Harmonic Mean
1.हरात्मक माध्य (Harmonic Mean),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean):
हरात्मक माध्य (Harmonic Mean):-किसी समंकश्रेणी में मूल्यों की संख्या को उनके व्युत्क्रमों (Reciprocals) के योग से भाग देने पर जो मूल्य प्राप्त होता है वही उस श्रेणी का हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) कहलाता है।दूसरे शब्दों में मूल्यों के व्युत्क्रमों के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम को उनका हरात्मक माध्य कहा जाता है।किसी मूल्य का व्युत्क्रम वह संख्या हैं जो 1 को उस मूल्य से भाग देने पर उपलब्ध होती है जैसे 3 का व्युत्क्रम \frac{1}{3} तथा 6 का व्युत्क्रम \frac{1}{6} है।
हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) की गणना:व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series) में निम्नलिखित विधि द्वारा निकाला जाता था:
(i)मूल्यों के व्युत्क्रम ज्ञात किए जाते हैं।
यदि मूल्य छोटे हैं और पूर्णांकों में हैं तो 1 को प्रत्येक मूल्य से भाग देकर प्रत्यक्ष रीति से व्युत्क्रम निश्चित कर लिया जाता है जैसे: X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots X_{n} मूल्यों के व्युत्क्रम क्रमश: \frac{1}{X_{1}}, \frac{1}{X_{2}}, \frac{1}{X_{3}}, \cdots \frac{1}{X_{n}} होंगे।परन्तु यदि पद अनेक हों जिनके मूल्य भी दशमलव बिन्दु में हों तो उनके व्युत्क्रम सारणी (Table of Reciprocals) की सहायता से ज्ञात करने चाहिए।
(ii)व्युत्क्रमों का योग \Sigma Reciprocals निकाल लिया जाता है।
(iii)निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
(a)यदि व्युत्क्रम प्रत्यक्ष रूप से निकाले जाते हैं तो:
H M=\frac{N}{\frac{1}{X_{1}}+\frac{1}{X_{2}}+\frac{1}{X_{3}}+\ldots +\frac{1}{X_{n}}}
X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots X_{n} पदों के मूल्य (Values of Items) हैं।और
N पदों की संख्या (Number of Items) हैं।
(b)यदि व्युत्क्रम सारणी से ज्ञात किए जाते हैं तो:
HM=Reciprocal \left [ \frac{\Sigma \text{Reciprocals}}{N} \right ]
खण्डित व अखण्डित श्रेणी (Discrete and Continuous Series) में हरात्मक माध्य निकालने की निम्न प्रक्रिया है:
(i)पहले मूल्यों (sizes) या मध्य मूल्यों (mid values) के व्युत्क्रम (Reciprocals) निकाले जाते हैं।
(ii)व्युत्क्रमों की आवृत्ति से गुणा करके उन गुणनफलों का योग \Sigma(\text{Reciprocal} \times f)ज्ञात कर लिया जाता है।
(iii)निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
H M=\operatorname{Reciprocal}\left[\frac{\Sigma(\operatorname{Rec.} X \times f)}{N}\right]
N आवृत्तियों का जोड़ (Total of Frequencies) है।
भारित हरात्मक माध्य (Weighted Harmonic Mean):
यदि विभिन्न मूल्यों का अलग-अलग सापेक्षिक महत्त्व हो तो भारों का प्रयोग करते हुए भारित हरात्मक माध्य निकालना चाहिए।भारित हरात्मक माध्य निकालने की वही विधि है जो खण्डित श्रेणी में सरल हरात्मक माध्य की गणना में अपनाई जाती हैं केवल आवृत्तियों का स्थान भार ले लेते हैं।सूत्रानुसार:
WHM =\operatorname{Reciprocal} \left[\frac{\sum(\operatorname{Rec.} X \times W}{\sum W}\right] \\ \Rightarrow \text { WHM }=\frac{\sum W}{\left(\frac{1}{X_{1}} \times W_{1}\right)+\left(\frac{1}{X_{2}} \times W_{2}\right)+\left(\frac{1}{X_{3}} \times W_{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{X_{N}}\times W_{N}\right)}
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2.हरात्मक माध्य के उदाहरण (Harmonic Mean Examples):
Example:1.निम्नलिखित संख्याओं के समूहों का हरात्मक माध्य ज्ञात कीजिए:
(Find out Harmonic Mean of the following set of numbers):
(i)1,1.5,5,250,.5,.55,.095,1245,.009
(ii)85,70,10,75,500,8,42,250,40,36
Solution:(i) Calculation of Harmonic Mean Table
| Measurement | Reciprocal |
| 1 | 1 |
| 1.5 | 0.6667 |
| 5 | 0.2 |
| 15 | 0.0667 |
| 250 | 0.004 |
| 0.5 | 2 |
| 0.55 | 1.8181 |
| 0.095 | 10.5263 |
| 1245 | 0.0008 |
| 0.009 | 111.111 |
| Total | 127.3937 |
H M =\text{Reciprocal of} \left [ \frac{\Sigma \text { Reiprocals }}{N} \right ] \\=\text { Reciprocal of }\left[\frac{127.3937}{10}\right] \\ =\text { Reciprocol of }(12.73937) \\ H M =0.07849 \approx 0.0785
(ii)Calculation of Harmonic Mean Table
| Measurement | Reciprocal |
| 85 | 0.1176 |
| 70 | 0.0149 |
| 10 | 0.1 |
| 75 | 0.0133 |
| 500 | 0.002 |
| 8 | 0.125 |
| 42 | 0.02381 |
| 250 | 0.004 |
| 40 | 0.025 |
| 36 | 0.0278 |
| Total | 0.45341 |
H M =\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma \text { Reciprocals }}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{0.45341}{10}\right] \\ =\text { Reciprocal of }[0.045341] \\ =22.05509 \\ HM \approx 22.06
Example:2.निम्नलिखित समंकों से हरात्मक माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate Harmonic Mean from the following data):
| Marks | आवृत्ति |
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | 10 |
| 20-30 | 7 |
| 30-40 | 3 |
| 40-50 | 2 |
Solution:Calculation of Harmonic Mean Table
| Marks | Mid Value(X) | आवृत्ति(f) | Reciprocal | Reciprocal Xf |
| 0-10 | 5 | 5 | 0.2 | 1 |
| 10-20 | 15 | 10 | 0.0667 | 0.667 |
| 20-30 | 25 | 7 | 0.04 | 0.28 |
| 30-40 | 35 | 3 | 0.0286 | 0.0858 |
| 40-50 | 45 | 2 | 0.0222 | 0.0444 |
| Total | 27 | 2.0772 |
H M=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma(\text { Reciprocal } X \times f)}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{2.0772}{27}\right] \\ =\text { Reciprocal of }(0.07693) \\=12.9988
Example:3.एक प्रोफेसर ने कार द्वारा तीन दिन की यात्रा की।उन्होंने प्रत्येक दिन 960 किमी दूरी तय की।उन्होंने प्रथम दिन 10 घण्टे में 96 किमी प्रति घण्टा की गति से,दूसरे दिन 12 घण्टे 80 किमी प्रति घण्टा की गति से तथा तीसरे दिन 15 घण्टे 64 किमी प्रति घण्टा की गति से कार चलाईं।कार की औसत गति क्या थी?
(A Professor travelled by a car for 3 days.He covered 960 kms each day.He drove the car first day 10 hours at 96 kms per hour,second day 12 hours at 80 kms per hour and third day 15 hours at 64 kms per hour.What was the average speed of the car?)
Solution: Calculation of Hormonic Mean Table
| Time(minute) | Speed of Car(X) | Reciprocal X |
| 10 | 96 | 0.0104 |
| 12 | 80 | 0.0125 |
| 15 | 64 | 0.015625 |
| Total | 0.038525 |
H M =\text { Recipral of }\left[\frac{ \Sigma \text { Reciprocals } X}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{0.038525}{3}\right]\\ =\text { Reciprocal of }(0.01284) \\ =77.88 kms per hours
Example:4.रमेश एक आटो द्वारा यात्रा करता है।वह 20 किमी की दूरी 40 किमी प्रति घण्टा की गति से,10 किमी दूरी 30 किमी प्रति घण्टा की गति से तथा 30 किमी दूरी 60 किमी प्रति घण्टा की गति से तय करता है।उनकी औसत गति क्या थी?
(Ramesh travels by an auto.He covers 20 kms at 40 kms per hour,10 kms at 30 kms per hour and 30 kms at 60 kms per hour.What was his average speed?)
Solution:Calculation of Arithmetic Mean Table
| Speed of auto(X) | Distance | Time (in minute) |
| 40 | 20 | 30 |
| 30 | 10 | 20 |
| 60 | 30 | 30 |
प्रश्न में दूरी चल है तथा दर में दूरी चल हैअतः समान्तर माध्य ज्ञात किया जाएगा।
Average speed (\bar{X})=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{\text { Totat Distance }}{\text { Total Time }} \\ =\frac{60}{\frac{80}{60}} =45 kms per hour
Example:5.नरेश जयपुर से सांगानेर की यात्रा करता है।दोनों शहरों की दूरी 12 किमी है।वह अपनी कार 40 किमी प्रति घण्टा की दर से चलाता है।3 किमी की यात्रा करने के पश्चात् कार खराब हो जाती है उसके पश्चात् वह रिक्शे द्वारा 10 किमी प्रति घण्टा की गति से यात्रा करता है।4.5 किमी दूरी तय करने के पश्चात् वह रिक्शा छोड़ देता है और शेष दूरी पैदल 4 किमी प्रति घण्टा की गति से चलकर पूरी करता है।सम्पूर्ण यात्रा की औसत गति प्रति घण्टा ज्ञात कीजिए।
(Naresh travels from Jaipur to sanganer.The distance between these two cities is 12 kms.He drives his car at 40 kms per hour.After traveling 3 kms the car stop running.He then travels by a Rickshaw at 10 kms per hour.After traveling a distance on foot at 4 kms per hour.Find the average speed per hour for the whole journey.)
Solution:प्रश्न में दूरी चल है तथा दर में दूरी चल है।अतः समान्तर माध्य ज्ञात किया जाएगा।
=\frac{\text { Distance }}{\text { Speed }}
कार द्वारा लिया गया समय=\frac{3}{40} घण्टे
रिक्शे द्वारा लिया गया समय=\frac{45}{10} =\frac{9}{20} घण्टे
पैदल चलने में लिया गया समय=\frac{4.5}{4}=\frac{9}{8} घण्टे
कुल समय=\frac{3}{40}+\frac{9}{20}+\frac{9}{8} \\ =\frac{3+18+45}{40} \\ =\frac{66}{40}=\frac{33}{20} घण्टे
औसत चाल (\bar{X})=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{\text{ कुल दूरी}}{\text{ कुल समय }}
किमी प्रति घण्टा=\frac{12}{\frac{33}{20}} \\ =\frac{240}{33} =7.27 किमी प्रति घण्टा
Example:6.निम्न श्रेणी से गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate the Geometric Mean and Hormonic Mean from the following series):
(i)2574 475 75 5 .8 .08 .005 .0009
(ii).8974 .0570 .0081 .5677 .0002 .0984 .0854 .5672
Solution:(i) Calculation of GM and HM Table
| X | log X | Reciprocal X |
| 25 | 1.3979 | 0.04 |
| 74 | 1.8692 | 0.0135 |
| 475 | 2.6767 | 0.0021 |
| 75 | 1.8751 | 0.0133 |
| 5 | 0.6990 | 0.2 |
| 0.8 | \bar{1}.9031 | 1.25 |
| 0.08 | \bar{2}.9031 | 12.5 |
| 0.005 | \bar{3}.6990 | 200 |
| 0.0009 | \bar{4}.9542 | 1.1111 |
| Total | 0.9773 | 215.13 |
GM =\operatorname{Antilog} \left(\frac{\Sigma \log X}{N}\right) \\ =\operatorname{Antilog} \left(\frac{1.9773}{9}\right) \\ =\operatorname{Antilog}(0.2197) \\ \Rightarrow GM=1.659
H M=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma(\text { Reciprocal } X )}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{215.13}{9}\right] \\ =\text { Reciprocal of }(23.9033) \\ \Rightarrow HM =0.0418
(ii)Calculation of GM and HM Table
| X | log X | Reciprocal X |
| 0.8974 | \bar{1}.9530 | 1.1143 |
| 0.0570 | \bar{2}.7559 | 17.5439 |
| 0.0081 | \bar{3}.9085 | 123.4568 |
| 0.5677 | \bar{1}.7541 | 1.7615 |
| 0.002 | \bar{4}.3010 | 5000 |
| 0.0984 | \bar{2}.9930 | 10.1626 |
| 0.0854 | \bar{2}.9315 | 11.7096 |
| 0.5672 | \bar{1}.7537 | 1.7630 |
| Total | \bar{10}.3507 | 5167.5117 |
GM =\operatorname{Antilog} \left(\frac{\Sigma \log X}{N}\right) \\ =\operatorname{Antilog} \left(\frac{\overline{10}.3507}{8}\right) \\ =\operatorname{Antilog} \left(\frac{\overline{16}+6.3507}{8}\right)\\=\operatorname{Antilog}(\bar{2}+0.7938)\\ =\operatorname{Antilog}(\overline{2}.7938) \\ \Rightarrow GM=0.06220
H M=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma(\text { Reciprocal } X )}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{5167.5117}{8}\right] \\ =\text { Reciprocal of }(645.9390) \\ \Rightarrow HM =0.0015
Example:7.निम्नलिखित आंकड़ों द्वारा गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य निकालिए:
(From the following data, compute the geometric mean and the harmonic mean):
15,250,15.7,157,1.57,105.7,10.5,1.06,25.7,0.257
Solution:Calculation of GM and HM Table
| X | log X | Reciprocal X |
| 15 | 1.1761 | 0.0667 |
| 250 | 2.3979 | 0.004 |
| 15.7 | 1.1959 | 0.0637 |
| 157 | 2.1959 | 0.0064 |
| 1.57 | 0.1959 | 0.6369 |
| 105.7 | 2.0241 | 0.0095 |
| 10.5 | 1.0212 | 0.0952 |
| 1.06 | 0.0253 | 0.9434 |
| 25.7 | 1.4099 | 0.0389 |
| 0.257 | \bar{1}.4099 | 3.8911 |
| Total | 11.0521 | 5.7558 |
GM =\operatorname{Antilog} \left(\frac{\Sigma \log X}{N}\right) \\ =\operatorname{Antilog} \left(\frac{11.0521}{10}\right) \\ =\operatorname{Antilog}(1.10521) \\ \Rightarrow GM=12.75
H M=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma(\text { Reciprocal } X )}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{5.7558}{10}\right] \\ =\text { Reciprocal of }(0.57558) \\ \Rightarrow HM =1.7374
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा हरात्मक माध्य (Harmonic Mean),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) को समझ सकते हैं।
3.हरात्मक माध्य के सवाल (Harmonic Mean Questions):
(1.)निम्न आंकड़ों से हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 0-4 | 4-8 | 8-12 | 12-16 | 16-20 |
| आवृत्ति | 4 | 12 | 20 | 9 | 5 |
(2.)अंग्राकित समंकों से सरल (simple) और भारांकित हरात्मक माध्य (Weighted Harmonic Mean) ज्ञात कीजिए।
| आकार | 60 | 80 | 150 | 160 | 200 |
| भार | 3 | 10 | 2 | 4 | 1 |
(1)HM=7.246 या 7.25
(2)HM=106.2,WHM=91.74
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हरात्मक माध्य (Harmonic Mean),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.हरात्मक माध्य (Harmonic Mean),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.हरात्मक माध्य का क्या उपयोग है? (What is the use of harmonic mean?):
उत्तर:सांख्यिकी में हरात्मक माध्य का उपयोग सीमित क्षेत्र में किया जाता है।औसत गति,चलन वेग तथा वस्तु की मात्रा प्रति रुपए के रूप में दिए गए मूल्य (quantity prices) इत्यादि की औसत मात्रा ज्ञात करने के लिए हरात्मक माध्य विशेष रूप से उपयुक्त है।इन स्थितियों में समांतर माध्य का उपयोग नहीं करना चाहिए।उदाहरणार्थ यदि एक मोटर कार 120 किलोमीटर 40 किलोमीटर प्रति घंटा (km per hour) की गति से जाती है तथा वापसी में 120 किलोमीटर का रास्ता 60 किलोमीटर प्रति घंटा की गति से तय करती है तो उसकी औसत गति 40 व 60 का हरात्मक माध्य अर्थात् 48 होगी।
प्रश्न:2.हरात्मक माध्य के लाभ क्या हैं? (What are the benefits of harmonic mean?):
उत्तर:हरात्मक माध्य के अनेक लाभ हैं।प्रथम,अन्य गणितीय माध्यों की भांति हरात्मक माध्य भी समंक श्रेणी के सभी मूल्यों पर आधारित होता है।दूसरे यह अन्य माध्यों की अपेक्षा बड़े मूल्यों को बहुत कम तथा छोटे मूल्यों को बहुत अधिक महत्त्व देता है। तीसरे,अन्य गणितीय माध्यों के समान इसका भी बीजगणितीय विवेचन हो सकता है।चौथे,विशेष प्रकार की दरों,मात्रा-मूल्यों,चलन वेग आदि की औसत ज्ञात करने के लिए यह अधिक उपयुक्त है। जहाँ मूल्यों में परस्पर विषमता अधिक हो वहां भी इस माध्य का प्रयोग वांछनीय होता है।
प्रश्न:3.हरात्मक माध्य के दोष क्या हैं? (What are the defects of the harmonic mean?):
उत्तर:हरात्मक माध्य में कुछ दोष भी हैं।उदाहरणार्थ,गुणोत्तर माध्य की भांति इसकी गणन-क्रिया भी अत्यंत जटिल है।सारणी से व्युत्क्रम देखना सामान्य व्यक्ति के लिए कोई सरल कार्य नहीं है।इसके अतिरिक्त इसे निकालने में श्रेणी के सभी मूल्यों का ज्ञान होना आवश्यक है।अधिकतर हरात्मक माध्य एक ऐसा मूल्य हो सकता है जो समंकमाला के दिए हुए मूल्यों में से न हों।ऐसी स्थिति में यह माध्य पूरे समूह का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता।
प्रश्न:4.हरात्मक माध्य की गणना करते समय किन-किन बातों का ध्यान रखना चाहिए? (What should be taken care of while calculating the harmonic mean?):
उत्तर:प्रश्न को हल करते समय यह मालूम करना चाहिए कि:
(i)कौनसी दर चल (Variable) है और कौनसी अचल (Constant)।
(ii)प्रश्न में किसे चल और किसे अचल रखने को कहा गया है।यह तथ्य प्रश्न की भाषा पढ़ने से सरलता से ज्ञात हो जाता है।
(iii)इसके पश्चात जिसे प्रश्न में चल रखा गया है और दर में उसे अचल रखने को कहा गया है तो हरात्मक माध्य की गणना करेंगे।
(iv)विपरीत दशा में समांतर माध्य निकाला जाता है अर्थात् जिसे दर में चल रखा गया है और उसे प्रश्न में भी चल रखने को कहा जाए या जिसे अचल रखा गया है और उसे अचल रखने को कहा जाए तो समांतर माध्य की गणना की जाएगी।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा हरात्मक माध्य (Harmonic Mean),गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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हरात्मक माध्य (Harmonic Mean)
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किसी समंकश्रेणी में मूल्यों की संख्या को उनके व्युत्क्रमों (Reciprocals) के योग से भाग देने पर जो
मूल्य प्राप्त होता है वही उस श्रेणी का हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) कहलाता है।दूसरे शब्दों
में मूल्यों के व्युत्क्रमों के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम को उनका हरात्मक माध्य कहा जाता है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
