To Find Equation of Tangent Plane
1.शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Tangent Plane),व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone):
शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करने (To Find Equation of Tangent Plane) के लिए इससे पूर्व आर्टिकल में रेखा तथा शंकु का प्रतिच्छेदन का अध्ययन करना आवश्यक है।
(1.)शंकु f(x, y, z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 के किसी बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना:
(To find the equation of the tangent plane to the cone f(x, y, z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 at the point (\alpha, \beta, \gamma).):
शंकु का समीकरण: f(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
रेखा तथा शंकु के प्रतिच्छेदन से:-
रेखा का समीकरण:\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r (माना )….(2)
तथा r^{2} f(l, m, n)+2[l(a \alpha+h \beta+g \gamma)+m(h \alpha+b \beta+f \gamma)+n(g \alpha+f \beta+c \gamma)] r+f(\alpha, \beta, r)=0 \cdots(3)
रेखा (2) में शंकु (1) को प्रतिच्छेदित करने के लिए r के मान समीकरण (3) से ज्ञात होंगे।
अब क्योंकि शंकु पर है इसलिए f(\alpha, \beta, r)=0 अतः r का एक मान शून्य है।यदि रेखा (2) स्पर्श रेखा है तो r का दूसरा मान भी शून्य होना चाहिए जिसके लिए l(a \alpha+h \beta+g \gamma)+m(h \alpha+b \beta+f \gamma)+n(g \alpha+f \beta+c \gamma)=0 \cdots(4)
समीकरण (2) तथा (4) में से l,m,n को लुप्त करने पर (\alpha, \beta, \gamma) से गुजरने वाली प्रत्येक स्पर्श रेखा का रेखा पथ प्राप्त होता है।अतः
(x-\alpha)(a \alpha+h \beta+g \gamma)+(y-\beta)(h \alpha+b \beta+f \gamma)+(z-\gamma)(g \alpha+f \beta+c \gamma)=0 \\ \Rightarrow x(a \alpha+h \beta+g \gamma)+y(h \alpha+b \beta+f \gamma)+z(g \alpha+f \beta+c \gamma)=0 \left [ \because (\alpha, \beta, \gamma)=0 \right ]
जो कि शंकु की स्पर्शतल का अभीष्ट समीकरण है।
उपप्रमेय (Corollary):1.शंकु के किसी भी बिन्दु पर स्पर्शतल उसके शीर्ष से गुजरता है।चूँकि शंकु के स्पर्शतल के समीकरण में अचर पद नहीं है इसलिए प्रत्येक स्पर्शतल मूलबिन्दु से गुजरता है अर्थात् शंकु के शीर्ष बिन्दु से गुजरता है।
उपप्रमेय (Corollary):2.शंकु की जनक रेखा \frac{x}{\alpha}=\frac{y}{\beta}-\frac{z}{\gamma} के किसी भी बिन्दु (\alpha r, \beta r, \gamma r) पर स्पर्शतल वही है जो बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर है।अतः स्पर्शतल शंकु को जनक रेखा पर स्पर्श करता है।
(2.)स्पर्शता का प्रतिबन्ध (Condition of Tangency):
प्रतिबन्ध ज्ञात करना जबकि समतल ux+by+wz=0 शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 का स्पर्शतल हो।
(To find the condition that the plane ux+vy+wz=0 may touch the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0.)
यहाँ दिए हुए समतल तथा शंकु के समीकरण है:
ux+vy+wz=0 …..(1)
तथा a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(2)
मानलो (1),(2) को बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श करता है।
साथ ही सूत्र से बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्शतल का समीकरण होगा:
x(a \alpha+h \beta+g \gamma)+y(h \alpha+b \beta+f \gamma)+z(g \alpha+f \beta+c \gamma)=0 \cdots(3)
अब (1) तथा (3) एक ही स्पर्शतल को व्यक्त करते हैं अतः दोनों समीकरण समरूप होंगे:
\frac{a \alpha+h \beta+g \gamma}{u}=\frac{h \alpha+b \beta+f \gamma}{v}=\frac{g \alpha+f \beta+c \gamma}{w}=\lambda (माना)
\Rightarrow a \alpha+h \beta+g \gamma-u \lambda=0 \cdots(4) \\ h \alpha+b \beta+f \gamma-v \lambda=0 \cdots(5) \\ g \alpha+f \beta+c \gamma-w \lambda=0 \cdots(6)
साथ ही बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) समतल ux+vy+wz=0 पर स्थित है।
u \alpha+v \beta+w \gamma-0 \cdot \lambda=0 \cdots(7)
समीकरण (4),(5),(6) तथा (7) में से \alpha, \beta, \gamma, -\lambda लुप्त करने पर:
\left|\begin{array}{llll}a & h & g & u \\h & b & f & v\\g & f & c & w \\ u & v & w & 0 \end{array}\right|
अभीष्ट प्रतिबन्ध प्राप्त होता है।
सारणिक A का विस्तार करने पर:
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}+2 F v w+2 G wu+2 H u v=0
जहाँ A,B,C,F,G तथा H क्रमशः a,b,c,f,g तथा h के सारणिक
\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\h & b & f \\g & f & c\end{array}\right|
में सहखण्ड (cofactors) हैं।
अतः A=b c-f^{2}, B=c a-g^{2}, c=a b-h^{2}, f=g h-a f,G=hf-bg,H=fg-ch
(3.)व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone):
परिभाषा (Definition):किसी शंकु के स्पर्श तलों पर शीर्ष बिन्दु से खींचे गए अभिलम्बों से जनित शंकु को दिए हुए शंकु का व्युत्क्रम शंकु कहते हैं।
दिए हुए शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2+y z+2 g z x+2 h x y=0 के व्युत्क्रम शंकु का समीकरण ज्ञात करना।
(To find the equation of the reciprocal cone of the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2+y z+2 g z x+2 h x y=0 )
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2+y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
मान लो शंकु (1) का स्पर्श समतल निम्न है:
ux+vy+wz=0 ….(2)
इसलिए (2) के (1) को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध:
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}+2 F vw+2 G wu+2 H uv=0 \cdots(3)
जहाँ A,B,C,F,G,H क्रमशः a,b,c,f,g,h के सारणिक
\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\h & b & f \\g & f & c\end{array}\right| में सहखण्ड (cofactors) है।
शंकु (1) के शीर्ष (मूलबिन्दु) से गुजरने वाली तथा समतल (2) पर अभिलम्ब का समीकरण होगा:
\frac{x}{u}=\frac{y}{v}=\frac{z}{w}
अतः (3) तथा (4) से u,v,w लुप्त करने पर (4) द्वारा जनित शंकु का समीकरण होगा:
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 F y z+2 G z x+2 H x y=0 \cdots(5)
जो कि अभीष्ट व्युत्क्रम शंकु का समीकरण है।
यदि उपर्युक्त प्रकार से शंकु (5) का व्युत्क्रम शंकु ज्ञात करें तो हमें a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 शंकु प्राप्त होता है जो कि मूल शंकु को प्रदर्शित करता है।इसी कारण इन्हें परस्पर व्युत्क्रम शंकु कहा जाता है।
(4.)शंकु के तीन परस्पर लम्बवत् जनक होने का प्रतिबन्ध (Condition that a cone may have three mutually perpendicular generators):
वह प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2hxy=0 की तीन परस्पर समकोणिक जनक रेखाएँ हों।
(To find the condition that the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2hxy=0 may have three mutually perpendicular generators.)
यहाँ शंकु का समीकरण है:
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
माना कि रेखा \frac{x}{u}=\frac{y}{v}=\frac{z}{w}\cdots(2)
शंकु (1) की जनक रेखा है।
अतः f(u, v, w) \equiv a u^{2}+b v^{2}+c w^{2}+2 f u w+2 g w u+2 h u v=0 \cdots(3)
मूलबिन्दु से गुजरने वाला तथा (2) के लम्बवत् समतल का समीकरण होगा:
ux+vy+wz=0 ….(4)
अब समतल (4) शंकु (1) को दो लम्बवत् जनक में प्रतिच्छेद करेगा यदि
(a+b+c)\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)-\left(a u^{2}+b v^{2}+c w^{2}+2fv w+2 g w u+2 h u v\right)=0\cdots(5)
समीकरण (3) का (5) में प्रयोग करनेवाले पर:
(a+b+c)\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)=0
परन्तु u^{2}+v^{2}+w^{2} \neq 0
\therefore a+b+c=0
जो कि अभीष्ट प्रतिबन्ध है।
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2.शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना पर आधारित उदाहरण (Examples Based on To Find Equation of Tangent Plane):
Example:1.दर्शाइए कि समतल 3x-2y-z=0 शंकुओं 3yz-2zx+2xy=0 तथा 21 x^{2}-4 y^{2}-5 z^{2}=0 को समान जोड़े की पारस्परिक लाम्बिक प्रतिच्छेदन रेखाओं में काटता है।
(Show that the plane 3x-2y-z=0 cuts the cone 3yz-2zx+2xy=0 and 21 x^{2}-4 y^{2}-5 z^{2}=0 in the same pair of perpendicular lines):
Solution:माना \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} लाम्बिक रेखाओं में से एक रेखा है जिसमें समतल 3x-2y-z=0 शंकुओं 3yz-2zx+2xy=0 व को मिलता है।
तब 3l-2m-n=0 ….(1)
3mn-2nl+2lm=0 ….(2)
21 l^{2}-4 m^{2}-5 n^{2}=0 \cdots(3)
समीकरण (1) व (2) से n का विलोपन करने पर:
3 m(3 l-2 m)-2 l(3 l-2 m)+2 l m=0 \\ \Rightarrow 9 l m-6 m^{2}-6 l^{2}+4 l m+2 l m=0 \\ \Rightarrow 6 l^{2}-15 l m+6 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 l^{2}-5 l m+2 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 l^{2}-4 l m-l m+2 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2l(l-2 m)-m(l-2 m)=0 \\ \Rightarrow(l-2 m)(2 l-m)=0 \\ \Rightarrow l-2 m=0, \quad 2 l-m=0
जब l-2m=0 तब (1) से:
3(2 m)-2 m-n=0 \Rightarrow 6 m-2 m-n=0 \\ \Rightarrow 4 m-n=0 \\ \frac{l_{1}}{1}=\frac{m_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{n_{1}}{2}
जब 2l-m=0 तो (1) से:
3\left(\frac{m}{2}\right)-2 m-n=0 \\ \Rightarrow-\frac{m}{2}-n=0 \\ \frac{l_{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{n_{2}}{1}=\frac{m_{2}}{-\frac{1}{2}} \\ l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=(1)(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})(1)+(-\frac{1}{2})(2) \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0
अतः रेखाएँ लम्बवत् हैं।
पुनः (1) व (3) से n का विलोपन करने पर:
21 l^{2}-4 m^{2}-5(3 l-2 m)^{2}=0 \\ \Rightarrow 21 l^{2}-4 m^{2}-45 l^{2}+60lm-20 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 l^{2}-5 l m+2 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 l^{2}-4 l m-lm+2 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 l(l-2 m)-m(l-2 m)=0 \\ \Rightarrow (l-2 m)(2 l-m)=0
अतः वही लम्बवत् रेखाओं का जोड़ा प्राप्त होता है।
Example:2.यदि \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{2}{3}, शंकु 5yz-8zx-3xy=0 के तीन परस्पर लम्ब जनकों में से एक हो तो अन्य दो के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(If \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{2}{3} represents one of the three mutually perpendicular generators of the cone 5yz-8zx-3xy=0 find the equations other two.)
Solution:माना तीन परस्पर लम्बवत् जनकों में से एक जनक का समीकरण:
\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{2}{3} \cdots(1)
शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले समतल का समीकरण जिस पर रेखा (1) लम्बवत् है:
x+2y+3z=0 ….(2)
माना इस समतल (2) तथा शंकु की प्रतिच्छेदन रेखा है:
तब l+2m+3n=0 ….(4)
5mn-8nl-3lm=0 …(5)
(4) व (5) से n का विलोपन करने पर:
5 m\left(\frac{-l-2 m}{3}\right)-8 l\left(\frac{-l-2 m}{3}\right)-3 l m=0 \\ \Rightarrow-5 l m-10 m^{2}+8 l^{2}+16 l m-9 l m=0 \\ \Rightarrow 8 l^{2}+2 l m-10 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 4 l^{2}+l m-5 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 4 l^{2}+5 l m-4 l m-5 m^{2}=0 \\ \Rightarrow l(4 l+5 m)-m(4 l+5 m)=0 \\ \Rightarrow(4 l+5 m)(l-m)=0 \\ \Rightarrow 4 l+5 m=0, l-m=0
जब 4l+5m=0 तो (4) से:
–\frac{5 m}{4}+2 m+3 n=0 \\ \Rightarrow-5 m+8 m+12 n=0 \\ \Rightarrow 3 m+12 n=0 \\ \Rightarrow m+4 n=0 \\ \Rightarrow \frac{4 l_{1}}{5}=-m_{1}=4 n_{1} \\ \Rightarrow \frac{l_{1}}{5}=\frac{m_{1}}{-4}=\frac{n_{1}}{1}
जब l-m=0 तो पुनः (4) से:
m+2 m+3 n=0 \\ \Rightarrow 3 m+3 n=0 \\ \Rightarrow m+n=0 \\ \frac{l_{2}}{1}=\frac{m_{2}}{1}=\frac{n_{2}}{-1}
अतः अन्य दो जनको के समीकरण होंगे:
\frac{x}{5}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{1} तथा \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}
Example:3.सिद्ध कीजिए कि समतल lx+my+nz=0 शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 को लम्ब रेखाओं में काटता है यदि
(Prove that the plane lx+my+nz=0 cuts the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 in perpendicular lines if)
(b+c) l^{2}+(c+a) m^{2}+(a+b) n^{2}=0
Solution:यदि समतल lx+my+nz=0 शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 \cdots(1) को दो लम्बवत् जनकों में काटता है तो तीसरा जनक समतल के लम्बवत् होगा जिसका समीकरण है: \frac{x}{L}=\frac{y}{M}=\frac{z}{N}
यदि यह शंकु (1) का जनक है तो इसकी दिक्कोसाइन शंकु को सन्तुष्ट करेगी:
l L+m M+n N =0 \cdots(1) \\ a L^{2}+b M^{2}+C N^{2} =0 \cdots(2)
(1) तथा (2) से N का विलोपन करने पर:
a L^{2}+b m^{2}+c\left(-\frac{l L+m M}{n}\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow a n^{2} L^{2}+c l^{2} L^{2}+b n^{2} M^{2}+c m^{2} M^{2}+2 c ml L M=0 \\ \Rightarrow \left(a n^{2}+c l^{2}\right) L^{2}+2 c m l L M+\left(b n^{2}+c m^{2}\right) M^{2}=0 \\ \Rightarrow \left(a n^{2}+cl^{2}\right)\left(\frac{L}{M}\right)^{2}+2 c m l \left(\frac{L}{M}\right)+b n^{2}+c m^{2}=0
यदि इसके मूल \frac{L_{1}}{M_{1}} तथा \frac{L_{2}}{M_{2}} हैं तो:
\frac{L_{1}}{M_{1}} \cdot \frac{L_{2}}{M_{2}}=मूलों का गुणनफल=\frac{bn^{2}+cm^{2}}{an^{2}+cl^{2}} \\ \Rightarrow \frac{L_{1} L_{2}}{b n^{2}+c m^{2}}=\frac{M_{1} M_{2}}{a n^{2}+c l^{2}}=\frac{N_{1} N_{2}}{b l^{2}+a m^{2}}(सममिति से)
यदि रेखाएँ लम्बवत् हैं तो L_{1} L_{2}+M_{1} M_{2}+N_{1} N_{2}=0 \\ \Rightarrow b n^{2}+c m^{2}+a n^{2}+c l^{2}+b l^{2}+a m^{2}=0 \\ \Rightarrow (b+c) l^{2}+(c+a) m^{2}+(a+b) n^{2}=0
Example:4.प्रदर्शित कीजिए कि शंकु का द्विघाती व्यापक समीकरण जो निर्देशी अक्षों से गुजरता है होगा
(Show that the general equation to the cone of second degree which passes through the coordinate axes is)
fyz+gzx+hxy=0
Solution:प्रश्न से स्पष्ट है कि अभीष्ट शंकु का शीर्ष (0,0,0) है।अतः उस द्विघाती शंकु का व्यापक समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है होगा:
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
यदि यह x-अक्ष से गुजरता है तो x-अक्ष की दिक्कोज्या अर्थात् 1,0,0, (1) को सन्तुष्ट करेगी इसलिए a=0।इसी प्रकार शंकु y-अक्ष तथा z-अक्ष से गुजरेगा यदि b=0,c=0
a,b तथा c के मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट शंकु का समीकरण होगा:
2fyz+2gzx+2hxy=0
\Rightarrow fyz+gzx+hxy=0
Example:5.शंकु 3 x^{2}+4 y^{2}+5 z^{2}+2 y z+4 z x+6 x y=0 के व्युत्क्रम शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation of the cone reciprocal to the cone 3 x^{2}+4 y^{2}+5 z^{2}+2 y z+4 z x+6 x y=0.)
Solution:शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
है तो (1) के व्युत्क्रम शंकु का समीकरण होगा:
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 F y z +2 G x z+2 H x y=0 \cdots(2)
जहाँ A,B,C,F,G,H सारणिक \left|\begin{array}{lll}a & h & g \\h & b & f \\g & f & c\end{array}\right|
में a,b,c,f,g,h के क्रमशः सहखण्ड हैं।
प्रश्नानुसार दिया हुआ शंकु 3 x^{2}+4 y^{2}+5 z^{2}+2 y z+4z x+6 x y=0 है अतः इसके संगत सारणिक होगा
\left|\begin{array}{lll}3 & 3 & 2 \\3 & 4 & 1 \\2 & 1 & 5\end{array}\right|
इसलिए
A=b c-f^{2}=20-1=19 \\ B=c a-g^{2}=15-4=11 \\ C=a b-h^{2}=12-9=3 \\ F=g h-a f=6-3=3 \\ G=h f-b g=3-8=-5 \\ H=f g-c h=2-15=-13
दिए हुए शंकु का व्युत्क्रम शंकु का समीकरण होगा:
19 x^{2}+11 y^{2}+3 z^{2}+6 y z-10 x z-26 x y=0
Example:6.शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} +2 h x y=0 के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation to the tangent plane to the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} +2 h x y=0 at the point (\alpha, \beta, \gamma).)
Solution:शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} +2 h x y=0 के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श समतल का समीकरण
a \alpha x+b \beta y+c \gamma z+ f(\gamma y+\beta z)+g(\alpha z+\gamma x) +h(\beta x+\alpha y)=0
दिए हुए शंकु में a=a,b=b,c=c,f=0,g=0,h=h रखने पर:
\Rightarrow a \alpha x+b \beta y+c \gamma z+h(\beta x+\alpha y)=0 \\ \Rightarrow(a \alpha+h \beta) x+(b \beta+h \alpha) y+c \gamma z=0
Example:7.उस तल का समीकरण ज्ञात करो जो कि शंकु x^{2}+2 y^{2}-3 z^{2}+2 y z-5 z x+3 x y=0 को 1,1,1 दिक्अनुपात वाली जनक रेखा के सहारे स्पर्श करता है।
(Find the plane which touches the cone x^{2}+2 y^{2}-3 z^{2}+2 y z-5 z x+3 x y=0 along the generators whose direction ratios are 1,1,1.)
Solution:शंकु x^{2}+2 y^{2}-3 z^{2}+2 y z-5 z x+3 x y=0 की जनक रेखा का समीकरण:
\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \\ \Rightarrow x=y=z=r(माना)
इस पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (r,r,r) अतः बिन्दु पर स्पर्श तल का समीकरण:
x(a \alpha+h \beta+g \gamma)+y(h \alpha+b \beta+f \gamma)+z(g \alpha+f \beta+c \gamma)=0
दिए हुए शंकु से a=1,b=2,c=-3,f=1, g=-\frac{5}{2}, h=\frac{3}{2}, \alpha=r, \beta=r, \gamma=r रखने पर:
x\left(r+\frac{3r}{2} -\frac{5 r}{2}\right)+y\left(\frac{3r}{2} +2 r+r\right)+ z\left(-\frac{5}{2} r+r-3 r\right)=0 \\ \Rightarrow x(0)+y \times \frac{9}{2}+z\left(-\frac{9}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow y=z
Example:8.सिद्ध कीजिए कि शंकु fyz+gzx+hxy=0 के स्पर्श तल शंकु f^{2} x^{2}+g^{2} y^{2} +h^{2} z^{2}-2g h y z-2 h f z x-2 f g x y=0 के जनकों के लम्बवत् हैं।
(Prove that the tangent planes to the cones fyz+gzx+hxy=0 are perpendicular to the generator to the cone f^{2} x^{2}+g^{2} y^{2} +h^{2} z^{2}-2g h y z-2 h f z x-2 f g x y=0.)
Solution:यदि शंकु f^{2} x^{2}+g^{2} y^{2} +h^{2} z^{2}-2g h y z-2 h f z x-2 f g x y=0 के जनकों के लम्बवत् स्पर्श तल fyz+gzx+hxy=0 के हैं तो दोनों एक दूसरे के व्युत्क्रम शंकु हैं।अतः दोनों को एक दूसरे के व्युत्क्रम शंकु सिद्ध करना पर्याप्त होगा।
f^{2} x^{2}+g^{2} y^{2}+h^{2} z^{2}-2 g h y z-2 hfz x-2 f g x y=0 \cdots(1) \\ a=f^{2}, b=g^{2}, c=h^{2} ; f=-g h, g=-h f, h=-f g \\ A=b c-f^{2}=g^{2} h^{2}-(-g h)^{2}=0 इसी प्रकार B=C=0
F=g h-a f=(-h f)(-f g)-(f^{2})(-g h)=2 f^{2} g h
इसी प्रकार G=2 g^{2} h f, H=2 h^{2} f g
अतः (1) का व्युत्क्रम शंकु
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 F y z+2 G z x+2Hx y=0 \\ \Rightarrow 2 f^{2} g h y z+2 g^{2} h f z x+2 h^{2} f g x y=0 \\ \Rightarrow f y z+g z x+h x y=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Tangent Plane),व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone) को समझ सकते हैं।
3.शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना पर आधारित सवाल (Questions Based on To Find Equation of Tangent Plane):
(1.)दर्शाइए कि निर्देशांक समतलों को स्पर्शी करनेवाले शंकु का व्यापक समीकरण होगा
(Show that the general equation to a cone which touches the coordinate planes is)
a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}+c^{2} z^{2}-2 b c y z-2 c a z x -2 a b x y=0
(2.)सिद्ध कीजिए कि \sqrt{(f x)}+\sqrt{(g y)}+\sqrt{(hz)}=0 एक शंकु प्रदर्शित करता है जो निर्देशांक समतलों को स्पर्श करता है।इसके व्युत्क्रम शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Prove that the equation \sqrt{(f x)}+\sqrt{(g y)}+\sqrt{(hz)}=0 represents a cone which touches the coordinate planes.Find the equation of its reciprocal cone.)
उत्तर (Answer):(2.) fyz+gzx+hxy=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Tangent Plane),व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Tangent Plane),व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.किसी शंकु के लम्ब स्पर्शतल को उदाहरण द्वारा समझाओं।(Explain the Tangent Plane perpendicular to a cone by example):
उत्तर:सिद्ध कीजिए कि शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 के तीन परस्पर लम्ब स्पर्शतल हैं यदि
(Prove that the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 has three mutually perpendicular tangent planes if bc+ca+ab=f^{2}+g^{2}+h^{2})
Solution:शंकु के तीन परस्पर समकोणिक स्पर्शतल होने का प्रतिबन्ध तथा इसके व्युत्क्रम शंकु A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 F y z+2 G z x+2 H x y=0 के तीन परस्पर लाम्बिक जनक समान होंगे जो निम्न द्वारा दिए जाते हैं:
A+B+C=0
\Rightarrow b c-f^{2}+c a-g^{2}+a b-h^{2}=0 \\ \Rightarrow b c+c a+a b=f^{2}+g^{2}+h^{2}
प्रश्न:2.किसी समतल द्वारा शंकु को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध उदाहरण द्वारा समझाओ।(Explain by example the condition of a plane to touch a cone):
उत्तर:सिद्ध कीजिए कि तल ux+vy+wz=0, शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 को स्पर्श करेगा यदि \frac{u^{2}}{a}+\frac{v^{2}}{b}+\frac{w^{2}}{c}=0
(Show that the plane ux+vy+wz=0 will touch the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 if \frac{u^{2}}{a}+\frac{v^{2}}{b}+\frac{w^{2}}{c}=0)
Solution:समतल ux+vy+wz=0, के लम्ब के दिक्कोसाइन u,v,w है यदि यह दिए हुए शंकु को स्पर्श करता है तो:
A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}+2 F vw+2 G w u+2 H uv=0 \cdots(1)\\ A=b c-f^{2} =b c यदि f=0
इसी प्रकार B=ca,C=ab,F=gh-af=0,G=0,H=0
अतः (1) में मान रखने पर:
b c u^{2}+c a v^{2}+a b w^{2}=0 \\ \Rightarrow \frac{u^{2}}{a}+\frac{v^{2}}{b}+\frac{w^{2}}{c}=0
प्रश्न:3.निम्नलिखित शंकु की समीकरण सिद्ध करो।(Prove the equation of the following cone):
उत्तर:सिद्ध कीजिए कि उन समतलों की जो कि मूल बिन्दु से गुजरते हैं और समतल lx+my+nz=0 और शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 को खण्ड रेखाओं के लम्बवत् हैं,समीकरण होगी
(Prove that the equation to the planes through the origin perpendicular to the lines of section of the lx+my+nz=0 and the cone a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 is x^{2}\left(b n^{2}+c m^{2}\right)+y^{2}\left(c l^{2}+a n^{2}\right)+z^{2} \left(a m^{2}+b l^{2}\right)-2 a m n y z-2 b nl z x -2 c l m n y=0 )
Solution:माना शंकु ax^{2}+b y^{2}+c z^{2}=0 को प्रतिच्छेदित करनेवाली रेखा की समीकरण
\frac{x}{\lambda}=\frac{y}{\mu}=\frac{z}{\nu}
तब l \lambda+m \mu+n \nu=0 \cdots(1) \\ a \lambda^{2}+b \mu^{2}+c \nu^{2}=0 \cdots(2)
(1) व (2) से \nu का विलोपन करने पर:
a \lambda^{2}+b \mu^{2}+c\left[-\left(\frac{\lambda l+\mu}{n}\right) \right]^{2}=0 \\ \Rightarrow \frac{\lambda^{2}}{\mu^{2}}\left(a n^{2}+cl^{2} \right)+2 l mc\left( \frac{\lambda}{\mu}\right) +\left(b n^{2}+cm^{2}\right)=0 \\ \frac{\lambda_{1}}{\mu_{1}} \cdot \frac{\lambda_{2}}{\mu_{2}}=मूलों का गुणनफल=\frac{b n^{2}+c m^{2}}{a n^{2}+c l^{2}} \\ \frac{\lambda_{1} \lambda_{2}}{b n^{2}+c m^{2}}=\frac{\mu_{1} \mu_{2}}{c l^{2}+a n^{2}}=\frac{\nu_{1} \nu_{2}}{a m^{2}+b l^{2}}=k (सममिति से)
\frac{\lambda_{1}}{\mu_{1}}+\frac{\lambda_{2}}{\mu_{2}}=मूलों का योग= \frac{-2l m c}{a n^{2}+c l^{2}} \\ \frac{\lambda_{1} \mu_{2}+\lambda_{2} \mu_{2}}{\mu_{1} \mu_{2}}=\frac{-2 lm c}{a n^{2}+c l^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\lambda_{1} \mu_{2}+\lambda_{2} \mu_{1}}{-2lm c}=\frac{\mu_{1} \mu_{2}}{a n^{2}+c l^{2}}=k[(1) से]
\Rightarrow \frac{\lambda_{1} \mu_{2}+\lambda_{2} \mu_{1}}{-2 l m c}=\frac{\mu_{1} \nu_{2}+\mu_{2} \nu_{1}}{-2 m n a}=\frac{\nu_{1} \lambda_{2}+\nu_{2} \lambda_{1}}{-2 n l b}
अब रेखाएँ \frac{x}{\lambda_{1}}=\frac{y}{\mu_{1}}=\frac{z}{\nu_{1}} तथा \frac{x}{\lambda_{2}}=\frac{y}{\mu_{2}}=\frac{z}{\nu_{2}} पर लम्बवत् समतल जो मूलबिन्दु से गुजरता है
\left(\lambda_{1} x+\mu_{1} y+\nu_{1} z\right)\left(\lambda_{2} x+\mu_{2} y+\nu_{2} z\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda_{1} \lambda_{2} x^{2}+\mu_{1} \mu_{2} y^{2}+ \nu_{1} \nu_{2} z^{2}+\left(\lambda_{1} \mu_{2}+\lambda_{2} \mu_{1}\right) x y+\left(\mu_{1} \nu_{2}+\mu_{2} \nu_{1}\right) y z+\left(\lambda_{1} \nu_{2}+ \lambda_{2} \nu_{1}\right) x z=0 \\ \Rightarrow x^{2}\left(b n^{2}+cm^{2}\right) +y^{2}\left(c l^{2}+a n^{2}\right)+z^{2}\left(a m^{2}+b l^{2}\right)-2a m x y z-2 b n l z x-2cl m m y=0
प्रश्न:4.तीनों निर्देशाक्षों तथा रेखाओं से गुजरने वाले शंकु का समीकरण का उदाहरण दो।(Give an example of the equation of the cone passing through the three co-ordinate axes and the lines):
उत्तर:उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जो तीनों निर्देशाक्षों तथा रेखाओं \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} तथा \frac{x}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1} से जाता है।
(Find the equation of the cone which passes through the three co-ordinate axes as well as the lines \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} and \frac{x}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1} )
Solution:-माना शंकु का व्यापक समीकरण a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0
यह x-अक्ष से गुजरता है अतः x-अक्ष की दिक्कोज्या सन्तुष्ट करेगी
अर्थात् 1,0,0 रखने पर a=0
इसी प्रकार यह y-अक्ष व z-अक्ष से गुजरेगा यदि b=0,c=0
a,b,c के मान रखने पर:
fyz+gzx+hxy=0….(1)
यह \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} तथा \frac{x}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1} से जाता है।अतः दिक्कोज्या सन्तुष्ट करेगी:
f (-2)(3)+g(3)(1)+h(1)(-2)=0
-6f+3g-2h=0 ….(2)
f (-1)(1)+g(1)(3)+h(3)(-1)=0
-f+3g-3h=0 ….(3)
(2) व (3) को हल करने पर:
\frac{f}{-9 +6}=\frac{g}{2-18}=\frac{h}{-18+3} \\ \Rightarrow \frac{f}{-3}=\frac{g}{-16}=\frac{h}{-15}=p (माना)
f=-3p,g=-16p,h=-15p
f,g,h के मान समीकरण (1) में रखने पर:
-3pyz-16pzx-15pxy=0
\Rightarrow 3yz+16zx+15xy=0
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Tangent Plane),व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal Cone) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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To Find Equation of Tangent Plane
शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करने
(To Find Equation of Tangent Plane)
To Find Equation of Tangent Plane
शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करने (To Find Equation of Tangent Plane) के
लिए इससे पूर्व आर्टिकल में रेखा तथा शंकु का प्रतिच्छेदन का अध्ययन करना आवश्यक है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
