Surface Area of Solids of Revolution
1.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution in Integral Calculus):
परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution) अक्षों अथवा किसी रेखा के परित: घुमाने पर जनित होता है।परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल की थ्योरी व सम्बन्धित सूत्र इससे पूर्व आर्टिकल में पोस्ट कर चुके हैं।अतः उस आर्टिकल को भी देखना चाहिए।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:Volume of Solid of Revolution Examples
2.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (Surface Area of Solids of Revolution Solved Examples):
Example:1.कैटिनरी y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)} के किसी चाप को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
(Find the surface generated by the revolution of the catenary y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)} about the z-axis.)
Solution:कैटिनरी की समीकरण:y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dx}=\sinh{\left(\frac{x}{c}\right)}
\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}
=\sqrt{1+\sinh^{2}{\left(\frac{x}{c}\right)}}
=\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}
यदि चाप को शीर्ष x=0 से किसी बिन्दु (x,y) तक x-अक्ष के सापेक्ष घुमाया जाता है तो अभीष्ट क्षेत्रफल=
=2{\pi}\int_{x=0}^{x}y ds
=2{\pi}\int_{x=0}^{x}c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)} dx
=2{\pi}c\int_{0}^{x}\cosh^{2}{\left(\frac{x}{c}\right)}dx
={\pi}c\int_{0}^{x}\left(1+\cosh{\left(\frac{2x}{c}\right)}\right)dx
={\pi}c\left[x+\frac{c}{2}\sinh{\left(\frac{2x}{c}\right)}\right]_{0}^{x}
=\frac{{\pi}c}{2}\left[2x+c\sinh{\left(\frac{2x}{c}\right)}\right]
Example:2.कैटिनरी y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)},x-अक्ष एवं x=a और x=b कोटियों से घिरे क्षेत्रफल को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (Find the surface of the solid formed by the revolution of the area bounded by catenary y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}, x-axis and the ordinates x=a and x=b about the x-axis)
Solution:कैटिनरी की समीकरण:y=c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dx}=\sinh{\left(\frac{x}{c}\right)}
\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}
=\sqrt{1+\sinh^{2}{\left(\frac{x}{c}\right)}}
=\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}
अतः अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=
=2{\pi}\int_{a}^{b}y ds
=2{\pi}\int_{a}^{b}c\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)}\cosh{\left(\frac{x}{c}\right)} dx
=2{\pi}c\int_{a}^{b}\cosh^{2}{\left(\frac{x}{c}\right)}dx
={\pi}c\int_{a}^{b}\left(1+\cosh{\left(\frac{2x}{c}\right)}\right)dx
={\pi}c\left[x+\frac{c}{2}\sinh{\left(\frac{2x}{c}\right)}\right]_{a}^{b}
=\left[\left(b-a\right)+\frac{c}{2}\sinh{\left(\frac{2b}{c}\right)}-\frac{c}{2}\sinh{\left(\frac{2b}{c}\right)}\right]
Example:3.वक्र ay^{2}=x^{3} के x=0 से x=4a तक और x-अक्ष के ऊपर वाले भाग द्वारा y-अक्ष की परिक्रमा से बने ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (Find the surface of the solid formed by the revolution of the part of the curve ay^{2}=x^{3} from x=0 to x=4a which is above of the axis, about the axis of y.)
Solution:वक्र का समीकरण:ay^{2}=x^{3}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
2ay\frac{dy}{dx}=3x^{2}
\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}
=\sqrt{1+\left(\frac{3x^{2}}{2ay}\right)^{2}}
=\sqrt{1+\left(\frac{9x^{4}}{4a^{2} × \frac{x^{3}}{a}}\right)}
=\sqrt{1+\frac{9x}{4a}}
=\sqrt{\frac{4a+9x}{4a}}
=\frac{\sqrt{4a+9x}}{2\sqrt{a}}
परिक्रमण ठोस का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=
=\int_{0}^{4a}2{\pi}x\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}
=\int_{0}^{4a}2{\pi}x\left(\frac{\sqrt{4a+9x}}{2\sqrt{a}}\right) dx
=\frac{\pi}{\sqrt{a}}\int_{0}^{4a}x\sqrt{4a+9x}dx
\text{ Put }4a+9x=t^{2}
\Rightarrow{9 dx}=2t dt
\text{ जब } x=0 \text{ तो }t=2\sqrt{a}
\text{ जब }x=4a \text{ तो }t=2\sqrt{10a}
=\frac{\pi}{\sqrt{a}}\int_{2\sqrt{a}}^{2\sqrt{10a}}\left(\frac{t^{2}-4a}{9}\right)\sqrt{t^{2}}.\left(\frac{2t}{9}\right)dt
=\frac{2{\pi}}{81\sqrt{a}}\int_{2\sqrt{a}}^{2\sqrt{10a}}\left(t^{4}-4at^{2}\right)dt
=\frac{2{\pi}}{81\sqrt{a}}\left[\frac{t^{5}}{5}-\frac{4at^{3}}{3}\right]_{2\sqrt{a}}^{2\sqrt{10a}}
=\frac{2{\pi}}{81\sqrt{a}}\left[\frac{3200\sqrt{10}a^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{320\sqrt{10}a^{\frac{5}{2}}}{3}-\frac{32a^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{32a^{\frac{5}{2}}}{3}\right]
=\frac{64{\pi}a^{2}}{81}\left[20\sqrt{10}-\frac{10\sqrt{10}}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right]\\ =\frac{64{\pi}a^{2}}{81}\left[\frac{300\sqrt{10}-50\sqrt{10}-3+5}{15}\right]\\ =\frac{64{\pi}a^{2}}{81}\left[\frac{250\sqrt{10}+2}{15}\right]
=\frac{128{\pi}a^{2}}{1215}\left[125\sqrt{10}+1\right]
Example:4.सिद्ध कीजिए कि वक्र x=t^{2},y=t-\frac{1}{3}t^{3} के लूप को x-अक्ष के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 3{\pi} है। (Prove that the surface area of the solid generated by the revolution of the loop of the curve x=t^{2},y=t-\frac{1}{3}t^{3} about x-axis is 3{\pi}.)
Solution:वक्र का समीकरण:x=t^{2},y=t-\frac{1}{3}t^{3}
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=2t
\frac{dy}{dt}=1-t^{2}
\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}
=\sqrt{\left(2t\right)^{2}+\left(1-t^{2}\right)^{2}}
=\sqrt{\left(4t^{2}+1-2t^{2}+t^{4}\right)}
=\sqrt{\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)} =\sqrt{\left(1+t^{2}\right)^{2}}
\frac{ds}{dt}=1+t^{2}
सीमा हेतु y=0
t-\frac{1}{3}t^{3}=0
\Rightarrow{t=0,\sqrt{3}}
परिक्रमण ठोस का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल= =
\int_{0}^{\sqrt{3}}2{\pi}yds
=\int_{0}^{\sqrt{3}}2{\pi}y\frac{ds}{dt} dt
=\int_{0}^{\sqrt{3}}2{\pi}\left(t-\frac{1}{3}t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)dt
=
=2{\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\left(t-\frac{1}{3}t^{3}+t^{3}-\frac{1}{3}t^{5}\right)dt
=2{\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\left(t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{1}{3}t^{5}\right)dt
=2{\pi}\left[\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{6}t^{4}-\frac{1}{18}t^{6}\right]_{0}^{\sqrt{3}}
=2{\pi}\left[\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right]
=3{\pi}
Example:5.वक्र x=a\cos{\theta},y=b\sin{\theta} x-अक्ष के सापेक्ष घूमता है।इस प्रकार जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (The curve x=a\cos{\theta},y=b\sin{\theta} relvolves about the axis of x.Find the surface area thus generated.)
Solution:वक्र की समीकरण:x=a\cos{\theta},y=b\sin{\theta} {\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{d\theta}=-a\sin{\theta}
\frac{dy}{d\theta}=b\cos{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{\left(-a\sin{\theta}\right)^{2}+\left(b\cos{\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\sin^{2}{\theta}+b^{2}\cos^{2}{\theta}}
=\sqrt{a^{2}\sin^{2}{\theta}+a^{2}\left(1-e^{2}\right)\cos^{2}{\theta}}
\left[\because{b^{2}}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\right]
=\sqrt{a^{2}\sin^{2}{\theta}+a^{2}\cos^{2}{\theta}-a^{2}e^{2}cos^{2}{\theta}}\\ =\sqrt{a^{2}-a^{2}e^{2}cos^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1-e^{2}\cos^{2}{\theta}}
=ae\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-cos^{2}{\theta}}
अतः अभीष्ट परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
=2 × \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2{\pi}y ds
=4{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\frac{ds}{d\theta}.{d\theta}
=4{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sin{\theta}.ae\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-\cos^{2}{\theta}}{d\theta}
=4{\pi}abe\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-\cos^{2}}{\theta}{d\theta}
\text{ Put }\cos{\theta}=t
\Rightarrow{-\sin{\theta}{d\theta}}=dt
\text{ जब }{\theta}=0\text{ तो }t=1
\text{ जब }{\theta}=\frac{\pi}{2} \text{ तो }t=0
=-4{\pi}abe\int_{1}^{0}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-t^{2}}dt
=4{\pi}abe\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-t^{2}}dt
=4{\pi}abe\left[\frac{t}{2}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-t^{2}}+\frac{1}{2e^{2}}\sin^{-1}\left(\frac{t}{\frac{1}{e}}\right)\right]_{0}^{1}
=4{\pi}abe\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{e^{2}}-1}+\frac{1}{2e^{2}}\sin^{-1}\left({e}\right)\right]
=4{\pi}abe\left[\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{2e}+\frac{1}{2e^{2}}\sin^{-1}\left({e}\right)\right]\\ =2{\pi}ab\left[\sqrt{1-e^{2}}+\frac{1}{e}\sin^{-1}\left({e}\right)\right]
Example:6.साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1+\cos{\theta}\right) को उसके आधार के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Find the surface area of the solid generated by revolving the cycloid x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1+\cos{\theta}\right) about its base.)
Solution:साइक्लाॅइड का समीकरण:x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1+\cos{\theta}\right)
{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{d\theta}=a\left(1+\cos{\theta}\right)
\frac{dy}{d\theta}=-\sin{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}+\left(-a\sin{\theta}\right)^{2}} =\sqrt{a^{2}\left(1+2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}\right)+a^{2}\sin^{2}{\theta}}\\ =a\sqrt{1+2\cos{\theta}+cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1+1+2\cos{\theta}}
=2\sqrt{2+2\cos{\theta}}
=\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}
अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल= =
2 × \int_{{\theta}=0}^{\pi}2{\pi}y ds
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}y\left(\frac{ds}{d\theta}\right).{d\theta}
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}a\left(1+\cos{\theta}\right).\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}{d\theta}
=4\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(2\cos^{2}{\frac{\theta}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}{\theta}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\cos^{3}{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
\text{ Put }{\frac{\theta}{2}}={\phi}
\Rightarrow{d\theta}=2{d\phi}
\text{ जब }{\theta}=0 \text{ तो }{\phi}=0
\text{ जब }{\theta}={\pi} \text{ तो }{\phi}={\frac{\pi}{2}}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}{\phi}.{2d\phi}
=32{\pi}a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{3+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{3+0+2}{2}\right)}}
=32{\pi}a^{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}
\frac{64}{3}{\pi}a^{2}
Example:7.साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) को शीर्ष पर स्पर्श रेखा के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the surface are of the solid formed by revolving the cycloid x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) about the tagent at the vertex):
Solution:साइक्लाॅइड की समीकरण:x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right)
{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{ds}{d\theta}=a\left(1+\cos{\theta}\right)
\frac{dy}{d\theta}=a\sin{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}+\left(a\sin{\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1+2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}\right)+a^{2}\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1+2\cos{\theta}+cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1+1+2\cos{\theta}}
=2\sqrt{2+2\cos{\theta}}
\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}
अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=
=2 × \int_{{\theta}=0}^{\pi}2{\pi}y ds
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}y\left(\frac{ds}{d\theta}\right).{d\theta}
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}a\left(1-\cos{\theta}\right).\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}{d\theta}
=4\sqrt{2}a^{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin^{2}\frac{\theta}{2}\sqrt{2}\cos{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\frac{\theta}{2}\cos{\theta}{2}{d\theta}
=32{\pi}a^{2}\left[\frac{\sin^{3}\frac{\theta}{2}}{3}\right]_{0}^{\pi}
=\frac{32}{3}{\pi}a^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution in Integral Calculus) को समझ सकते हैं।
Also Read This Article:Length of Plane Curves Calculus
3.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution in Integral Calculus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.परिक्रमण अक्ष को परिभाषित कीजिए। (Define axis of revolution):
![Surface Area of Solids of Revolution](https://www.satyamcoachingcentre.in/wp-content/uploads/2022/04/Surface-Area-of-Solids-of-Revolution-150x150.jpg)
उत्तर:जब समतल क्षेत्र (plane area) में कोई वक्र अक्षों के सापेक्ष (परित:) परिक्रमा करता है तो यह एक ठोस को जनित करता है।
x अथवा y अक्ष के परित: घूर्णन या परिक्रमा को परिक्रमण अक्ष कहते हैं।
प्रश्न:2.वक्र y=f(x) के x=a तथा x=b मध्य के x-अक्ष के परित: परिक्रमण से जनित पृष्ठीय क्षेत्रफल S ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
(Write a formula to find the surface are S of the solid generated by the revolution of the arc of the curve y=f(x) about the x-axis between the ordinates x=a and x=b):
उत्तर:x-अक्ष के परित: किसी वक्र द्वारा परिक्रमण से जनित ठोस के पृष्ठीय क्षेत्रफल का निम्न सूत्र है:
(1.)x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{a}^{b}2{\pi}y dx
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} dx
(2.)y-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{c}^{d}2{\pi}y dx
(3.)यदि वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप में हो तो वक्र को प्रारम्भिक (Initial line) के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}{d\theta}
(4.)यदि वक्र का समीकरण प्राचलिक रूप में हो तथा वक्र x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण करें तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{{t}<em>{1}}^{{t}</em>{2}}2{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt
(5.)यदि वक्र AB रेखा OE के सापेक्ष परिक्रमण करता है तो जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=
\int_{\text{OC}}^{\text{OD}}2{\pi}\left(\text{PL}\right)ds
प्रश्न:3.परिक्रमण ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the formula to find the surface area of the revolution solids):
उत्तर:x-अक्ष के परित: किसी वक्र द्वारा परिक्रमण से जनित ठोस के पृष्ठीय क्षेत्रफल का निम्न सूत्र है:
x-अक्ष के सापेक्ष परिक्रमण से जनित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{a}^{b}2{\pi}y dx
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} dx
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution),समाकलन गणित में परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution in Integral Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Surface Area of Solids of Revolution
परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(Surface Area of Solids of Revolution)
Surface Area of Solids of Revolution
परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solids of Revolution) अक्षों अथवा किसी रेखा के परित:
घुमाने पर जनित होता है।परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल की थ्योरी व सम्बन्धित सूत्र
इससे पूर्व आर्टिकल में पोस्ट कर चुके हैं।अतः उस आर्टिकल को भी देखना चाहिए।
No. | Social Media | Url |
---|---|---|
1. | click here | |
2. | you tube | click here |
3. | click here | |
4. | click here | |
5. | Facebook Page | click here |
6. | click here |