}, v=x^{(1+\frac{1}{x})}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=\log \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}, \log v=\log x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \\ \Rightarrow \log u=x \log \left(x+\frac{1}{x}\right), \log v=\left(1+\frac{1}{x}\right) \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x} =\log \left(x+\frac{1}{x}\right)+x \cdot \frac{1}{x+\frac{1}{x}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x+\frac{1}{x}\right) \\ \frac{d u}{d x} =u\left[\log \left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{x}{x+\frac{1}{x}} \cdot\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right] \\ =\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}\left[\log \left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \cdot \frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}\left[\log \left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x}+\log x \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \\ \frac{d v}{d x}=v \left[\frac{x+1-\log x}{x^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left[\frac{x+1-\log x}{x^{2}}\right] \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
Example:7. (\log x)^{x}+x^{\log x}
Solution: y=(\log x)^{x}+x^{\log x}
माना u=(\log x)^{x}, v=x^{\log x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u =\log (\log x)^{x}, \log v=\log \left(x^{\log x}\right) \\ \log u =x \log (\log x), \log v=(\log x)^{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log (\log x)+x \cdot \frac{1}{\log x} \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=u\left[\log (\log x)+x \cdot \log x \cdot \frac{1}{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\left(\log x\right)^{x}\left[\frac{\log x \cdot \log (\log x)+1}{\log x}\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=(\log x)^{x-1}[\log x \cdot \log (\log x+1)] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=2 \log x \cdot \frac{d}{d x} (\log x )\\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=v \cdot\left[\frac{2 \log x}{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{\log x}\left[\frac{2 \log x}{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2 x^{\log x-1} \log x \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{dy}{dx}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=(\log x)^{x-1}[1+\log x \cdot \log (\log x)]+2 x^{\log x-1} \log x
Example:8. (\sin x)^{x}+\sin ^{-1} \sqrt{x}
Solution: y=(\sin x)^{x}+\sin ^{-1} \sqrt{x} \cdots(1)
माना u=(\sin x)^{x}, v=\sin ^{-1} \sqrt{x}
u के दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u =\log (\sin x)^{x} \\ \Rightarrow \log u =x \log (\sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log (\sin x)+x \cdot \frac{1}{\sin x} \frac{d}{d x} \left(\sin x\right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=u\left[\log (\sin x)+\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=(\sin x)^{x}[\log (\sin x)+x \cot x] \cdots(2) \\ \frac{d v}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(\sqrt{x}) \\ \frac{d v}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x-x^{2}}} \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=(\sin x)^{x}[\log (\sin x)+x \cot x]+\frac{1}{2 \sqrt{x-x^{2}}}
Example:9. x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}
Solution: y=x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x} \cdots(1)
माना u=x^{\sin x}, v=(\sin x)^{\cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=\log x^{\sin x} , \log v=\log x(\sin x)^{\cos x} \\ \log u=\sin x \log x, \quad \log v=\cos x \log (\sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} =\cos x \log x+\frac{\sin x}{x} \\ \frac{d u}{d x} =u\left(\cos x \cdot \log x+\frac{\cos x}{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} =x^{\sin x} \left(\cos x \log x+\frac{\sin x }{x}\right) \cdots(2)\\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x} =-\sin x \log (\sin x)+\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ =-\sin x \log (\sin x)+\frac{\cos ^{2} x}{\sin x}\\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=v[\cot x \cos x-\sin x \log (\sin x)] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=(\sin x)^{\cos x} \left [\frac{\cot x \cdot \cos x-\sin x \log (\sin x)}{x^{2}}\right] \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}= x^{\sin x}\left(\cos x \log x+\frac{\sin x}{x}\right)+(\sin x)^{\cos x} \left [\frac{\cot x \cdot \cos x-\sin x \log (\sin x)}{x^{2}}\right ]
Example:10. x^{x \cos x}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}
Solution: y=x^{x \cos x}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}
माना u=x^{x \cos x}, v=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u =\log (x^{x \cos x}), \log v=\log \left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right) \\ \log u =x \cos x \log x, \log v=\log \left(x^{2}+1\right)-\log \left(x^{2}-1\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x} =\cos x \log x+\cos x-x \sin x \log x \\ \frac{d u}{d x} =u[\cos x \log x+\cos x-x \sin x \log x] \\ \frac{d u}{d x}=x^{x \cos x} \left[\cos x \log x+\cos x-x \sin x \log x\right] \cdots(2)\\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\frac{2 x}{x^{2}+1}-\frac{2 x}{x^{2}-1}\\ \frac{d v}{d x}=v \left[\frac{2 x}{x^{2}+1}-\frac{2 x}{x^{2}-1}\right]\\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)\left[\frac{2 x}{x^{2}+1}-\frac{2 x}{x^{2}-1}\right] \\ =\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right) \cdot 2 x\left(\frac{x^{2}-1-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)}\right) \\ =\frac{2 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \cdot (-2) \\ \frac{d v}{d x} =\frac{-4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=x^{x \cos x}[\cos x \log x+\cos x-x \log x \sin x]-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}
Example:11. (x \cos x)^{x}+(x \sin x)^{\frac{1}{x}}
Solution: y=(x \cos x)^{x}+(x \sin x)^{\frac{1}{x}} \cdots(1)
माना u=(x \cos x)^{x}, v=(x \sin x)^{\frac{1}{x}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=\log (x \cos x)^{x}, \log v=\log (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \\ \log u=x \log (x \cos x), \log v=\frac{1}{x} \log (x \sin x) \\ \log u=x\left[\log x+\log \cos x\right], \log v=\frac{\log x+\log \sin x}{x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot (\log x+\log \cos x)+x\left(\frac{1}{x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\ \frac{du}{d x}=u [\log (x \cos x)+(1-x \tan x)] \\ \frac{d u}{d x}=(x \cos x)^{x}[\log (x \cos x)+(1 - x \tan x)] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\frac{x\left[\frac{1}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right]-(\log x+\log \sin x) \cdot 1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=v \frac{[1+x \cot x-\log (x \sin x)] }{x^{2}}\\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=(x \sin x)^{\frac{1}{x} }[1+x \cot x-\log (x \sin x)] \ldots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y=u+v \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
\left(\frac{d y}{d x}\right)=(x \cos x)^{x}[\log (x \cos x)+(1-x \tan x)]+(x \sin x)^{\frac{1}{x}} [1+x \cot x-\log (x \sin x)]
12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए ज्ञात कीजिए:
Example:12. x^{y}+y^{x}=1
Solution: x^{y}+y^{x}=1 \cdots(1)
माना u=x^{y}, v=y^{x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=y \log x, \log v=x \log y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x} \\ \frac{d u}{d x}=u\left(\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x}\right)\cdots(1) \\ \frac{d u}{d x}=x^{y}\left(\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x}\right) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\log y+\frac{x}{y} \frac{d y}{d x} \\ \frac{d v}{d x}=v\left(\log y+\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}\right) \\ \frac{d v}{d x}=y^{x}\left(\log y+\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}\right) \cdots(2)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
u+v=1 \\ \frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:
x^{y}\left(\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x}\right)+y^{x}\left(\log y+\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}\right)=0 \\ x^{y} \frac{d y}{d x} \log x+x^{y} \cdot \frac{y}{x}+y^{x} \log y+y^{x} \cdot \frac{x}{y} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(x^{y} \log x+y^{x-1} x\right)=-\left(x^{y-1} y+y^{x} \log y\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x^{y-1} y+y^{x} \log y\right)}{\left(x^{y} \log x+y^{x-1}x\right)}
Example:13. y^{x}=x^{y}
Solution: y^{x}=x^{y}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
x \log y=y \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\log y+\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{x}{y} \frac{d y}{d x}-\frac{d y}{d x} \log x=\frac{y}{x}-\log y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{x}{y}-\log x\right)=\frac{y-x \log y}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y(y-x \log y)}{x(x-y \log x)}
Example:14. (\cos x)^{y}=(\cos y)^{x}
Solution: (\cos x)^{y}=(\cos y)^{x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
y \log (\cos x)=x \log (\cos y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} \log (\cos x)-y \frac{\sin x}{\cos x}=\log (\cos y)-x \frac{\sin y}{ \cos y} \frac{dy}{dx}\\ \frac{d y}{d x}[\log (\cos x)]+x \tan y \frac{d y}{d x}=y \tan x+\log (\cos y) \\ \frac{d y}{d x}[\log (\cos x)+x \tan y]=y \tan x+\log (\cos y) \\ \frac{d y}{d x}=\frac{y \tan x + \log (\cos y)}{\log (\cos x)+x \tan y}
Example:15. x y=e^{(x-y)}
Solution: x y=e^{(x-y)}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log x + \log y=(x-y) \log e \\ \Rightarrow \log x+\log y=x-y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=1-\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{1+y}{y}\right)=\frac{x-1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y(x-1)}{x(y+1)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12),लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को समझ सकते हैं।
3.लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Logarithmic Differentiation Class 12):
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए:
\text { (1.) }\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \text { (2.) } \cos \left(x^{x}\right) \text { (3.) } (1+\cos x)^{x}
उत्तर (Answers): \text { (1.) }\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left[\log _{e}\left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right] \\ \text { (2) }-x^{x} \sin \left(x^{x}\right) \log e^{(e x)}\\ \text { (3.) }(1+\cos x)^{x}\left[\log _{e}(1+\cos x)-\frac{x \sin x}{1+ \cos x}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12),लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12),लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.लघुगणकीय फलनों के महत्त्वपूर्ण गुण क्या हैं? (What are the important properties of logarithmic functions?):
उत्तर:(1.)आधार परिवर्तन का एक मानक नियम है जिससे \log_{a} p को \log _{b} p के पदों में ज्ञात किया जा सकता है।मान लीजिए कि \log_{a} p=\alpha ,\log _{b} p=\beta तथा \log _{b} a=\gamma है।इसका अर्थ यह है कि a^{\alpha}=p, b^{\beta}=p तथा b^{\gamma}=a।अब तीसरे परिणाम में रखने से:
\left(b^{\gamma}\right)^{\alpha }=b^{\alpha \gamma}=p
इसको दूसरे समीकरण में प्रयोग करने पर:
b^{\beta}=p=b^{\alpha \gamma}
अतः \beta=\alpha \gamma अथवा \alpha=\frac{\beta}{\gamma} है।
इस प्रकार \log_{a} p=\frac{\log_{b} p}{\log _{b} a}
(2.)गुणनफलों पर log फलन का प्रभाव इसका एक अन्य रोचक गुण है।मान लीजिए कि \log _{b}(p q)=\alpha है।इससे b^{\alpha}=p q प्राप्त होता है।इसी प्रकार यदि \log _{b} p=\beta तथा \log _{b} q=\gamma है तो b^{\beta}=p तथा b^{\gamma}=q प्राप्त होता है।परन्तु b^{\alpha}=p q=b^{\beta} b^{\gamma}=b^{\beta+\gamma} है।
इसका तात्पर्य है कि \alpha=\beta+\gamma अर्थात् \log_{b} p q=\log_{b} p+\log _{b} q
इसके एक विशेष रोचक तथा महत्त्वपूर्ण परिणाम तब निकलता है जब p=q है।ऐसी दशा में, उपर्युक्त को पुनः निम्नलिखित प्रकार से लिखा जा सकता है:
\log_{b} p^{2}=\log_{b} p+\log_{b} p=2 \log_{b} p
इसका सरल व्यापकीकरण रूप है अर्थात् किसी भी धन पूर्णांक के लिए:
\log_{b} p^{n}=n \log _{b} p
वास्तव में यह परिणाम n के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।इसी विधि से निम्नलिखित को सत्यापित किया जा सकता है:
\log_{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{b} (x)-\log_{b}(y)
प्रश्न:2.लघुगणकीय अवकलन किसे कहते हैं? (What is called logarithmic differential?):
उत्तर:यदि कोई फलन किन्हीं दो या दो से अधिक फलनों का गुणनफल हो अथवा यह किसी फलन की घात के रूप में व्यक्त हो तो सामान्य विधियों से फलन का अवकलन ज्ञात करना बहुत कठिन है अथवा कई बार नहीं किया जा सकता है।इस प्रकार के फलनों का आधार e पर प्रयोग किया जाता है।इस प्रक्रिया को लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) कहते हैं।
प्रश्न:3.बहुपद फलनों तथा चरघातांकी फलनों में किसका मान अधिक तेजी से बढ़ता है? (In polynomial functions and exponential functions the value of which increases more rapidly?):
उत्तर:बहुपद फलनों की वृद्धि उनके घात पर निर्भर करती है अर्थात् घात बढ़ाते जाइए,वृद्धि बढ़ती जाएगी।किसी धन पूर्णांक n के लिए फलन f,फलन f_{n}(x)=x^{n} की अपेक्षा चरघातांकी अधिक तेजी से बढ़ता है।उदाहरणार्थ: x^{100} की अपेक्षा 10^{x} अधिक तेजी से बढ़ता है।जैसे: x=10^{3}, f_{100}(x)=\left(10^{3}\right)^{100}=10^{300}
जबकि f\left(10^{3}\right)=10^{10^{3}}=10^{1000} है।
स्पष्टतः f_{100}(x) की अपेक्षा f(x)=10^{x} का मान बहुत अधिक है।अर्थात् x>10^{3}, f(x)>f_{100}(x) है।अतः किसी भी धन पूर्णांक n के लिए f_{n} (x) की अपेक्षा f(x) का मान अधिक तेजी से बढ़ता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12),लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Logarithmic Differentiation Class 12
लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12
(Logarithmic Differentiation Class 12)
Logarithmic Differentiation Class 12
लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12) में हम एक विशिष्ट
वर्ग के फलनों का अवकलन का अध्ययन करेंगे।यदि कोई फलन निम्न रूप का हो अथवा
उस तरह का हो तो इसके लघुगणक अवकलन की क्रियाविधि होगी:
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Satyam
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