1.फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts):

Integration of Product of Functions

फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions):कुछ फलनों का समाकल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं,प्रतिस्थापन विधियों तथा बीजीय फलनों के समाकल ज्ञात करने की विधियों से ज्ञात करना या तो कठिन होता है या फिर संभव नहीं होता।ऐसे में हम दिए हुए फलनों को खण्डों में व्यक्त कर कुछ साधारण नियमों के अनुसार समाकल ज्ञात करते हैं।इनमें अबीजीय फलन यथा चरघातांकी,लघुगणकीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकल ज्ञात करना प्रमुख है।
खण्डश: समाकलन विधि की सफलता प्रथम व द्वितीय फलन के सही चयन पर निर्भर करती है।फलनों का चयन इस प्रकार करना चाहिए कि द्वितीय फलन का आसानी से समाकलन ज्ञात किया जा सके।यद्यपि फलनों के चयन का कोई व्यापक नियम नहीं है फिर भी निम्न बिन्दुओं का ध्यान रखना चाहिए।
(1.)यदि समाकल्य चर x की घात तथा चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल हो तो चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलन को द्वितीय फलन लेना चाहिए।
(2.)अकेले प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन या लघुगणकीय फलनों के समाकलन हेतु इकाई 1 को द्वितीय फलन लेकर समाकलन करना चाहिए।
(3.)खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) करते समय दायीं ओर समाकल मूलरूप से लौटकर आ जाता है ऐसी स्थिति में पक्षान्तरण कर समाकलन करना चाहिए।
(4.)आवश्यकतानुसार खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) का सूत्र एक से अधिक बार में प्रयोग में लिया जा सकता है।
विशेषत: हम खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) में नियम ILATEC के अनुसार समाकलन कर सकते हैं।ILATEC में पहलें आनेवाले को प्रथम फलन व बाद में आनेवाले को द्वितीय फलन चुन सकते हैं।
I-Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे \sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x आदि के लिए)
L-Logarithmic Functions (लघुगणकीय फलनों \log x, \log \left(x^{2}+a^{2}\right) आदि के लिए)
A-Algebraic Functions (बीजीय फलनों x,x+1,2x,\sqrt{x} आदि के लिए)
T-Trigonometric Functions त्रिकोणमितीय फलनों \sin x, \cos x, \tan x आदि के लिए)
E-Exponential Function (चरघातांकी a^{x}, e^{x}, 2^{x}, 3^{-x} आदि फलनों के लिए)
C-Constant (अचर जैसे आदि के लिए)
खण्डश: समाकलन सूत्र (Integration of Parts Formula):

\int u \cdot v d x=u \int v d x-\int\left[\frac{d u}{d x} \int v d x\right] d x

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2.फलनों के गुणनफल का समाकलन के उदाहरण (Integration of Product of Functions Examples):

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
Example:1. x \cos x
Solution:I=\int x \cos x d x \\ =x \int \cos x d x-\int \left[\frac{d}{d x}(x) \int \cos x d x\right] d x \\ =x \sin x-\int \sin x d x \\ I=x \sin x+\cos x+c
Example:2.x \sec ^{2} x
Solution:I=\int x \sec ^{2} x d x \\ =x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{dx} (x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x \\ =x \tan x-\int \tan x d x \\ =x \tan x-\log (\sec x)+c
Example:3.x^{3} e^{-x}
Solution:I=\int x^{3} e^{-x} d x \\ =x^{3} \int e^{-x} d x-\int \left[ \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int e^{-x} d x\right] d x \\=-x^{3} e^{-x}+\int 3 x^{2} e^{-x} d x \\ =-x^{3} e^{-x}+3 x^{2} \int e^{-x} d x-3 \int \left[\frac{d}{dx} (x^{2}) \int e^{-x} d x\right] d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}+3 \int 2 x e^{-x} d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}+6 x \int e^{-x} d x-6 \int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}-6 x e^{-x}-6 \int e^{-x} d x+c \\ =-e^{x}\left(x^{3}+3 x^{2}+6 x+6\right)+c
Example:4.x^{3} e^{x^{2}}
Solution: I=\int x^{3} e^{x^{2}} d x \\ \text { put } x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I =\frac{1}{2} \int t e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} t \int e^{t} d t-\frac{1}{2} \int \left[ \frac{d}{dt} (t) \int e^{t} d t\right] d t \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} \int e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} e^{t}+c \\ I =\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}-\frac{1}{2} e^{x^{2}}+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)+c
Example:5.x^{3} \sin x
Solution:I=\int x^{3} \sin x d x \\ =x^{3} \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int \sin x d x\right] d x \\ =-x^{3} \cos x+\int 3 x^{2} \cos x d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \int \cos x d x-3 \int\left[\frac{d }{d x} (x^{2}) \int \cos x dx \right] dx \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x-6 \int x \sin x d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x-6 x \int \sin x d x+6 \int\left[\frac{d}{dx}(x) \int \sin x d x\right] d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x+6 x \cos x-6 \int \cos x d x+c \\ I=-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x+6 x \cos x-6 \sin x +c
Example:6.e^{2 x} e^{e^{x}}
Solution:I=\int e^{2 x} \cdot e^{e^{x}} d x \\ \text { put } e^{x}=t \\ \Rightarrow e^{x} d x=d t \\ \Rightarrow I=\int t^{2} e^{t} d t \\ =t^{2} \int e^{t} d t-\int\left[\frac{d}{d t}\left(t^{2}\right) \int e^{t} d t\right] d t \\ =t^{2} e^{t}-\int 2 t e^{t} d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t \int e^{t} d t+2 \int \left[ \frac{d}{dt}(t) \int e^{t} d t \right] d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t e^{t}+2 \int e^{t} d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t e^{t}+2 e^{t}+c \\ =e^{2 x} \cdot e^{e^{x}}-2 e^{x} \cdot e^{e^{x}}+2 e^{e^{x}}+c \\ I=e^{e^{x}}\left(e^{2 x}-2 e^{x}+2\right)+c
Example:7.(\log x)^{2}
Solution:I=\int(\log x)^{2} d x \\ =(\log x)^{2} \int 1 \cdot d x-\int \left[\frac{d}{d x}(\log x)^{2} \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =x (\log x)^{2}-\int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x \\ =x(\log x)^{2}-\int 2(\log x) d x \\ =x(\log x)^{2}-2 \log x \int 1 \cdot d x+2 \int \left[ \frac{d}{dx} (\log x)\cdot \int 1 dx \right] d x \\ =x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 \int \frac{1}{x} \cdot x d x \\ =x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 \int 1 \cdot d x \\ I=x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 x+c

Integration of Product of Functions

Example:8.\cos^{-1} x
Solution:I=\int \cos ^{-1} x d x \\ I=\cos ^{-1} x \int 1 d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\cos^{-1} x) \int 1 d x\right] d x \\ = x \cos ^{-1} x+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot x d x \\ \text { put } 1-x^{2}=t \Rightarrow-2 x d x=d t \\ = x \cos ^{-1} x+\int\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t \\ = x \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} d t \\ = x \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t}+c \\I= x \cos ^{-1} x-\sqrt{1-x^{2}}+c
Example:9.Cosec^{-1} \sqrt{\frac{x+a}{x}}
Solution:I=\int \operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{\frac{x+a}{x}} d x \\ \text { Put } x=a \tan ^{2} \theta \Rightarrow d x=2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ I=\int cosec^{-1}\left(\sqrt{\frac{a+a \tan ^{2} \theta}{a \tan ^{2} \theta}}\right) 2a \tan \theta \sec^{2} \theta \\ =\int \operatorname{cosec}^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta}} \right) 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta\\ =\int \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} \theta) \cdot 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ I=2 a \int \theta \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =2 a \theta \int \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta-2 a \int \frac{d}{ d \theta}(\theta) \int \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =2 a \theta \cdot \frac{\tan ^{2} \theta}{2}-2 a \int \frac{\tan ^{2} \theta}{2} d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \int\left(\sec ^{2} \theta-1\right) d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \int \sec ^{2} \theta d \theta+a \int d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \tan \theta+a \theta+c \\ =a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} \cdot \frac{x}{a}-a \sqrt{\frac{x}{a}}+a \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)+c \\ I=2 x \tan ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}-\sqrt{a x}+a \tan \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)+c \\ I=(x+a) \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)-\sqrt{a x}+c
Example:10.\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)
Solution:I=\int \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right) d x \\ \text { put } x=\sin \theta \\ \Rightarrow d x=\cos \theta d \theta \\ I=\int \sin ^{-1}\left(3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta\right) \cdot \cos \theta d \theta \\ =\int \sin^{-1} (\sin 3 \theta) \cdot \cos \theta d \theta \\ =\int 3 \theta \cos \theta d \theta \\ =3 \theta \int \cos \theta d \theta-3 \int \left[ \frac{d}{d \theta}(\theta) \int \cos \theta d \theta\right] d \theta \\ =3 \theta \sin \theta-3 \int \sin \theta d \theta \\ =3 \theta \sin \theta+3 \cos \theta+c \\ I=3 x \sin ^{-1} x+3 \sqrt{1-x^{2}}+c
Example:11.\frac{x}{1+\cos x}
Solution:I=\int \frac{x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{x}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int x \sec ^{2} \frac{x}{2} d x \\ =\frac{1}{2} x \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int \left[ \frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x\right] d x \\ =\frac{1}{2} x \cdot 2 \tan \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \int 2 \tan \frac{x}{2} d x \\ I =x \tan \left(\frac{x}{2}\right)-2 \log \mid \sec \left(\frac{x}{2}\right) \mid+c
Example:12.\cos \sqrt{x}
Solution:I=\int \cos \sqrt{x} d x \\ \text { put } \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ \Rightarrow d x=2 \sqrt{x} d t \\ I=\int(\cos t) 2 t d t \\ I=2 t \int \cos t d t-2 \int \left[\frac{d}{d t}(t) \int \cos t d t\right] d t \\ =2 t \sin t-2 \int \sin t d t \\ =2 t \sin t+2 \cos t+c \\ I=2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}+2 \cos \sqrt{x}+c
Example:13.\frac{x}{1+\sin x}
Solution:I=\int \frac{x}{1+\sin x} \times \frac{1-\sin x}{1-\sin x} d x \\ =\int \frac{x(1-\sin x)}{1-\sin ^{2} x} d x \\ =\int \frac{x(1-\sin x)}{\cos ^{2} x} d x \\ =\int x \sec ^{2} x d x-\int x \sec x \tan x d x \\ =x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x -x \int \sec x \tan x d x+\left[ \frac{d}{dx}(x) \int \sec x \tan x dx \right] dx \\ =x \tan x-\int \tan x d x-x \sec x +\int \sec x d x \\ I=x \tan x-\log |\sec x|-x \sec x+\log |\sec x+\tan x|+c
Example:14.\frac{x \tan ^{-1} x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Solution:I=\int \frac{x \tan ^{-1} x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ \text { put } x=\tan \theta \Rightarrow d x=\sec ^{2} \theta d \theta \\I=\int \frac{\theta \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta}{\left(1+\tan ^{2} \theta \right)^{\frac{3}{2}}} \\ =\int \frac{\theta \tan \theta \sec ^{2} \theta}{\sec ^{3} \theta} d \theta \\ =\int \frac{\theta \tan \theta d \theta}{\sec \theta} \\ =\int \theta \sin \theta d \theta \\ =\theta \int \sin \theta d \theta-\int\left[\frac{d}{d \theta}(\theta) \int \sin \theta d \theta \right] d \theta \\ =-\theta \cos \theta+\int \cos \theta d \theta \\ =-\theta \cos \theta+\sin \theta+c \\ I=-\frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+c
Example:15.e^{x}(\cot x+\log \sin x)
Solution:I=\int e^{x}(\cot x+\log \sin x) d x \\ =\int e^{x} \cot x d x+\int e^{x} \log \sin x d x \\ =e^{x} \int \cot x d x-\int \left[ \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right) \int \cot x d x\right] d x+\int e^{x} \log \sin x d x \\ =e^{x } \log \mid \sin x \mid-\int e^{x} \log (\sin x) d x+\int e^{x} \log (\sin x) d x \\ I=e^{x}\log |\sin x|+c
Example:16.e^{x}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right)
Solution:I=e^{x}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right) \\ I=\int \frac{e^{x}}{x^{2}} d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ =\frac{1}{x^{2}} \int e^{x} d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \int e^{x} d x\right] d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ =\frac{e^{x}}{x^{2}}+\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ I=\frac{e^{x}}{x^{2}}+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) को समझ सकते हैं।

                         “गुरु पूर्णिमा की हार्दिक शुभकामनाएं”

गुरु वह है जो अज्ञान को हटाकर प्रकाश फैलाता है।गुरु शरीर नहीं प्रकाशस्वरूप चैतन्य आत्मा है।

3.फलनों के गुणनफल का समाकलन की समस्याएं (Integration of Product of Function Problems):

Integration of Product of Functions

(1.)फलन x^{2} e^{x} का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(2.)x \log x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(3.)x^{2} \sin 2 x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(4.)\log x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(5.)\tan ^{-1} x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
उत्तर (Answers):(1) e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)+c \\ (2)\frac{x^{2}}{2} \log x-\frac{x^{2}}{4}+c \\ (3)\frac{-x^{2}}{2} \cos 2 x+\frac{x}{2} \sin 2 x+\frac{\cos 2x}{2} +c \\ \text { (4) } x \log (\frac{x}{e})+c \\ \text { (5) } x \tan^{-1} x+\frac{1}{2} \log \left(1+x^{2}\right)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Integration of Product of Functions

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।