1.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin),त्रिविमीय निर्देशांक में शंकु का समीकरण (Equation of Cone in 3D):

Equation of Cone with Vertex at Origin

शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin) तो शंकु का समीकरण x,y,z में समद्विघाती होता है।शंकु के समीकरण की घात निर्देशक वक्र के समीकरण के घात पर निर्भर करता है।यदि निर्देशक वक्र एक शांकव (Conic) है तो शंकु का समीकरण द्विघातीय होगा।वह शंकु जिसका समीकरण द्विघातीय होता है द्विघाती (Quadratic) कहलाता है।
शंकु जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Cone with Vertex at the Origin is a homogeneous equation of second degree in x,y,z.)
(To prove that the equation of the cone with vertex at the origin is a homogeneous equation of second degree in x,y,z.)
मान लो कि x,y,z में द्विघाती व्यापक समीकरण है:

ax^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1)
एक ऐसे शंकु को व्यक्त करता है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है।अब माना कि शंकु पर कोई बिन्दु विद्यमान है तब:

a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}+2 f \beta \gamma+2g \gamma \alpha+2 h \alpha \beta+2u \alpha+2v \beta+2w \gamma+d=0 \cdots(2)

शंकु का शीर्ष O(0,0,0) है तथा P(\alpha, \beta, \gamma) शंकु पर कोई बिन्दु है।इसलिए शंकु का जनक OP होगा तथा OP का समीकरण होगा:

\frac{x}{\alpha}=\frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma}=r
परिभाषानुसार जनक रेखा OP का प्रत्येक बिन्दु (1) को सन्तुष्ट करेगा।OP कोई बिन्दु माना Q के निर्देशांक \left ( r \alpha,r \beta,r \gamma \right ) हैं,अतः r के प्रत्येक मान के लिए \left ( r \alpha,r \beta,r \gamma \right ) समीकरण को सन्तुष्ट करेगा अतः

r^{2}\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}+2 f \beta \gamma+2 g \gamma \alpha+2 h \alpha \beta\right)+2 r(u \alpha+v \beta+w \gamma)+d=0
एक सर्वसमिका होगी।अतः r^{2} तथा r के गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:

a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}+2 f \beta \gamma+2 g \gamma \alpha+2 h \alpha \beta=0 \cdots(4)\\ u \alpha+v \beta+w \gamma=0 \cdots(5) \\ d=0 \cdots(6)
समीकरण (6) से व्यक्त होता है कि शंकु मूलबिन्दु से होकर जाता है जो कि सत्य है।प्रतिबन्ध (2) तथा (6) की सहायता से प्रतिबन्ध (4) भी (5) में रूपान्तरित हो जाता है।यदि u,v तथा w सभी शून्य नहीं है तब (5) से स्पष्ट है कि बिन्दु P तल ux+vy+wz=0 पर स्थित है जो कि हमारी परिकल्पना के विरुद्ध है।अतः
u=v=w=0
फलत: u,v,w तथा d के मान (1) में रखने पर शंकु जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है:

a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0
होगा जो कि x,y,z में समद्विघाती समीकरण है।यही सिद्ध करना था।
विलोमत: (Conversely):प्रत्येक x,y,z में समद्विघाती समीकरण उस शंकु जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है,को प्रदर्शित करता है।
(Every homogeneous equation of second degree in x,y,z represents a cone with its vertex at the origin.)
माना कि x,y,z में समद्विघात समीकरण निम्न है:

a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(1)
यह भी माना कि (1) के द्वारा प्रदर्शित पृष्ठ पर P(\alpha, \beta, \gamma) कोई एक बिन्दु है तब

a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}+2 f \beta \gamma+2 g \gamma \alpha+2 h \alpha \beta=0 \cdots(2)
अब प्रतिबन्ध (2) से यह स्पष्ट है कि प्रत्येक r के मान के लिए (r \alpha, r \beta, r \gamma) भी समीकरण (1) को सन्तुष्ट करता है।
अतः यदि कोई बिन्दु P पृष्ठ (1) पर है तो प्रत्येक r के मान के लिए (r \alpha, r \beta, r \gamma) अर्थात् रेखा:

\frac{x}{\alpha}=\frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma}
का प्रत्येक बिन्दु पृष्ठ (1) पर है।
फलतः (1) सरल रेखा OP (जहाँ O मूलबिन्दु है) से जनित पृष्ठ को प्रदर्शित करता है।
अतः शंकु की परिभाषा से (1) एक शंकु को प्रदर्शित करता है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है।
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2.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है के उदाहरण (Equation of Cone with Vertex at Origin Questions):

Example:1.यदि सरल रेखा \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} वक्र a x^{2}+b y^{2}=1, z=0 को प्रतिच्छेदित करती है तो सिद्ध करिए कि
(If the straight line \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} intersect the curve a x^{2}+b y^{2}=1, z=0, then prove that a\left(\alpha n-\gamma l\right)^{2}+b(\beta n-\gamma m)^{2}=n^{2}.)
Solution:\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} रेखा वक्र a x^{2}+b y^{2}=1, z=0 को प्रतिच्छेदित करती है अतः z=0 रखने पर:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{-\gamma}{n}
अतः x=\alpha-\frac{l \gamma}{n}, y=\beta-\frac{m \gamma}{n}
अतः रेखा पर स्थित यह बिन्दु \left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}, \beta-\frac{m \gamma}{n}, 0\right) वक्र की समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे।

a\left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}\right)^{2}+b\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{a(\alpha n-l \gamma)^{2}}{n^{2}}+\frac{b(\beta n-m \gamma)^{2}}{n^{2}}=1 \\ \Rightarrow a(\alpha n-l \gamma)^{2}+b(\beta n-m \gamma)^{2}=n^{2}
जो कि सत्य है।
उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है तथा जो निम्न वक्रों के प्रतिच्छेदन से गुजरता है:
(Find the equation to the cone whose vertex is the origin and which passes through the curve of intersection of):
Example:2.x^{2}+y^{2}=4, z=2
Solution:रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती है,का समीकरण होगा:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \ldots(1)
यह रेखा वक्र x^{2}+y^{2}=4, z=2 को प्रतिच्छेदित करती है अतः z=2 रखने पर:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{2}{n} \cdots(2)
प्रतिच्छेदन बिन्दु के निर्देशांक

\left(\frac{2 l}{n}, \frac{2 m}{n}, 0\right)
अतः रेखा पर स्थित यह बिन्दु वक्र की समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे:

\left(\frac{2 l}{n}\right)^{2}+\left(\frac{2 m}{n}\right)^{2}=4 \\ \Rightarrow \frac{4 l^{2}}{n^{2}}+\frac{4 m^{2}}{n^{2}}=4 \\ \Rightarrow \frac{l^{2}}{n^{2}}+\frac{m^{2}}{n^{2}}=1 \ldots(3)
समीकरण (1) व (3) से \frac{l}{n} व \frac{m}{n} को लुप्त करने पर:

\left(\frac{x}{z}\right)^{2}+\left(\frac{y}{z}\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}=z^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-z^{2}=0
Example:3. x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 a x+b=0, l x+m y+n z=p
Solution:रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती है,का समीकरण होगा:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \ldots(1)
यह रेखा वक्र x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 a x+b=0,lx+my+ny=p को प्रतिच्छेदित करती है अतः योगानुपात से:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}= \frac{1 x+m y+n z}{l^{2}+m^{2}+n^{2}} \cdots(2)\\ \Rightarrow \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=\frac{p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}} \cdots(3)
इस पर किसी बिन्दु के निर्देशांक

\left(\frac{l p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \frac{m p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \frac{n p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\right)
यह बिन्दु वक्र पर होगा यदि:

\left(\frac{l p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{m p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{n p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\right)^{2}+ 2a \left(\frac{l p}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\right)+b=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से \frac{l}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \frac{m}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \frac{n}{l^{2}+m^{2}+n^{2}} का विलोपन करने पर:

\Rightarrow \frac{p^{2} x^{2}}{(l x+m y+n z)^{2}} +\frac{p^{2} y^{2}}{\left(l x+m y+n z\right)^{2}}+ \frac{p^{2} z^{2}}{\left(l x+m y+n z\right)^{2}} +2 a p \cdot \frac{x}{l x+m y+n z}+b=0 \\ \Rightarrow p^{2} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right) +2 a p x\left(l x+m y+nz\right)+b(l x+m y+n z)^{2}=0

Example:4.a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} =1; \alpha x^{2}+\beta y^{2}=2
Solution:रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती है,का समीकरण होगा:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \cdots(1) \\ \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=\sqrt{\frac{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}=\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}\cdots(2)
रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{\sqrt{2} l}{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}, \frac{\sqrt{2} m}{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}, \frac{\sqrt{2} n}{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}\right) हैं यह बिन्दु वक्र पर होगा यदि यह वक्र को सन्तुष्ट करेगा:

\frac{2 a l^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}+\frac{2 b m^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}+\frac{2 c n^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}=1 \cdots(3)
समीकरण (2) व (3) से \frac{l^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2} }, \frac{m^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}} , \frac{n^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}} का विलोपन करने पर:

\Rightarrow \frac{2 a x^{2}}{2 x^{2}+\beta y^{2}}+\frac{2 b y^{2}}{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}+\frac{2 c z^{2}}{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}=1 \\ \Rightarrow 2\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)=\alpha x^{2}+\beta y^{2}

Equation of Cone with Vertex at Origin

Example:5.a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 ; \alpha x^{2}+\beta y^{2}=2 z
Solution:रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती है,का समीकरण होगा:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \cdots(1) \\ \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=\frac{\sqrt{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}}{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}=\frac{\sqrt{2 z} }{\sqrt{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}}\cdots(2)
रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{2 n l}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}} ,\frac{2 n m}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}, \frac{2 n^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}\right) हैं।यह बिन्दु वक्र पर होगा यदि यह वक्र के समीकरण को सन्तुष्ट करेगा:

a \frac{4 n^{2} l^{2}}{\left(\alpha l^{2}+\beta m^{2}\right)^{2}}+b \frac{4 n^{2} m^{2}}{\left(\alpha l^{2}+\beta m^{2}\right)^{2}} + c\frac{4 n^{4}}{\left(\alpha l^{2}+\beta m^{2}\right)^{2}}=1
समीकरण (2) व (3) से \frac{l^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}, \frac{m^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}}, \frac{n^{2}}{\alpha l^{2}+\beta m^{2}} का विलोपन करने पर:

4 a \frac{n^{2}x^{2}}{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}+4b \frac{ n^{2} y^{2}}{\alpha^{2} x^{2}+\beta y^{2}}+4c \frac{ n^{2}z^{2}}{\alpha x^{2}+\beta y^{2}}=1 \\ \Rightarrow 4\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right) n^{2}=\alpha x^{2}+\beta y^{2}
Example:6.मूलबिन्दु से जानेवाली इस रेखा द्वारा निर्मित शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके दिक् अनुपात निम्न समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं:
(Find the equation to the cone generated by the lines through the origin such that their direction ratios satisfy):

(i)3 l^{2}+5 m^{2}-2 n^{2}=0

(ii) 5 l^{2}-9 m^{2}+n^{2}-m n+n l-5 l m=0
Solution:(i)रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती है,का समीकरण होगा:
\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{x}=r(माना)
रेखा (1) पर P(lr,mr,nr) कोई एक बिन्दु है।यदि रेखा 3 l^{2}+5 m^{2}-2 n^{2}=0 को सन्तुष्ट करती है।

3 l^{2}+5 m^{2}-2 n^{2}=0 \cdots(2)
(1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

3 \frac{x^{2}}{r^{2}}+5 \frac{y^{2}}{r^{2}}-\frac{2 z^{2}}{r^{2}}=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}+5 y^{2}-2 z^{2}=0
जो कि अभीष्ट शंकु का समीकरण है।
(ii)5 l^{2}-9 m^{2}+n^{2}-m n+n l-5 l m=0

रेखा के दिक् अनुपात उपर्युक्त समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं अतः l,m,n का विलोपन करने पर:

5 \frac{x^{2}}{r^{2}}-\frac{9 y^{2}}{r^{2}}+\frac{z^{2}}{r^{2}}-\frac{y}{r} \cdot \frac{z}{r}+\frac{z}{r} \cdot \frac{x}{r}-\frac{5 x}{r} \cdot \frac{y}{r}=0 \\ \Rightarrow \frac{5 x^{2}}{r^{2}}-\frac{9 y^{2}}{r^{2}}+\frac{z^{2}}{r^{2}}-\frac{y z}{r^{2}}+\frac{z x}{r^{2}}-\frac{5 x y}{r^{2}}=0 \\ \Rightarrow 5 x^{2}-9 y^{2}+z^{2}-y z+z x-5 x y=0
जो कि अभीष्ट शंकु का समीकरण है।
Example:7.उस शंकु का समीकरण ज्ञात करो जिसका शीर्ष मूलबिन्दु तथा आधार वृत्त x=a, y^{2}+z^{2}=b^{2} हो तथा सिद्ध करो कि तल XOY के समान्तर किसी तल द्वारा किया गया इस शंकु का खण्ड एक अतिपरवलय होगा।
(Find the equation to cone whose vertex is the origin and base the circle x=a, y^{2}+z^{2}=b^{2} and show that the section of the plane XOY is a hyperbola.)
Solution:रेखा जिसके दिक् अनुपात l,m,n हैं तथा मूलबिन्दु (0,0,0) से गुजरती हैं,का समीकरण होगा:
\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r(माना)
x=a, y^{2}+z^{2}=b^{2}  अतः (1) में x=a रखने पर:

\frac{a}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r \cdots(2)
रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक \left(a, \frac{m a}{l}, \frac{n a}{l}\right) वृत्त को सन्तुष्ट करेंगे:

\frac{m^{2} a^{2}}{l^{2}}+\frac{n^{2} a^{2}}{x^{2}}=b^{2}
(1) व (3) से का विलोपन करने पर:

a^{2} \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}}+a^{2} \frac{z^{2}}{x^{2}}=b^{2} \\ \Rightarrow \frac{a^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)}{x^{2}}=b^{2} \\ \Rightarrow a^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)=b^{2} x^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin),त्रिविमीय निर्देशांक में शंकु का समीकरण (Equation of Cone in 3D) को समझ सकते हैं।

3.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है के सवाल (Equation of Cone with Vertex at Origin Questions):

Equation of Cone with Vertex at Origin

(1.)उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष (\alpha, \beta, \gamma) और आधार a x^{2}+b y^{2}=1, z=0 है।
(Find the equation of the cone whose vertex is (\alpha, \beta, \gamma) and basis is a x^{2}+b y^{2}=1, z=0.)
(2.)शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है तथा जो प्रतिच्छेदी वक्र ax^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 ,lx+my+nz=p से गुजरता है।
(Find the equation to the cone whose vertex is the origin and which passes through the curve of intersection of ax^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 ,lx+my+nz=0.)
उत्तर (Answers): (1) z^{2}\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}-1\right)-2 z \gamma \left(a \alpha x+b \beta y-1\right)+\gamma^{2}\left(a x^{2}+b y^{2}-1\right)=0

(2)p^{2}\left(a x^{2}+b y^{2}+cz^{2}\right)=(l x+m y+n z)^{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin),त्रिविमीय निर्देशांक में शंकु का समीकरण (Equation of Cone in 3D) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin),त्रिविमीय निर्देशांक में शंकु का समीकरण (Equation of Cone in 3D) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Equation of Cone with Vertex at Origin) तो शंकु का
समीकरण x,y,z में समद्विघाती होता है।शंकु के समीकरण की घात निर्देशक वक्र के समीकरण के घात
पर निर्भर करता है।