1.सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation):

Mean Deviation in Statistics

सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) किसी समंकश्रेणी के किसी सांख्यिकीय माध्य (समान्तर माध्य,मध्यका या बहुलक) से निकाले गए विभिन्न मूल्यों का समान्तर माध्य होता है।मूल्यों के विचलन निकालते समय बीजगणितीय चिन्ह + तथा – को छोड़ दिया जाता है अर्थात् ऋणात्मक चिन्ह (negative deviation) भी धनात्मक (positive) मान लिए जाते हैं।यदि प्रश्न में आधार माध्य के सम्बन्ध में कुछ नहीं कहा गया हो तो छात्रों को चाहिए कि ‘मध्यका’ को ही आधार मानकर माध्य विचलन की गणना करें।
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2.सांख्यिकी में माध्य विचवन तथा उसके गुणांक के सूत्र (Formulae of Mean Devataon and its Coefficient in Statistics):

व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series) प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)

(डेल्टा) ग्रीक भाषा का अक्षर ‘Small Delta’s है।
यहाँ $\delta$=Mean Deviation, $d_{\bar{X}}$=Deviation from Mean
$\delta_{M}$=Deviation from Median,N=Number of Items
व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series) अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method)

$\delta_{\bar{X}}$=समान्तर माध्य से माध्य विचलन (Mean Deviation from Arithmetic Mean)
$\Sigma  X_{a}$=समान्तर माध्य से बड़े मूल्यों का योग (Total of values above the arithmetic mean)
$\Sigma  X_{b}$=समान्तर माध्य से छोटे मूल्यों का योग (Total of values below the arithmetic mean)
$\Sigma N_{a}$=समान्तर माध्य से अधिक मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items above the mean)
$\Sigma N_{b}$=समान्तर माध्य से कम मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items below the mean)

खण्डित श्रेणी (Discrete Series) प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)

खण्डित श्रेणी (Discrete Series) अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method)

इन सूत्रों में प्रयोग संकेतों का अर्थ निम्नवत हैं :-
$\Sigma f X_{a}$=प्रयुक्त माध्य से अधिक मूल्यों एवं उनकी आवर्तियों के गुणनफल का योग (Total of products of size and frequency above the average)
$\Sigma f X_{b}$=प्रयुक्त माध्य से कम मूल्यों एवं उनकी आवर्तियों के गुणनफल का योग (Total of products of size and frequency below the average)
$\Sigma N_{a}$=समान्तर माध्य से अधिक मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items above the mean)
$\Sigma N_{b}$=समान्तर माध्य से कम मूल्य वाले मदों की संख्या (Number of items below the mean)
$\delta_{M}$=मध्यका से माध्य विचलन (Mean Deviation from Median)
$\Sigma m_{a}$=मध्यका से अधिक मूल्यवाली मदों के मूल्यों का योग (Total of items above the median)
$\Sigma m_{b}$=मध्यका से कम मूल्यवाली मदों के मूल्यों का योग (Total of values of items below the median)

3.सांख्यिकी में माध्य विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mean Deviation in Statistics):

Example:1.आय सम्बन्धी निम्न समंकों से मध्यका, माध्य विचलन तथा उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate median, mean deviation and its coefficient from the following data relating to incomes):
Rs.4000,4200,4400,4800
Solution: Calculation Table of Mean Deviation

M=Size of $\frac{4+1}{2}$ th item

M=Size of 2.5 th item

=$\frac{4200+4400}{2}=\frac{8600}{2}$=4300

$\delta_{M}=\frac{\sum\left|d_{M}\right|}{N}=\frac{1000}{4} \\ \Rightarrow \delta_{M}$=250

Cofficient of  $\delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{250}{4300} \approx 0.058$

Example:2.कुछ कर्मचारियों के मासिक वेतन से सम्बन्धित समंक निम्नलिखित हैं,मध्यका से माध्य विचलन और उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(The following are the monthly salaries of some employees, calculate mean deviation from median and its coefficient):
Rupees 300,300,300,375,400,400,450,450,475,480,500,500,525,500,525,550,625,650,900
Solution: Calculation of Mean Deviation

M=Size of $\frac{19+1}{2}$ th item

M=Size of 10 th item

M=480

$\delta_{m}=\frac{\sum|d_{M}|}{N}\\=\frac{1825}{19}\\ =96.0526\\ \Rightarrow \delta_{m} \approx$ 96.05

Cofficient of  $\delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{96.05}{480}\\ \approx$ 0.2

Example:3.मध्यका को आधार लेकर माध्य विचलन का परिकलन कीजिए तथा A व B श्रेणियों के विचरण की तुलना कीजिए:
(With median as the base, calculate the mean deviation and compare the variability of the two series A and B.):

Solution:-

Series A 
Mean deviation from median($\delta_{M}$)
M=Size of $\frac{8+1}{2}$ th item
M=Size of 4.5 th item

$M=\frac{4124+4308}{2}=4216 \\ \delta_{m}=\frac{\Sigma \mid d_{M} \mid}{N}=\frac{3922}{8} \\ \Rightarrow \delta_{M} \approx$ 490.25

coefficient of $\delta_{m}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{490.25}{4216} \approx$ 0.116

Series A 
Mean deviation from median($\delta_{M}$)
M=Size of $\frac{8+1}{2}$ th item
M=Size of 4.5 th item

=$\frac{382+408}{2} \\ M=\frac{395}{2} \\ \delta_{M}^{\prime}=\frac{\Sigma\left|d_{M}^{\prime} \right|}{N}\\=\frac{971}{8}=121.375 \\ \Rightarrow \delta_{M}^{\prime} \approx$ 121.38

coefficient of $\delta_{M}=\frac{\delta_{M}^{\prime}}{M} =\frac{121.38}{395} \approx$ 0.307

Mean Deviation in Statistics

Example:4.एक सड़क पर दुर्घटनाओं की निम्न सूचना से मध्यका द्वारा माध्य विचलन तथा विचलन गुणक ज्ञात कीजिए:
(From the following information about the accidents on a road, calculate the Mean Deviation from the median and its coefficient):

Solution: 
Calculation Table of Mean Deviation from Median

$\frac{N+1}{2}=\frac{90+1}{2}$=45.5

अतः M=3

$\delta_{m}=\frac{\Sigma f|d_{M}|}{N}=\frac{101}{90} \\ \delta_{M}=1.122 \\ \Rightarrow \delta_{M} \approx$ 1.12

coefficient of $\delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{1.12}{3}=0.373 \approx$ 0.37
Example:5.निम्न श्रेणी का माध्य विचलन (M.D.) एवं उसके गुणक (its Coefficient) की गणना कीजिए:

Solution:-

cofficient of $\delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}\\ =\frac{0.75}{12}\\ =0.0625\\ \bar{X}=\frac{\Sigma f x}{\sum f} \\ \bar{X} =\frac{576}{48}=12 \\ \delta_{\bar{X}} =\frac{\Sigma f|d_{X}|}{N} \\ =\frac{36}{48} \\ =0.75$

coefficient of $\delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}} \\ =\frac{0.75}{12} \\ =0.0625$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) को समझ सकते हैं।

4.सांख्यिकी में माध्य विचलन के सवाल (Mean Deviation in Statistics Questions):

Mean Deviation in Statistics

(1.)कुछ कर्मचारियों के मासिक वेतन निम्नवत् हैं
(The following are the monthly salaries of some employees):
Rs.200,250,375,405,420,450,450,450,470,500
समान्तर माध्य, मध्यका तथा बहुलक का प्रयोग करके माध्य विचलन तथा उनके गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate mean Deviation and its coefficient from Arithmetic Men, Median and Mode):
(2.)किसी स्थान के 100 परिवारों से सम्बन्धित निम्न समंकों से माध्य विचलन व उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate the mean Deviation and its coefficient from the following data with regard to 100 families of a certain locality):

उत्तर (Answers):(1)$\bar{X}$=RS. 397, $\delta_{\bar{X}}$=Rs 73.2 ,C. of $\delta_{\bar{X}}$=0.18,M=Rs 435,$\delta_{M}$=Rs 67,C. of $\delta_{M}$=0.154, Z=450, $\delta_{Z}$=Rs 67, coff. Of $\delta_{z}$=0.15

(2)M=3,$\delta_{m}$=1.95 persons ,coff. Of $\delta_{M}$=0.65, $\bar{X}$=3.95 persons, $\delta_{\bar{X}}$=1.97 persons, coeff. of $\delta_{\bar{X}}$=0.50, Z=2 persons,$\delta_{Z}$=2.25 persons, coeff. of $\delta_{Z}$=1.125
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics),माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) किसी समंकश्रेणी के किसी
सांख्यिकीय माध्य (समान्तर माध्य,मध्यका या बहुलक) से निकाले गए विभिन्न मूल्यों का
समान्तर माध्य होता है।