1.चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12):
चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation) से तात्पर्य है कि चरघातांकी फलनों का अवकलन करना।इस आर्टिकल में चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलनों का अवकलज ज्ञात करेंगे।
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2.चरघातांकी अवकलन के साधित उदाहरण (Exponential Differentiation Solved Examples):
निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Example:1. \frac{e^{x}}{\sin x}
Solution:माना y=\frac{e^{x}}{\sin x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{\sin x \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)-e^{x} \frac{d}{d x} \sin x}{\sin ^{2} x} \\ =\frac{e^{x} \sin x-e^{x} \cos x}{\sin ^{2} x} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{\sin ^{2} x}
Example:2. e^{\sin ^{-1} x}
Solution:माना y=e^{\sin ^{-1} x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=e^{\sin ^{-1} x} \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)\\ =e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}
Example:3. e^{x^{3}}
Solution:माना y=e^{x^{3}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(e^{x^{3}}\right)\\ =e^{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \\ =e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =3 x^{2} e^{x^{3}}
Example:4. \sin \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)
Solution:माना y=\sin \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)
put \tan ^{-1} e^{-x}=u तथा e^{-x}=v \\ y=\sin u, u=\tan ^{-1} v, v=e^{-x}
अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d u}=\cos u , \frac{d u}{d v}=\frac{1}{1+v^{2}}, \frac{d v}{d x}=-e^{-x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\cos u \cdot \frac{1}{1+v^{2}}\left(-e^{-x}\right) \\ =\cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right) \cdot \frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^{2}} \cdot\left(-e^{-x}\right) \\ =\frac{-e^{-x} \cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)}{1+e^{-2x}}
Example:5. \log \cos \left(e^{x}\right)
Solution:माना y=\log \cos \left(e^{x}\right)
put \cos e^{x}=u, e^{x}=v\\ y=\log u, u=\cos v, v=e^{x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d u}=\frac{1}{u}, \frac{d u}{d v}=-\sin v, \frac{d v}{d x}=e^{x}\\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}\\ =\frac{1}{u} \cdot\left(-\sin v)\right) \cdot e^{x} \\ =\frac{-\sin\left ( e^{x} \right ) \cdot e^{x}}{\cos \left ( e^{x} \right )}\\\Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{-e^{x} \sin e^{x}}{\cos e^{x}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=-e^{x} \tan e^{x}, e^{x} \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in N
Example:6. e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
Solution:माना y=e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{3}} \right) +\frac{d}{d x}\left(e^{x^{4}}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{5}}\right) \\ =e^{x}+e^{x^{2}} \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+e^{x^{3}} \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right)+e^{x^{4}} \frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)+ e^{x^{4}} \frac{d}{d x}(x^{5})\\ \left(\frac{d y}{d x}\right)=e^{x}+2 x e^{x^{2}}+3 x^{2} e^{x^{3}}+4 x^{3} e^{x^{4}}+5 x^{4} e^{x^{5}}
Example:7. \sqrt{e^{\sqrt{x}}}
Solution:माना y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot \frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{2 \sqrt{e^{\sqrt{x}}}} e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{d x} \sqrt{x}\\ =\frac{e^{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \cdot \sqrt{x}}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{x e^{\sqrt{x}}}}
Example:8. \log (\log x), x>1
Solution:माना y=\log (\log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \log (\log x) \\ \Rightarrow =\frac{1}{\log x} \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{1}{log x} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \log x}
Example:9. \frac{\cos x}{\log x}, x>0
Solution:माना y=\frac{\cos x}{\log x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{\log x \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(\log x)}{(\log x)^{2}} \\ =\frac{-\sin x \log x-\frac{\cos x}{x}}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{(x \sin x \log x+\cos x)}{(\log x)^{2}}
Example:10. \cos \left(\log x+e^{x}\right)
Solution:माना y=\cos \left(\log x+e^{x}\right)
put \log x+e^{x}=u \\ y=\cos u, \quad u=\log x+e^{x} \\ \frac{d y}{d u}=-\sin u, \frac{d u}{d x}=\frac{1}{x}+e^{x} \\ \frac{dy}{du}=-\sin \left(\log x+e^{x}\right) \\ \left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =-\sin \left(\log x+e^{x}\right) \cdot\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=-\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) \sin \left(\log x+e^{x}\right)
Example:11. (\sin x)^{\cos^{-1} x}
Solution:माना y=(\sin x)^{\cos^{-1} x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log (\sin)^{\cos^{-1} x}\\ \Rightarrow \log y=\cos^{-1} x \log (\sin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\cos ^{-1} x \frac{d}{d x}\{\log (\sin x)\} + \log (\sin x) \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)\\ =\cos^{-1} x \frac{1}{\sin x} \frac{d}{dx}(\sin x)+\log (\sin x) \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \\ =\cos ^{-1} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\log (\sin x)}{\sqrt{1-x^{2} }} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\left(\sin x\right)^{\cos^{-1} x}\left[\cos^{-1} x \cdot \cot x-\frac{\log \sin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]
Example:12. (\tan x)^{\log _{e} x}+x^{1+\frac{1}{x}}
Solution:माना y=(\tan x)^{\log _{e} x}+x^{1+\frac{1}{x}}
Put (\tan x)^{\log x}=u, x^{x+\frac{1}{x}}=V\\ u=(\tan )^{\log x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=\log (\tan )^{\log x} \\ \Rightarrow \log u=\log x[\log (\tan x)]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\log x \frac{d}{dx}[\log (\tan x)] \\ \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\log x \frac{d}{dx}[\log (\tan x)] +\log (\tan x) \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x} =\log x \frac{1}{\tan x} \frac{d}{d x}\left ( \tan x \right ) +\log (\tan x) \cdot \frac{1}{x} \\=\frac{\log x}{\tan x} \cdot \sec ^{2} x+\frac{\log (\tan x)}{x} \\ \frac{du}{dx}= (\tan x)^{\log x} \left[\frac{1}{x} \log (\tan x)+\frac{\log x}{\sin x \cos x}\right] \\ V=x^{1+\frac{1}{x}}
दोनों पक्षों का लघूगणक लेने पर:
\log v=\log \left(x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right) \\ \Rightarrow \log v=\left(1+\frac{1}{x}\right) \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} =\left(1+\frac{1}{x}\right) \frac{d}{d x}(\log x) +\log x \frac{d}{d x} \left(1+\frac{1}{x}\right) \\ =\left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x}-\frac{\log x}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{1+\frac{1}{x}}\left[\frac{1+x-\log x}{x^{2}}\right]
अब y=u+v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d x}{d x}+\frac{d v}{d x}
\frac{d u}{d x} व \frac{d v}{d x} का मान रखने पर:
\left(\frac{dy}{d x}\right)=(\tan x)^{\log x} \left[\frac{\log (\tan x)}{x}+\frac{\log x}{\sin x \cos x}\right] +x^{1+\frac{1}{x}}\left[\frac{1+x-\log x}{x^{2}}\right]
Example:13. x^{\cot x}+x^{(\sin x-\cos x)}
Solution:माना y=x^{\cot x}+x^{(\sin x-\cos x)}
put x^{\cot x}=u, x^{\sin x-\cos x}=V
दोनों पक्षों का लघूगणक लेने पर:
\log u =\log x^{\cot x} \\ \Rightarrow \log u =\cot x \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{du}{dx} =\cot x \frac{d}{d x} \log x +\log x \frac{d}{d x}(\cot x) \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \cdot \log x \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=u\left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=x^{\cot x} \left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right]\\ v=x^{\sin x-\cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log v=\log \left(x^{\sin x-\cos x}\right) \\ \Rightarrow \log v=(\sin x-\cos x) \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} =(\sin x-\cos x) \frac{d}{d x} \log x +\log x \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x) \\ \frac{d v}{d x}=v \left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+\log x(\cos x+\sin x)\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{(\sin x-\cos x)}\left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+(\sin x+\cos x) \log x\right]
अब y=u+v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}
\frac{d u}{d x} व \frac{d v}{d x} का मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=x^{\cot x}\left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right]+x^{(\sin x-\cos x)}\left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+(\sin x+\cos x) \log x\right]
Example:14. x^{\frac{1}{\log_{e} x}}
Solution:माना y=x^{\frac{1}{\log_{e} x}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log x^{\left ( \frac{1}{ \log x} \right )} \\ =\frac{1}{\log x} \cdot \log x \\ \Rightarrow \log y=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\left(\frac{d y}{d x}\right)=0
Example:15. \frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+2\right)^{\frac{2}{3}}}
Solution:माना y=\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2} +2\right)^{\frac{2}{3}}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log \left[\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}}}\right] \\ \Rightarrow \log y=\log \left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\log (2 x-3)^{\frac{1}{2}} -\log \left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log \left(+x^{2}\right)+\frac{1}{2} \log (2 x-3)-\frac{2}{3} \log \left(x^{2}+2\right)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{2} \frac{1}{\left ( 1-x^{2} \right )} \frac{d}{dx}\left(1-x^{2}\right)+ \frac{1}{2(2 x-3)} \frac{d}{dx}(2 x-3)-\frac{2}{3\left(x^{2}+2\right)} \frac{d}{d x}\left(x^{2} +2\right)\\ \frac{d y}{d x}=y\left[-\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{1}{(2 x-3)}-\frac{4 x}{3\left(x^{2}+2\right)}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}}}\left[-\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{1}{2 x-3}-\frac{4 x}{3\left(x^{2}+2\right)}\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) को समझ सकते हैं।
3.चरघातांकी अवकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Exponential Differentiation):
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
(1.) \sin x \cdot \sin 2 x \sin 3 x \sin 4 x
(2 .) \sqrt{\frac{(1+x)(2+x)}{(3+x)(4+x)}}
उत्तर (Answers): (1.) \sin x \sin 2 x \sin 3 x \sin 4 x\left [ \cot x+2 \cot 2 x+3 \cot 3 x+4 \cot 4 x \right ]
(2.) \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(1+x)(2+x)}{(3+x)(4+x)}}\left[\frac{1}{x+x}+\frac{1}{2+x}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{4+x}\right]
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4.चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.चरघातांकी फलन की प्रमुख विशेषताएँ क्या हैं? (What are the main features of exponential function?):
उत्तर:(1.)चरघातांकी फलन का प्रान्त, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।
(2.)चरघातांकी फलन का परिसर, समस्त धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
(3.)बिन्दु (0,1) चरघातांकी फलन के आलेख पर सदैव होता है (यह इस तथ्य का पुनः कथन है कि किसी भी वास्तविक संख्या b>1 के लिए)
(4.)चरघातांकी फलन सदैव एक वर्धमान फलन (Increasing Function) होता है अर्थात् जैसे-जैसे हम बाएँ से दाएँ ओर बढ़ते जाते हैं, आलेख ऊपर उठता जाता है।
(5.)x के अत्यधिक बड़े ऋणात्मक मानों के लिए चरघातांकी फलन का मान 0 के अत्यन्त निकट होता है।दूसरे शब्दों में, द्वितीय चतुर्थांश में आलेख उत्तरोत्तर x-अक्ष की ओर अग्रसर होता है (किन्तु उससे कभी मिलता नहीं है।)
प्रश्न:2.लघुगणकीय फलनों की प्रमुख विशेषताएँ क्या हैं? (What are the major features of logarithmic functions?):
उत्तर:(1.)धनेतर (non-positive) संख्याओं के लिए हम लघुगणक की कोई अर्थपूर्ण परिभाषा नहीं बना सकते हैं और इसलिए लघुगणकीय फलन का प्रान्त R^{+} है।
(3.)बिन्दु (1,0) लघुगणकीय फलनों के आलेख पर सदैव रहता है।
(4.)लघुगणकीय फलन एक वर्धमान फलन होते हैं अर्थात् ज्यों-ज्यों हम बाएँ से दाएँ ओर चलते हैं, आलेख उत्तरोत्तर ऊपर उठता जाता है।
(5.)0 के अत्यधिक निकट वाले x के लिए log x के मान को किसी भी दी गई वास्तविक संख्या से कम किया जा सकता है।दूसरे शब्दों में, चौथे (चतुर्थ) चतुर्थांश में आलेख y-अक्ष के निकट अग्रसर होता है (किन्तु इससे कभी मिलता नहीं है)
(6.)y=e^{x} तथा y=\log_{e} x के दोनों वक्र में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब है।
उत्तर:(1.)साधारण चरघातांकी फलन (Common Exponential Function):
आधार 10 वाले फलन को साधारण चरघातांकी फलन (Common Exponential Function) कहते है।
(2.)प्राकृतिक चरघातांकी फलन (Natural Exponential Function):
श्रेणी 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots का योग एक ऐसी संख्या है जिसका मान 2 और 3 के मध्य होता है और जिसे e से प्रकट करते हैं।इस e को आधार के रूप में प्रयोग करने पर हमें एक अत्यन्त महत्त्वपूर्ण चरघातांकी फलन y=e^{x} प्राप्त होता है।इसे प्राकृतिक चरघातांकी फलन (Natural Exponential Function) कहते हैं।उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Exponential Differentiation
चरघातांकी अवकलन
(Exponential Differentiation)
Exponential Differentiation
चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation) से तात्पर्य है कि चरघातांकी फलनों का
अवकलन करना।इस आर्टिकल में चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलनों का अवकलज ज्ञात करेंगे।
Exponential Differentiation
1.चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12):
Exponential Differentiation
चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation) से तात्पर्य है कि चरघातांकी फलनों का अवकलन करना।इस आर्टिकल में चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलनों का अवकलज ज्ञात करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.चरघातांकी अवकलन के साधित उदाहरण (Exponential Differentiation Solved Examples):
निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Example:1. \frac{e^{x}}{\sin x}
Solution:माना y=\frac{e^{x}}{\sin x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{\sin x \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)-e^{x} \frac{d}{d x} \sin x}{\sin ^{2} x} \\ =\frac{e^{x} \sin x-e^{x} \cos x}{\sin ^{2} x} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{\sin ^{2} x}
Example:2. e^{\sin ^{-1} x}
Solution:माना y=e^{\sin ^{-1} x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=e^{\sin ^{-1} x} \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)\\ =e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}
Example:3. e^{x^{3}}
Solution:माना y=e^{x^{3}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(e^{x^{3}}\right)\\ =e^{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \\ =e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =3 x^{2} e^{x^{3}}
Example:4. \sin \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)
Solution:माना y=\sin \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)
put \tan ^{-1} e^{-x}=u तथा e^{-x}=v \\ y=\sin u, u=\tan ^{-1} v, v=e^{-x}
अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d u}=\cos u , \frac{d u}{d v}=\frac{1}{1+v^{2}}, \frac{d v}{d x}=-e^{-x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\cos u \cdot \frac{1}{1+v^{2}}\left(-e^{-x}\right) \\ =\cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right) \cdot \frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^{2}} \cdot\left(-e^{-x}\right) \\ =\frac{-e^{-x} \cos \left(\tan ^{-1} e^{-x}\right)}{1+e^{-2x}}
Example:5. \log \cos \left(e^{x}\right)
Solution:माना y=\log \cos \left(e^{x}\right)
put \cos e^{x}=u, e^{x}=v\\ y=\log u, u=\cos v, v=e^{x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d u}=\frac{1}{u}, \frac{d u}{d v}=-\sin v, \frac{d v}{d x}=e^{x}\\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}\\ =\frac{1}{u} \cdot\left(-\sin v)\right) \cdot e^{x} \\ =\frac{-\sin\left ( e^{x} \right ) \cdot e^{x}}{\cos \left ( e^{x} \right )}\\\Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{-e^{x} \sin e^{x}}{\cos e^{x}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=-e^{x} \tan e^{x}, e^{x} \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in N
Example:6. e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
Solution:माना y=e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{3}} \right) +\frac{d}{d x}\left(e^{x^{4}}\right)+\frac{d}{d x}\left(e^{x^{5}}\right) \\ =e^{x}+e^{x^{2}} \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+e^{x^{3}} \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right)+e^{x^{4}} \frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)+ e^{x^{4}} \frac{d}{d x}(x^{5})\\ \left(\frac{d y}{d x}\right)=e^{x}+2 x e^{x^{2}}+3 x^{2} e^{x^{3}}+4 x^{3} e^{x^{4}}+5 x^{4} e^{x^{5}}
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot \frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{2 \sqrt{e^{\sqrt{x}}}} e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{d x} \sqrt{x}\\ =\frac{e^{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \cdot \sqrt{x}}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{x e^{\sqrt{x}}}}Example:7. \sqrt{e^{\sqrt{x}}}
Solution:माना y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
Exponential Differentiation
Example:8. \log (\log x), x>1
Solution:माना y=\log (\log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \log (\log x) \\ \Rightarrow =\frac{1}{\log x} \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{1}{log x} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \log x}
Example:9. \frac{\cos x}{\log x}, x>0
Solution:माना y=\frac{\cos x}{\log x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{\log x \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(\log x)}{(\log x)^{2}} \\ =\frac{-\sin x \log x-\frac{\cos x}{x}}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{(x \sin x \log x+\cos x)}{(\log x)^{2}}
Example:10. \cos \left(\log x+e^{x}\right)
Solution:माना y=\cos \left(\log x+e^{x}\right)
put \log x+e^{x}=u \\ y=\cos u, \quad u=\log x+e^{x} \\ \frac{d y}{d u}=-\sin u, \frac{d u}{d x}=\frac{1}{x}+e^{x} \\ \frac{dy}{du}=-\sin \left(\log x+e^{x}\right) \\ \left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =-\sin \left(\log x+e^{x}\right) \cdot\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=-\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) \sin \left(\log x+e^{x}\right)
Example:11. (\sin x)^{\cos^{-1} x}
Solution:माना y=(\sin x)^{\cos^{-1} x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log (\sin)^{\cos^{-1} x}\\ \Rightarrow \log y=\cos^{-1} x \log (\sin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\cos ^{-1} x \frac{d}{d x}\{\log (\sin x)\} + \log (\sin x) \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)\\ =\cos^{-1} x \frac{1}{\sin x} \frac{d}{dx}(\sin x)+\log (\sin x) \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \\ =\cos ^{-1} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\log (\sin x)}{\sqrt{1-x^{2} }} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\left(\sin x\right)^{\cos^{-1} x}\left[\cos^{-1} x \cdot \cot x-\frac{\log \sin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]
Example:12. (\tan x)^{\log _{e} x}+x^{1+\frac{1}{x}}
Solution:माना y=(\tan x)^{\log _{e} x}+x^{1+\frac{1}{x}}
Put (\tan x)^{\log x}=u, x^{x+\frac{1}{x}}=V\\ u=(\tan )^{\log x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log u=\log (\tan )^{\log x} \\ \Rightarrow \log u=\log x[\log (\tan x)]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\log x \frac{d}{dx}[\log (\tan x)] \\ \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\log x \frac{d}{dx}[\log (\tan x)] +\log (\tan x) \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x} =\log x \frac{1}{\tan x} \frac{d}{d x}\left ( \tan x \right ) +\log (\tan x) \cdot \frac{1}{x} \\=\frac{\log x}{\tan x} \cdot \sec ^{2} x+\frac{\log (\tan x)}{x} \\ \frac{du}{dx}= (\tan x)^{\log x} \left[\frac{1}{x} \log (\tan x)+\frac{\log x}{\sin x \cos x}\right] \\ V=x^{1+\frac{1}{x}}
दोनों पक्षों का लघूगणक लेने पर:
\log v=\log \left(x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right) \\ \Rightarrow \log v=\left(1+\frac{1}{x}\right) \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} =\left(1+\frac{1}{x}\right) \frac{d}{d x}(\log x) +\log x \frac{d}{d x} \left(1+\frac{1}{x}\right) \\ =\left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x}-\frac{\log x}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{1+\frac{1}{x}}\left[\frac{1+x-\log x}{x^{2}}\right]
अब y=u+v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d x}{d x}+\frac{d v}{d x}
\frac{d u}{d x} व \frac{d v}{d x} का मान रखने पर:
\left(\frac{dy}{d x}\right)=(\tan x)^{\log x} \left[\frac{\log (\tan x)}{x}+\frac{\log x}{\sin x \cos x}\right] +x^{1+\frac{1}{x}}\left[\frac{1+x-\log x}{x^{2}}\right]
Example:13. x^{\cot x}+x^{(\sin x-\cos x)}
Solution:माना y=x^{\cot x}+x^{(\sin x-\cos x)}
put x^{\cot x}=u, x^{\sin x-\cos x}=V
दोनों पक्षों का लघूगणक लेने पर:
\log u =\log x^{\cot x} \\ \Rightarrow \log u =\cot x \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{u} \frac{du}{dx} =\cot x \frac{d}{d x} \log x +\log x \frac{d}{d x}(\cot x) \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \cdot \log x \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=u\left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right] \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=x^{\cot x} \left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right]\\ v=x^{\sin x-\cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log v=\log \left(x^{\sin x-\cos x}\right) \\ \Rightarrow \log v=(\sin x-\cos x) \log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} =(\sin x-\cos x) \frac{d}{d x} \log x +\log x \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x) \\ \frac{d v}{d x}=v \left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+\log x(\cos x+\sin x)\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{(\sin x-\cos x)}\left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+(\sin x+\cos x) \log x\right]
अब y=u+v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}
\frac{d u}{d x} व \frac{d v}{d x} का मान रखने पर:
\frac{d y}{d x}=x^{\cot x}\left[\frac{\cot x}{x}-\operatorname{cosec}^{2} x \log x\right]+x^{(\sin x-\cos x)}\left[\frac{\sin x-\cos x}{x}+(\sin x+\cos x) \log x\right]
Example:14. x^{\frac{1}{\log_{e} x}}
Solution:माना y=x^{\frac{1}{\log_{e} x}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log x^{\left ( \frac{1}{ \log x} \right )} \\ =\frac{1}{\log x} \cdot \log x \\ \Rightarrow \log y=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\left(\frac{d y}{d x}\right)=0
Example:15. \frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+2\right)^{\frac{2}{3}}}
Solution:माना y=\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2} +2\right)^{\frac{2}{3}}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log y=\log \left[\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}}}\right] \\ \Rightarrow \log y=\log \left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\log (2 x-3)^{\frac{1}{2}} -\log \left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log \left(+x^{2}\right)+\frac{1}{2} \log (2 x-3)-\frac{2}{3} \log \left(x^{2}+2\right)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{2} \frac{1}{\left ( 1-x^{2} \right )} \frac{d}{dx}\left(1-x^{2}\right)+ \frac{1}{2(2 x-3)} \frac{d}{dx}(2 x-3)-\frac{2}{3\left(x^{2}+2\right)} \frac{d}{d x}\left(x^{2} +2\right)\\ \frac{d y}{d x}=y\left[-\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{1}{(2 x-3)}-\frac{4 x}{3\left(x^{2}+2\right)}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 x-3)^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{2}+ 2\right)^{\frac{2}{3}}}\left[-\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{1}{2 x-3}-\frac{4 x}{3\left(x^{2}+2\right)}\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) को समझ सकते हैं।
3.चरघातांकी अवकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Exponential Differentiation):
Exponential Differentiation
निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
(1.) \sin x \cdot \sin 2 x \sin 3 x \sin 4 x
(2 .) \sqrt{\frac{(1+x)(2+x)}{(3+x)(4+x)}}
उत्तर (Answers): (1.) \sin x \sin 2 x \sin 3 x \sin 4 x\left [ \cot x+2 \cot 2 x+3 \cot 3 x+4 \cot 4 x \right ]
(2.) \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(1+x)(2+x)}{(3+x)(4+x)}}\left[\frac{1}{x+x}+\frac{1}{2+x}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{4+x}\right]
4.चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.चरघातांकी फलन की प्रमुख विशेषताएँ क्या हैं? (What are the main features of exponential function?):
उत्तर:(1.)चरघातांकी फलन का प्रान्त, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।
(2.)चरघातांकी फलन का परिसर, समस्त धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
(3.)बिन्दु (0,1) चरघातांकी फलन के आलेख पर सदैव होता है (यह इस तथ्य का पुनः कथन है कि किसी भी वास्तविक संख्या b>1 के लिए)
(4.)चरघातांकी फलन सदैव एक वर्धमान फलन (Increasing Function) होता है अर्थात् जैसे-जैसे हम बाएँ से दाएँ ओर बढ़ते जाते हैं, आलेख ऊपर उठता जाता है।
(5.)x के अत्यधिक बड़े ऋणात्मक मानों के लिए चरघातांकी फलन का मान 0 के अत्यन्त निकट होता है।दूसरे शब्दों में, द्वितीय चतुर्थांश में आलेख उत्तरोत्तर x-अक्ष की ओर अग्रसर होता है (किन्तु उससे कभी मिलता नहीं है।)
प्रश्न:2.लघुगणकीय फलनों की प्रमुख विशेषताएँ क्या हैं? (What are the major features of logarithmic functions?):
उत्तर:(1.)धनेतर (non-positive) संख्याओं के लिए हम लघुगणक की कोई अर्थपूर्ण परिभाषा नहीं बना सकते हैं और इसलिए लघुगणकीय फलन का प्रान्त R^{+} है।
(3.)बिन्दु (1,0) लघुगणकीय फलनों के आलेख पर सदैव रहता है।
(4.)लघुगणकीय फलन एक वर्धमान फलन होते हैं अर्थात् ज्यों-ज्यों हम बाएँ से दाएँ ओर चलते हैं, आलेख उत्तरोत्तर ऊपर उठता जाता है।
(5.)0 के अत्यधिक निकट वाले x के लिए log x के मान को किसी भी दी गई वास्तविक संख्या से कम किया जा सकता है।दूसरे शब्दों में, चौथे (चतुर्थ) चतुर्थांश में आलेख y-अक्ष के निकट अग्रसर होता है (किन्तु इससे कभी मिलता नहीं है)
(6.)y=e^{x} तथा y=\log_{e} x के दोनों वक्र में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब है।
प्रश्न:3.निम्न पर संक्षिप्त टिप्पणी लिखो (Write a brief comment on the following):(1.)साधारण चरघातांकी फलन (Common Exponential Function)
(2.)प्राकृतिक चरघातांकी फलन (Natural Exponential Function)
उत्तर:(1.)साधारण चरघातांकी फलन (Common Exponential Function):
आधार 10 वाले फलन को साधारण चरघातांकी फलन (Common Exponential Function) कहते है।
(2.)प्राकृतिक चरघातांकी फलन (Natural Exponential Function):
श्रेणी 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots का योग एक ऐसी संख्या है जिसका मान 2 और 3 के मध्य होता है और जिसे e से प्रकट करते हैं।इस e को आधार के रूप में प्रयोग करने पर हमें एक अत्यन्त महत्त्वपूर्ण चरघातांकी फलन y=e^{x} प्राप्त होता है।इसे प्राकृतिक चरघातांकी फलन (Natural Exponential Function) कहते हैं।उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation),चरघातांकी और लघुगणकीय फलन का अवकलन कक्षा 12 (Differentiation of Exponential and Logarithmic Functions Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Exponential Differentiation
चरघातांकी अवकलन
(Exponential Differentiation)
Exponential Differentiation
चरघातांकी अवकलन (Exponential Differentiation) से तात्पर्य है कि चरघातांकी फलनों का
अवकलन करना।इस आर्टिकल में चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलनों का अवकलज ज्ञात करेंगे।
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