1.निश्चित समाकल (Definite Integral):

Definite Integral

निश्चित समाकल (Definite Integral):यदि f(x) अन्तराल [a,b] में परिभाषित एक वास्तविक मानों का संतत फलन हो तथा f(x) का प्रतिअवकलज (Antiderivative) F(x) हो तो F(b)-F(a) निश्चित समाकल (Definite Integral) कहलाता है।।जहाँ a व b निश्चित समाकल (Definite Integral) की क्रमशः निम्न व उच्च सीमाएं हैं तथा अन्तराल [a,b] को समाकल्य का परिसर कहते हैं।इस निश्चित समाकल (Definite Integral) को “f(x) का a से b तक समाकल” पढ़ते हैं।निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान निश्चित होने के कारण समाकलन करने के बाद अचर C पद इसमें नहीं आएगा।
साधारण निश्चित समाकलों का मान ज्ञात करना (To Find the Value of the Common Definite Integrals):
किसी फलन के निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान ज्ञात करने के लिए पहले उस फलन का ज्ञात विधियों से अनिश्चित समाकल निकाला जाता है फिर परिणाम में चर के स्थान पर उच्च सीमा और निम्न सीमा रखकर उसका मान निकाल लिया जाता है।इन दोनों मानों के अन्तर को ही निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान कहते हैं।
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2.निश्चित समाकल के उदाहरण (Definite Integral Examples):

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए:
Example:1.\int_{1}^{3}(2 x+1)^{3} d x
Solution: I=\int_{1}^{3}(2 x+1)^{3} d x \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{2 x+1)^{4}}{4}\right]_{1}^{3} \\ =\frac{1}{8}\left[(2 \times 3+1)^{4}-(2 \times 1+1)^{4}\right] \\ =\frac{1}{8}\left[7^{4}-3^{4}\right] \\ =\frac{1}{8}(2401-81) \\ =\frac{1}{8} \times 2320 \\ =290
Example:2.\int_{1}^{3} \frac{\cos (\log x)}{x} d x
Solution:I=\int_{1}^{3} \frac{\cos (\log x)}{x} d x \\ \text { put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ \text { When } x=1 \text { then } t=0 \\ \text { when } x=3 \text { then } t=\log 3 \\I=\int_{0}^{\log 3} \cos t d t \\ =[\sin t]_{0}^{\log 3} \\ \Rightarrow I=\sin (\log 3)
Example:3.\int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x
Solution:I=\int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x \\ \text { put } \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ \text { when } x=0 \text { then } t=0 \\ \text { When } x=1 \text { then } t=1 \\ I =\int_{0}^{1} 2 e^{t} d t \\ =2\left[e^{t} \right]_{0}^{1} \\ \Rightarrow I=2(e-1)
Example:4.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin x} d x
Solution:I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(1+\sin x)} d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right)} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right) d x  \\ =\left[-2 \cos \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =-2 \cos \frac{\pi}{4}+2 \sin \frac{\pi}{4}+2 \cos 0^{\circ}-2 \sin 0^{\circ}\\ =-2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}+2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}+2(1)-2(0) \\I=2
Example:5.\int_{0}^{c} \frac{y}{\sqrt{y+c}} d y
Solution:I=\int_{0}^{c} \frac{y}{\sqrt{y+c}} d y \\ =\int_{0}^{c} \frac{y+c-c}{\sqrt{y+c}} d y \\ =\int_{0}^{c} \frac{y+c}{\sqrt{y+c}} d y-\int_{0}^{c} \frac{c}{\sqrt{y+c}} d y \\ =\int_{0}^{c} \sqrt{y+c} \quad d y-c \int_{0}^{c} \frac{1}{\sqrt{y+c}} d y \\ =\frac{2}{3}\left[(y+c)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{c}-c \times 2\left[(y+c)^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{c} \\ =\frac{2}{3}(2 c)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} c^{\frac{3}{2}}-2 c(2 c)^{\frac{1}{2}}+2 c(c)^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{4 \sqrt{2}}{3} c^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} c^{\frac{3}{2}}-2 \sqrt{2} c^{\frac{3}{2}}+2 c^{\frac{3}{2}} \\ =-\frac{2 \sqrt{2}}{3} e^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{3} e^{\frac{3}{2}} \\ I=\frac{2}{3}(2-\sqrt{2}) c^{\frac{3}{2}}
Example:6.\int_{0}^{\infty} \frac{e^{\tan x} x}{1+x^{2}} d x
Solution:I=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{\tan x}}{1+x^{2}} d x \\ \text { put } \tan ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}} d x=d t \\ \text { When } x=\infty \text { then } t=\frac{\pi}{2} \\ \text { When } x=0 \text { then } t=0 \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{t} d t \\ =\left[e^{t} \right]_{0}^{\pi / 2} \\ \Rightarrow I=e^{\frac{\pi}{2}}-1
Example:7.\int_{1}^{2} \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x
Solution:I=\int_{1}^{2} \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x \\ \text { Put } 1+\log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=d t \\ \text { when } x=1 \text { then } t=1 \\ \text { when } x=2 \text { then } t=1+\log 2 \\ I=\int_{1}^{1+\log 2} t^{2} d t \\=\frac{1}{3} \left[t^{3}\right]_{1}^{1+\log 2} \\ =\frac{1}{3}\left[(1+\log 2)^{3}-1\right]
Example:8.\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{d x}{x(\log x)^{\frac{1}{3}}}
Solution:I=\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{d x}{x(\log x)^{\frac{1}{3}}} \\ \text{ put } \log x=t \Rightarrow \frac{1}{x} d x=t \\ \text { when } x=\frac{1}{e} \text { then } t=-1 \\ \text { when } x=e \text { then } t=1 \\ I=\int_{-1}^{1} \frac{d t}{t^{\frac{1}{3}}} \\ = \frac{3}{2}\left[t^{\frac{2}{3}}\right]_{-1}^{1} \\ =\frac{3}{2}\left[(1)^{\frac{2}{3}}-(-1)^{\frac{2}{3}}\right] \\=\frac{3}{2}[1-1] \\ =\frac{3}{2}(0) \\ \Rightarrow I=0
Example:9.\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x \cos 3 x d x
Solution:I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x \cos 3 x d x \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2 x \cos 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin 2 x \cos 3 x d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[ \sin (2 x+3 x)-\sin (3 x-2 x)\right] d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin 5 x-\sin x) d x \\ =\frac{1}{2}[-\frac{\cos 5 x}{5}+\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{5} \cos \frac{5 \pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos 0-\cos 0\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5} \cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4} \right] \\ =\frac{1}{2} \times \frac{6}{5} \cos \frac{\pi}{4} \\ =\frac{3}{5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow I =\frac{3}{5 \sqrt{2}}

Definite Integral

Example:10.\int_{0}^{e^{2}}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^{2}}\right] d x
Solution:I=\int_{0}^{e^{2}}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^{2}}\right] d x \\ I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{\log x} d x-\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{(\log x)^{2}} d x \\ I=\frac{1}{\log x} \int_{e}^{e^{2}} 1 \cdot d x-\int_{e}^{e^{2}}\left[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{\log x} \right) \int 1 \cdot d x\right] d x -\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{(\log x)^{2}} d x \\ I=\left[\frac{x}{\log x}\right]_{e}^{e^{2}}+\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{(\log x)^{2}} d x-\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{(\log x)^{2}} d x \\ =\frac{e^{2}}{\log e^{2}}-\frac{e}{\log e} \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} e^{2}-e
Example:11.\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
Solution:I=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \\ \text { Put } 1-x^{2}=t^{2} \Rightarrow \\ \Rightarrow -2 x d x=2 t d t \\ \text{ when } x=0 \text{ then } t=1 \\ \text{ when } x=1 \text{ then } t=0 \\ I=\int_{1}^{0} -\frac{\left(1-t^{2}\right) }{t} \cdot t d t\\ I =\int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right) d t \\ =\left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} \\ =1-\frac{1}{3} \\ \Rightarrow I =\frac{2}{3}
Example:12.\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\cos x} d x
Solution:I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\cos x} d x \\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{x}{2} \right)} d x \\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} d x \\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\frac{1}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}-\frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}\right] d x \\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\frac{1}{2} \operatorname{cosec}^{2} \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2} \right] d x \\ =\left[-\cot \frac{x}{2}-2 \log \sin \frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\ =-\cot \frac{\pi}{2}+\cot \frac{\pi}{4}-2 \log \sin \frac{\pi}{2}+2 \log \sin \frac{\pi}{4} \\ =1+2 \log \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ =1-2 \log \sqrt{2} \\ =1-\log 2 \\ \Rightarrow I=\log e-\log 2 \\ \Rightarrow I=\log \left(\frac{e}{2}\right)
Example:13.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x
Solution:I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ 2 \sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x +\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x\\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx \\ =\frac{1}{2}[x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{2}[\log (\sin x+\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\left [ \log \sin \frac{\pi}{2}-\log \cos 0 \right ] \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}
Example:14.\int_{-1}^{1} x \tan ^{-1} x d x
Solution:I=\int_{-1}^{1} x \tan ^{-1} x d x \\ =\left[\tan ^{-1} x \int x d x\right]^{1}_{-1}-\int_{-1}^{1} \left[\frac{d}{dx} \tan ^{-1} x \int x d x\right]{dx} \\ =\left[\frac{x^{2} \tan ^{-1} x}{2}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2} d x \\ =\frac{1}{2} \tan^{-1} (1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1}(-1)-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \tan ^{-1}(1)-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}} d x \\ =\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} d x+\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \\ =\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} 1 \cdot d x+\frac{1}{2}[\tan^{-1} x]_{-1}^{1} \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}[x]_{-1}^{1}+\frac{1}{2} \tan ^{-1}(1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} (-1) \\ =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}(2)+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\\ =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-1 \\ I=\frac{\pi}{2}-1
Example:15.\int_{0}^{1} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
Solution:I=\int_{0}^{1} \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \\ \text{ put } \sin ^{-1} x=t \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=d t \\ \text{ when } x=0 \text{ then } t=0 \\ \text{ when } x=1 \text{ then } t=\frac{\pi}{2} \\ I=\int_{0}^ {\frac{\pi}{2}} t \sin t d t \\ =\left[t \int \sin t dt \right] ^{\frac{\pi}{2}} _{0} -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{d}{d t}(t) \int \sin t d t\right] dt\\ =[-t \cos t]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t d t\\ =-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2}+0+[\sin t]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ =\sin \frac{\pi}{2} \\ I=1
Example:16.\int_{-1}^{2} \log x d x
Solution:I=\int_{-1}^{2} \log x d x \\ =\left[\log x \int 1 \cdot d x\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2} \left[\frac{d}{d x} \log x \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =[x \log x]_{1}^{2}-\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \cdot x d x \\ =2 \log 2-0-\int_{1}^{2} 1 \cdot d x \\ =2 \log 2-[x]_{1}^{2} \\ =2 \log 2-2+1 \\ =2 \log 2-1 \\ =\log 4-\log e \\ I=\log \left ( \frac{4}{e} \right )
Example:17.\int_{0}^{3} \sqrt{\frac{x}{3-x}} d x
Solution:I=\int_{0}^{3} \sqrt{\frac{x}{3-x}} d x \\ \text { Put } x=3 \sin ^{2} x \\ \Rightarrow d x=6 \sin t \cos t dt \\ \text{ when } x=0 \text{ then } t=0 \\ \text{ when } x=3 \text{ then } t=\frac{\pi}{2} \\ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{3 \sin ^{2} t}{3-3 \sin ^{2} t}} \times 6 \sin t \cos t dt \\=6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} } \sin t \cos t d t \\ =6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t} \sin t \cos t d t\\ =6 \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{2} t d t\\ =3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2 t) d t\\ =3\left[t-\frac{\sin 2 t}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =3\left[\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \sin \pi-0\right] \\ \Rightarrow I=\frac{3 \pi}{2}
Example:18.\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x
Solution:I=\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x \\ I=\int_{0}^{1} \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}} d x \\ =\int_{0}^{1} \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \\ I =\int_{0}^{1} 1 \cdot d x-\left[ \tan^{-1} x\right]_{0}^{1} \\ =[x]_{0}^{1}-\tan ^{-1} 1+\tan ^{-1} 0 \\\Rightarrow I =1-\frac{\pi}{4}

Example:19.\int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)(x+2)}

Solution:I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)(x+2)} \\ =\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right] d x \\ =[\log (x+1)-\log (x+2)]_{0}^{1} \\ =\log 2-\log 3+\log 2 \\ =2 \log 2-\log 3 \\ =\log 4-\log 3 \\ I=\log \left(\frac{4}{3}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित समाकल (Definite Integral) को समझ सकते हैं।

3.निश्चित समाकल की समस्याएं (Definite Integral Problems):

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए:

\text { (1)) } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\sin^{4} x+\cos ^{4} x} d x \\ \text { (2.) } \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x^{4} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} \\ \text { (3) } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x} \\ \text { (4) } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x
उत्तर (Answers):(1) \frac{1}{4} \\ (2 ) \frac{2-\sqrt{2}}{3 a^{4}} \\ (3) \frac{\pi}{2 a b} \\ (4) \pi \sqrt{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निश्चित समाकल (Definite Integral) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बातें (HIGHLIGHTS):

(1.)यदि किसी फलन का किसी अन्तराल में परिभाषित एक वास्तविक मानों का सतत फलन हो तो निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान अद्वितीय होता है।
(2.)निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान निश्चित होने के कारण समाकलन करने के बाद इसमें अचर पद C नहीं आएगा।
(3.)किसी निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान ज्ञात करने के लिए पहले उस फलन का निम्न ज्ञात विधियों से समाकलन करके अनिश्चित समाकल ज्ञात किया जाता है:
(i)निरीक्षण विधि द्वारा समाकलन (Integration by Inspection Method)
(ii)समाकलन के मानक सूत्र विधि द्वारा (By Standard Formula of Integration Method)
(iii)प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन (Integration by Substitution Method)
(iv)त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration by using Trigonometric Identities)
(v)आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration by Revolving into Partial Parts)
(vi)विशेष रूप के परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Special Forms of Rational Functions)
(vii)अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions)
(viii)खण्डश: समाकलन (Integration by Parts)
(ix)कुछ विशिष्ट प्रकार के समाकल (Some Special Types Integral)
(4.)अनिश्चित समाकलन करने की उपर्युक्त विधियों से समाकलन करने के पश्चात् चर के स्थान पर उच्च सीमा और निम्न सीमा का मान रखकर मान निकाल लिया जाता है।इन दोनों मानों के अन्तर को ही निश्चित समाकल (Definite Integral) का मान कहते हैं।

Definite Integral

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5.निश्चित समाकल (Definite Integral) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निश्चित समाकल (Definite Integral):यदि f(x) अन्तराल [a,b] में परिभाषित एक वास्तविक मानों का संतत
फलन हो तथा f(x) का प्रतिअवकलज (Antiderivative) F(x) हो तो F(b)-F(a) निश्चित समाकल
(Definite Integral) कहलाता है।।