Logarithms

1.लघुगणक (Logarithms):

Logarithms

• लघुगणक (Logarithms) का आविष्कारक स्कॉटलैंड निवासी जॉन नेपियर (John Napier) था।1612 ईसवी में नेपियर की एक पुस्तक जिसका नाम था ‘Mirificilogarithmorum Canons Description’था,एडिनबर्ग में प्रकाशित हुई।इस पुस्तक में लघुगणको के आविष्कार का मार्मिक विवेचन दिया हुआ है।उक्त पुस्तक में पहली बार लघुगणकों की परिभाषा एवं लघुगणक सारणी उपलब्ध होती है।पुस्तक के प्रकाश में आते ही बड़े-बड़े गणितज्ञ जैसे राइट (Wright) और हेनरी ब्रिग्स (Henry Brigs) आदि का ध्यान स्वत: आकृष्ट हो गया।राइट ने इस पुस्तक का अंग्रेजी में अनुवाद किया जिसको उसकी मृत्यु के बाद 1616 ईस्वी में उसके लड़के ने प्रकाशित किया।
• जिन लघुगणक का नेपियर ने आविष्कार किया था,वे वह नहीं थे जो आजकल दशमलव लघुगणक कहलाते हैं। नेपियर ने प्राकृतिक लघुगणकों का आविष्कार किया था।इस प्रणाली में लघुगणक का आधार एक असम्मेय (Incommensurable),संख्या e मानी जाती है।हेनरी ब्रिग्स ने जो अंग्रेज गणितज्ञ था,ने नेपियर के सामने यह प्रस्ताव रखा कि लघुगणकों का आधार संख्या 10 को बना दिया जाए।नेपियर ने इस प्रस्ताव को स्वीकार कर लिया और दोनों ने मिलकर मौलिक लघुगणकों को दशमलश लघुगणकों में बदल दिया।दोनों ने ही मिलकर 1624 ईस्वी में एक पुस्तक ‘एरिथमैटिकल लाॅगरिथमिका’ (Arithmetical Logarithmica) प्रकाशित की जिसमें एक से 30,000 तक और 80,000 से 1,00,000 तक की संख्याओं के लघुगणक दिए गए हैं।
• उपर्युक्त कथन से मालूम पड़ता है कि लघुगणक (Logarithms) का आविष्कार यूरोप में 17वीं शताब्दी में हुआ था परंतु प्राचीन भारतीय ग्रंथों का अवलोकन करने से ज्ञात होता है कि इस विषय की विस्तृत रूप से जानकारी भारत में लगभग 2000 वर्ष पहले भी थी।उस समय लघुगणकों को ‘छेदा गणित’ के नाम से पुकारते थे।तिलोयपण्णति नामक ईसा की दूसरी शताब्दी के जैन ग्रंथ में इस विषय पर विस्तृत विवरण दिया गया है।उस समय लघुगणक के आधार प्राय: 2,3,4 आदि संख्याएं होती थी।जब लघुगणक का आधार 2 होता है तो उसे ‘अर्द्धच्छेद’ कहते हैं,जब आधार 3 हो तो ‘त्रिकच्छेद’ और जब आधार 4 हो तो उसे ‘चतुर्थच्छेद’ कहते हैं।इसके अतिरिक्त एक अन्य शब्द ‘वर्ग शलाका’ भी इस ग्रंथ में मिलता है।इस शब्द का आशय अर्द्धच्छेद के अर्द्धच्छेद से है।यथा a की वर्गशलाका=लघु3लघु4 a है।इन सबका उल्लेख बाद में जैन ग्रंथों ‘धवला’ और ‘तिलोकसार’ आदि में भी विस्तृत रूप से मिलता है।
• निष्कर्षत: कहा जा सकता है कि लघुगणक (Logarithms),गणितशास्त्र में अपना विशेष महत्त्व रखता है।ऐतिहासिकता से संपन्न यह लघुगणक विवेचन जहाँ सैद्धान्तिकता के धरातल पर अत्यंत उपयोगी है,वहां क्रियात्मक धरातल पर भी कम नहीं है। क्योंकि यह भारतीय ऐतिहासिकता के परिवेश में पूर्णतः सत्य उतरता है कि यहां इसका पहले ही प्रचलन था,न कि यह यूरोपीय गणित की देन है।लघुगणक के बीज भारतीय क्षेत्र में बोये गए है।हां,ऐसा हो सकता है इसको पुष्पित कर विकास की ओर लाने में पाश्चात्य देशों का योगदान रहा हो।
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(1.)लघुगणकों की पद्धतियां (Systems of Logarithms):

• (i)प्राकृत या नैपियर की लघुगणक पद्धति (Natural or Naperian System of Logarithms):
  इस पद्धति में लघुगणक का आधार ‘e’ होता है,जहाँ
  e=1+\left( \frac{1}{1} \right)+\left( \frac{1}{1×2}\right)+\left(\frac{1}{1×2×3}\right)+\cdots \cdots \cdots=2.71828183 \text{ (लगभग) }
  इस पद्धति का उपयोग उच्च गणितीय अध्ययन में होता है।
• (ii)साधारण या ब्रिग की लघुगणक पद्धति (Common or Brigg’s System of Logarithm):
  इस पद्धति में लघुगणक का आधार 10 होता है।जब किसी संख्या का लघुगणक 10 होता है तो वह उस संख्या का साधारण लघुगणक कहलाता है।किसी संख्या का साधारण लघुगणक व्यक्त करते समय आधार नहीं लिखा हो तो भी आधार 10 ही समझना चाहिए।साधारण लघुगणक का उपयोग समस्त व्यावहारिक संख्यात्मक गणनाओं में अधिक होता है।ब्रिग ने सर्वप्रथम 10 के आधार पर लघुगणक सारणी (Logarithmic Table) तैयार की इसलिए इसको ब्रिग पद्धति भी कहते हैं।इस सारणी की सहायता से संख्याओं के लघुगणक ज्ञात करने की विधि अत्यंत सरल है।

(2.)लघुगणकों के आधारभूत नियम (Fundamental Laws of Logarithms):

Logarithms

(i)नियम (Rule):1.लघुगणकों का गुणनफल सूत्र (Product of Logarithms Formula):
\log(MN)=\log M+\log N

Proof:-  \text {Let } M =a^{x}, \therefore \log _{a} M=x \\ N =a^{y}, \therefore \log _{a} N=y \\ M N =a^{x} \times a^{y}=a^{x+y} \\ M N =a^{x+y} \\ \log _{a} M N=x+y \\ \log _{a} M N=\log _{a} M+\log _{a} N  

Example:- \log _{10} 6=\log _{10}(3 \times 2)=\log _{10} 3+\log _{10} 2 \\ \text{ इसी प्रकार } \log _{7} 30=\log _{7}(2 \times 3 \times 5)=\log _{7} 2+\log _{7} 3+\log _{7} 5  

दो संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक (Logarithms) उसी आधार पर उन संख्याओं के लघुगणकों के योग के बराबर होता है।

(ii)नियम (Rule):2.लघुगणकों के भागफल का सूत्र (Formula for Quotient of Logarithms):
\log(\frac{M}{N})=\log M-\log N

उपपत्ति : मान लीजिए M=a^{x}, \therefore \log _{a} M=x \cdots (1)  

और  N=a^{y}, \therefore \log _{a} N=y \cdots (2)  

अब   \frac{M}{N}=\frac{a^{x}}{a^{y}}

या \frac{M}{N}=a^{x-y} \cdots (3)   

(3)  को लघुगणक के रूप में लिखने पर \log _{a} \frac{M}{N}=x-y \\ \text{ या } \log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N   

 अत: इस नियम से , \log _{4} \frac{5}{3}=\log _{4} 5-\log _{4} 3 \\ \log _{5} \frac{11}{6}=\log _{5} 11-\log _{5} 6

(iii)नियम (Rule):3.लघुगणकों का घात सूत्र (Power Formula of Logarithms):
\log _{a} M^{N}=N \log _{a} M

उपपत्ति : मान लीजिए M=a^{x} \\ \therefore \log _{a} M=x

या \therefore \quad M^{N} =\left(a^{x}\right)^{N} \\ M^{N} =a^{N x} \cdots(2)
(2) को लघुगणक के रूप में लिखने पर,
\log _{a} M^{N} =N x \\ =N \log _{a} M
अतः इस नियम से
\log _{3} 5^{7}=7 \log _{3} 5
उप नियम 1 :
\log _{a} a=1

हम जानते हैं कि a^{1}=a इसे लघुगणक रूप में प्रकट करने पर,
\log _{a} a=1
अत: आधार के बराबर वाली संख्या का लघुगणक सदेव 1 होता है।
जैसे : \log _{2} 2=1, \log _{7} 7=1, \log _{10} 10=1
उप नियम 2 : \log _{a} 1=0
हम जानते हैं कि a^{0}=1 इसे लघुगणक रूप में प्रकट करने पर
  \log _{a} 1=0
अतः किसी भी आधार पर 1 का लघुगणक शून्य होता है। जैसे- \log _{2} 1=0, \log _{3} 1=0, \log _{10} 1=0

(iv)नियम (Rule):4.आधार परिवर्तन सूत्र (Base Changing Formula):

\log _{a} M=\log _{b} M \times \log _{a} b
उपपत्ति : मान लीजिए \log _{b} M=x \therefore M=b^{x} \quad \ldots (i)
  \log _{a} b=y \quad \therefore b=a^{y}
(i) में (ii) से b का मान रखने पर
M=\left(a^{y}\right)^{x}=a^{x y} \\ \therefore \log _{a} M=x y [परिभाषा से ]
या \log _{a} M=\log _{b} M \times \log _{a} b
अथवा
  \log _{b} M=\frac{\log _{a} M}{\log _{a} b}
शब्दों में इस नियम की ” किसी आधार a पर किसी भी संख्या का लघुगणक, दूसरे आधार b पर उस संख्या के लघुगणक तथा आधार a पर b के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हीता है” व्यक्त किया जाता है।

उप नियम 3: \log _{b} \\ a \times \log _{a} b=1 a=b^{x}
उपपत्ति : मान लीजिए \log _{b} a=x
या b=a^{\frac{1}{x}} \\ \log _{a} b=\frac{1}{x} \\ \therefore
अत: \log _{b} a \times \log _{a} b=1

किसी आधार a पर किसी भी संख्या का लघुगणक (Logarithms),दूसरे आधार b पर उस संख्या के लघुगुणक तथा आधार a पर b के लघुगुणक के गुणनफल के बराबर होता है।

Example:- (i) \log _{10} 6 \\  ( ii ) \log _{10} 5 \\ (iii) \log _{10} 36 \\ ( iv ) \log _{10} \frac{2}{3}
हल : (i) \log _{10} 6=\log _{10}(2 \times 3)\\ =\log _{10} 2+\log _{10} 3 \\(ii)=0.3010+0.4771 =0.7781 \\ \log _{10} 5 =\log _{10} \frac{10}{2}=\log _{10} 10-\log _{10} 2\\ =1-0.3010 \quad \left[\because \log _{10} 10=1\right] \\ =0.6990 \\ \text { (iii) } \log _{10} 36 =\log _{10}(2 \times 2 \times 3 \times 3) \\ =\log _{10} 2+\log _{10} 2+\log _{10} 3+\log _{10} 3 \\ =2 \log _{10} 2+2 \log _{10} 3 \\ =2\left(\log _{10} 2+\log _{10} 3\right) \\ =2(0.3010+0.4771) \\ =2 \times 0.7781=1.5562
इसे आप निम्न प्रकार भी हल कर सकते हैं :
  \log _{10} 36=\log _{10} 6^{2}=2 \log _{10} 6 \\ (iv) \log _{10}\left(\frac{2}{3}\right) =\log _{10} 2-\log _{10} 3 \\ =0.3010-0.4771 \\ =-0.1761
उदाहरण 1: यदि \log _{10} 2=0.3010 और \log _{10} 3=0.4771
हो तो \log _{10}\left(\frac{6}{5}\right)^{7} का मान ज्ञात कीजिए :
हल : \log _{10}\left(\frac{6}{5}\right)^{7}=7 \log _{10} \frac{6}{5}\\ =7\left\{\log _{10}\left(\frac{6}{5}\right)\right\}=7\left\{\log _{10} \frac{12}{10}\right\} \\ =7\left\{\log _{10} 12-\log _{10} 10\right\} \\=7\left\{\log _{10}\left(2^{2} \times 3\right)-\log _{10} 10\right\} \\ =7\left\{\log _{10} 2^{2}+\log _{10} 3-1\right\} \\=7\left\{2 \log _{10} 2+\log _{10} 3-1\right\} \\ =7\{0.6020+0.4771-1\} \\ =7 \times 0.0791=0.5537

उदाहरण 2 : सिद्ध कीजिए :
7 \log \frac{10}{9}-2 \log \frac{25}{24}+3 \log \frac{81}{80}=\log 2

 हल : वाम पक्ष =7 \log 10-7 \log 9-2 \log 25 \\ +2 \log 24+3 \log 81-3 \log 80 \\ =7 \log (5 \times 2)-7 \log \left(3^{2}\right)-2 \log \left(5^{2}\right)+2 \log \left(2^{3} \times 3\right)+3 \log \left(3^{4}\right)-3 \log \left(2^{4} \times 5\right) \\ =7 \log 5+7 \log 2-14 \log 3-4 \log 5+2 \log 2^{3} +2 \log 3+12 \log 3-3 \log 2^{4}-3 \log 5 \\ =7 \log 5+7 \log 2-14 \log 3-4 \log 5+6 \log 2+2 \log 3+12 \log 3-12 \log 2-3 \log 5 \\=\log 2=दक्षिण पक्ष

(3.)लघुगणकों का पूर्णांश और अपूर्णांश (Characteristic and Mantissa of the Logarithmics):

1,10,100,1000,……इत्यादि के लघुगणक क्रमशः 0,1,2,3,…… हैं।यह स्पष्ट है कि इन संख्याओं में प्रत्येक में कितने अंक हैं,उसके लघुगणक का मान उन अंकों की संख्या से 1 कम है।उदाहरणार्थ 1000 में 4 अंक हैं और इसका लघुगणक 4-1=3 है।

उपर्युक्त से हम कह सकते हैं कि एक संख्या जिसके पूर्णांकीय भाग में 2 अंक होते हैं,वह 10^1 और 10^2 के बीच में होती है;एक संख्या जिसके पूर्णांकीय भाग में 3 अंक होते हैं वह 10^2 और 10^3 के बीच होती है।अतः एक संख्या जिसके पूर्णांकीय भाग में n अंक है वह 10^(n-1) और 10^n के बीच में होगी।
परिभाषा (Definition):किसी संख्या के लघुगणक (Logarithms) में पूर्णांक वाला भाग इस लघुगणक का पूर्णांश (Characteristic) और भिन्नात्मक भाग भिन्नांश (Mantissa) कहलाता है।

Logarithm of Numbers between 10 to 100:-

10 से 100 के मध्य ( 100 नहीं) की संख्याओं का लघुगणक :
मान लिया हमें 1 0 से 100 के बीच की किसी संख्या उदाहरणार्थ 30 का लघगणक
करना है तो
\log 30 =\log (10 \times 3)=\log 10+\log 3 \\ =1+0.4771=1.4771 \\ \text { इसी प्रकार } \quad \log 72.94 =\log (10 \times 7.294) \\ =\log 10+\log 7.294 \\ =1+0.8629=1.8629
इसी प्रकार अन्य उदाहरण लेकर हम देख सकते हैं कि :

10 से 100 के बीच की संख्याओं के लघुगणक का पूर्णांश सदैव 1 होगा 100 से 1000 के मध्य ( 1000 नहीं) की संख्याओं का लघुगणक :
मान लिया हमें 300 का लघुगणक ज्ञात करना है। अब
\log 300 =\log (100 \times 3)=\log 100+\log 3 \\ =2+\log 3=2+0.4771 \\ =2.4771 \\ \text { इसी प्रकार } \quad \log 729.4 =\log (100 \times 7.294) \\ =\log 100+\log 7.294 \\=2+0.8629=2.8629
अब यदि 1 से छोटी किसी धन संख्या जैसे .0003 अथवा .007294 का लघुगणक करना हो तो हम देखते हो कि :
और
\log .0003 =\log \frac{3}{10000}=\log \left(3 \times 10^{-4}\right) \\=\log 10^{-4}+\log 3=-4+0.4771 \\ \log .007294 =\log \frac{7.294}{1000}=\log \left(7.294 \times 10^{-3}\right) \log 10^{-3}+\log 7.294=-3+0.8629
यहाँ यह श्यान रखना आवश्यक है कि 1 से छोटी संख्याओं का लघुगणक ज्ञात करते
इन्हें सरल करके लघुगणक का मान पूरी ऋण संख्या के रूप में नहीं लिखा जाता। \log .0003=-4+0.4771=4.4771
लिखते हैं।

(4.)किसी संख्या के लघुगणक का भिन्नांश (Mantissa) ज्ञात करना (Finding the Mantissa of the Logarithm of a Number):

• किसी संख्या के लघुगणक (Logarithms) के भिन्नांश ज्ञात करने के लिए हम लघुगणक सारणी (Logarithm Table) का उपयोग करते हैं।उस सारणी में बायीं ओर प्रथम स्तम्भ में 10 से 99 तक की संख्याएं लिखी हैं तथा ऊपर की प्रथम पंक्ति में पहले 0,1,2,3,…..9 तक और फिर उसी के आगे 1 से 9 तक संख्याएं दी गई है।ये आनुपातिक अंतर (Proportional Parts) की संख्याएं हैं।पूरी सारणी में स्तंभों और पंक्तियों में लिखी गई इन संख्याओं के संगत संख्याएं लिखी हुई है।उदाहरण log3856 का भिन्नांश ज्ञात करना
• दी हुई संख्या के पहले दो अंकों से बनी संख्या को सारणी के बायीं ओर के पहले स्तम्भ में देखते हैं।3856 में पहले दो अंकों से बनी संख्या 38 है अतः इस स्तम्भ में पहले 38 पर पहुंचते हैं।
• अब इस संख्या के सामने की पंक्ति में वह संख्या देखते हैं जिसके ठीक ऊपर सारणी की पहली पंक्ति में दी गई संख्या का तीसरा अंक है।3856 में तीसरा अंक 5 है।सारणी में 38 के सामने और 5 के नीचे 5855 लिखा है।
  इसके बाद इसी पंक्ति में वह संख्या ज्ञात करते हैं जिसके ऊपर सारणी के अनुपातिक अंतर की संख्या में दी गई संख्या का चौथा अंक है।3856 में चौथा अंक 6 और 38 के सामने तथा अनुपातिक अंतर 6 के नीचे 7 लिखा है।
  इस प्रकार उपर्युक्त में प्राप्त संख्याओं का योगफल अर्थात् 5855+7=5862 ही अभीष्ट भिन्नांश होता है।अतः log3856 का भिन्नांश=.5862

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(5.)प्रतिलघुगणक (Antilogarithms):

कभी-कभी हमें इसके विपरीत क्रिया करनी पड़ती है अर्थात् हमें संख्या का लघुगणक (Logarithms) दिया होता है और वह संख्या ज्ञात करनी पड़ती है।कोई भी संख्या अपने लघुगणक (Logarithms) का प्रतिलघुगणक कहलाती है।

प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Finding Antilogarithm):प्रतिलघुगणक ज्ञात करने के लिए प्रतिलघुगणक सारणी का प्रयोग करते हैं।इस सारणी की रचना भी लघुगणक सारणी की भांति होती है।अन्तर केवल इतना होता है कि इसमें बायीं ओर के प्रथम स्तम्भ में .00,.01,.02,…….,.99 तक की संख्याएं लिखी होती है।इस सारणी के उपयोग की विधि भी लगभग लघुगणक सारणी की भांति है।

उदाहरण 1 : चूँकि \log 3=0.4771 अतः 0.4771 का प्रतिलघुगणक 3 है। इसे antilog 0.4771=3 लिखकर व्यक्त करते हैं। antilog 1.6742=47.23
उदाहरण 2 : 2.5821 का प्रतिलघुगणक ज्ञात कीजिए। हल : दी हुई संख्या में भिन्ञांश .5821 है। प्रतिलघुणक सारणी में
(i) .58 की पंक्ति में 2 के नीचे 3819 है।
(ii) इसी पंक्ति में अनुपातिक अन्तर में 1 के नीचे 1 है।
(iii) अब (i) तथा (iii) में प्राप्त संख्याओं का योगफल 3820 है।
(iv) चूँकि दी गई संख्या का पूर्णांश \overline{2} है, अत: अभीष्ट संख्या में दशमलव बिन्दु के बाद एक शून्य होगा। इस प्रकार antilog 2.5821=0.03820=0.0382

उपर्युक्त आर्टिकल में लघुगणक (Logarithms) के बारे में बताया गया है।

(6.)मुख्य बातें (Highlight):

Logarithms

• आधार के बराबर वाली संख्या का लघुगणक सदैव 1 होता है।
• किसी भी आधार पर 1 का लघुगणक शून्य होता है।log(1)=0
• लघुगणक (Logarithms) का आधार कोई भी राशि हो सकती है परंतु आधार e तथा आधार 10 वाली पद्धतियां सर्वाधिक उपयोग में लाई जाती है।
• 1 से 10 के बीच की संख्याओं का लघुगणक (Logarithms) सदैव शुद्ध भिन्न होता है अर्थात् इसमें केवल भिन्नांश होता है और इसका पूर्णांश सदैव शुन्य (0) होता है।
• एक दशमलव भिन्न के लघुगणक (Logarithms) का पूर्णांश उसके दशमलव चिन्ह के ठीक बाद शून्यों की संख्या से एक अधिक ऋणात्मक होता है।
• एक छोटी संख्याओं का पूर्णांश ऋण संख्या प्राप्त होती है।उसे पूर्णांश के ऊपर रेखा चिन्ह (bar) द्वारा दर्शाया जाता है।ऐसी संख्या का पूर्णांश ऋणात्मक और भिन्नांश धनात्मक होता है।
• 1 से छोटी संख्याओं के लघुगणक (Logarithms) में पूर्णांश ऋण और भिन्नांश धन रखने का यह लाभ है कि एक जैसे अंकों वाली संख्याओं के लघुगणकों के भिन्नांश समान हो जाते हैं।

2.लघुगणक (Logarithms) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Logarithms

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगणक (Logarithms) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।