1.उपग्रुप (उपसमूह) (Subgroup),उपग्रुप की परिभाषा (Subgroup Definition):

Subgroup

उपग्रुप (उपसमूह) की परिभाषा (Definition of Subgroup):यदि H ग्रुप (समूह) G की द्विचर संक्रिया (Binary Operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करे जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H ग्रुप G का उपग्रुप (उपसमूह) कहलाता है।
प्रत्येक ग्रुप G के दो तुच्छ (trival) उपग्रुप होते हैं,इन्हें विषम उपग्रुप (Improper Sub-Group) कहते हैं।(i) G (स्वयं) (ii) [e];तत्समक ग्रुप।इनके अतिरिक्त अन्य सभी उपग्रुप उचित उपग्रुप (Proper Subgroup) कहलाते हैं।
उदाहरण:यदि (z,+) पूर्णांकों का योजित ग्रुप हो तथा यदि एक नियत n \in Z तो समुच्चय
nZ={…………..-4n,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,4n,…….} योजित ग्रुप (Z,+) का एक उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):1.यदि H किसी ग्रुप G का उपग्रुप है तो
(1.)H का तत्समक अवयव वही अवयव है जो G का तत्समक है।
(2.)H के किसी अवयव a की कोटि वही है जो G में a कोटि है।
If H be a subgroup of G then
(1.)The identity of H is the same as that of G.
(2.)The inverde of any element of any element is the same as inverse of the element a in G.
उपपत्ति (Proof):(1)माना कि e तथा e’ क्रमशः G तथा H के तत्समक (identity) अवयव है और यह भी माना कि a,H का कोई स्वेच्छ (arbitrary) अवयव है, इसलिए a,G का भी अवयव है।अब a \in G तथा e,G का तत्समक अवयव है ae=a=ea
a \in H तथा e’,H का तत्समक अवयव है ae’=a=e’a
उपर्युक्त दोनो से
ae=ae^{\prime} \Rightarrow e^{\prime} =e [G में वाम काटनीय नियम से]
अतः H तथा G का तत्समक अवयव एक ही है।
(2.)माना कि a उपग्रुप H का एक स्वेच्छ अवयव है,चूँकि H \subset G \\ a \in G
अब यदि मानाकि H तथा G में अवयव a के प्रतिलोम क्रमशः b तथा c हैं।यदि e,H का तत्समक अवयव है तो e,G का भी तत्समक अवयव है।
ab=e=ba
तथा ac=e=ca \Rightarrow  ab=ac \Rightarrow b=c [G में वाम काटनीय नियम से]
अतः a का प्रतिलोम H तथा G में समान है।चूँकि हमने a को H का एक स्वेच्छ अवयव लिया था,इसलिए उपग्रुप के प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम इस उपग्रुप में तथा मूल ग्रुप में समान होता है।
(3.)माना कि H का एक स्वेच्छ अवयव a है परन्तु H \subset G
\therefore  a \in G यह भी माना कि a की कोटि H तथा G में क्रमशः m तथा n है।
साथ ही यह भी माना कि H तथा G का तत्समक अवयव e है।अवयव की कोटि की परिभाषानुसार
a^{m}=e तथा a^{n}=e
\Rightarrow a^{m}=a^{n} \Rightarrow a^{m} a^{-n}=a^{n} {a}^{-n}=a^{0}=e \\ \Rightarrow a^{m-n}=e [चूँकि m-n<o(a)]
यह सम्भव तभी है जबकि m-n=0 अर्थात् m=n
चूँकि हमने a,H का कोई स्वेच्छ अवयव लिया है इसलिए उपग्रुप के किसी भी अवयव की कोटि,उपग्रुप तथा मूलग्रुप में समान होती हैं।
ग्रुप सम्मिश्र (Complex of a Group):
परिभाषा (Definition):किसी ग्रुप G का कोई भी अरिक्त उपसमुच्चय चाहे वह उपग्रुप हो या न हो,ग्रुप G का एक सम्मिश्र (Complex) कहलाता है।
यदि H तथा K किसी ग्रुप G के सम्मिश्र (Complex) हों तो सम्मिश्र के गुणनफल HK तथा सम्मिश्र के प्रतिलोम (Inverse) को निम्न प्रकार से परिभाषित करते हैं:
H K=\left \{ h k \mid h \in H, k \in K \right \} तथा H^{-1}=\left\{h^{-1} \mid h \in H\right\}
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि H K \subseteq G[/katex] तथा H^{-1} \subseteq G
प्रमेय (Theorem):2.किसी ग्रुप G का अरिक्त उपसमुच्चय H उपग्रुप होगा यदि और केवल यदि

a \in H, b \in H \quad \Rightarrow a b^{-1} \in H
(The necessary and sufficient condition for a non-empty subset H of a group G to be a subgroup is

a \in H, b \in H \quad \Rightarrow a b^{-1} \in H
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):
मानाकि H ग्रुप G का उपग्रुप है तथा a, b \in H 
अतः b \in H \Rightarrow b^{-1} \in H [H एक उपग्रुप है]
तथा  a \in H, b^{-1} \in H \quad \Rightarrow a b^{-1} \in H [उपग्रुप H में संवृत्त गुणधर्म से]
अतः यदि H,G का उपग्रुप है तो दिया हुआ प्रतिबन्ध आवश्यक है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):
अब माना कि H में दिया हुआ प्रतिबन्ध सत्य है अर्थात् a \in H, b \in H \quad \Rightarrow a b^{-1} \in H
चूँकि इसलिए H मे कम से कम एक अवयव है,अतः H में एक अवयव a ले सकते हैं।
अब a \in H, a^{-1} \in H \Rightarrow a a^{-1} \in H \Rightarrow e \in H

अतः  H में तत्समक अवयव विद्यमान है।
पुनः यह माना कि एक स्वेच्छ अवयव है तो

e \in H, b \in H \Rightarrow e b^{-1} \in H \Rightarrow b^{-1} \in H
चूँकि,H का कोई स्वेच्छ (arbitrary) अवयव है,इसलिए H में प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम विद्यमान है।
अन्त में a \in H, b \in H \Rightarrow a \in H, b^{-1} \in H
a\left(b^{-1}\right)^{-1}=a b \in H [दिए हुए प्रतिबन्ध से]
अतः H,ग्रुप G की द्विचर संक्रिया के लिए संवृत्त (Closed) है।
अतः H,ग्रुप G का उपग्रुप है जिससे सिद्ध होता है कि दिया हुआ प्रतिबन्ध,H के उपग्रुप के लिए पर्याप्त प्रतिबन्ध भी है।
प्रमेय (Theorem):3.किसी परिमित G का कोई अरिक्त उपसमुच्चय H एक उपग्रुप होगा यदि और केवल यदि

a \in H \quad b \in H \quad \Rightarrow a b \in H
(The necessary and sufficient condition for a non-empty subset (complex) H of a finite group G to be a subgroup is that.)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):
माना कि H,परिमित ग्रुप G का एक उपग्रुप है।तब H,G की द्विचर संक्रिया के लिए संवृत्त (Closed) होगा।फलतः

a \in H \quad b \in H \quad \Rightarrow a b \in H
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):
माना H,G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा a \in H \quad b \in H \quad \Rightarrow a b \in H तो हमें दर्शित करता है कि H,G का उपग्रुप है।
दिए हुए प्रतिबन्ध से H,G की संक्रिया के लिए संवृत्त है।पुनः क्योंकि H \subset G,इसलिए H का प्रत्येक अवयव G का भी अवयव है।अब क्योंकि G ग्रुप है इसलिए इसके अवयवों के लिए सहचारिता गुणधर्म सत्य है।
पुनः माना कि H का कोई एक स्वेच्छ अवयव है, इसलिए a ,G का भी अवयव होगा।
अब a \in H, a \in H \Rightarrow a a=a^{2} \in H \\ a^{2} \in H, a \in H \Rightarrow a^{2} a=a^{3} \in H \\ ..............................\\ a^{m-1} \in H, a \in H \Rightarrow a^{m-1} a=a^{m} \in H
उपर्युक्त से a, a^{2}, a^{3} \ldots अनन्त तक \in H परन्तु परिमित समुच्चय G का H एक परिमित उपसमुच्चय है।इसलिए अवयवों की पुनरावृत्ति होगी अर्थात् कुछ पूर्णांकों r तथा s के लिए जहाँ

r>s>0, a^{r}=a^{s} \\ \Rightarrow a^{r} \cdot a^{-s} =a^{s} \cdot a^{-s}=a^{0}=e \left[ \because a^{s} \in G \Rightarrow\left(a^{s}\right)^{-1}=a^{-s} \in G\right] \\ \Rightarrow a^{r-s}=e
अब r>s ,r तथा s ,धन पूर्णांक हैं इसलिए r-s प्राकृतिक संख्या है, अतः e तत्समक अवयव H में है।

पुनः r-s-1 \geq 0, a^{r-s-1} \in H
परन्तु a^{-1}=a^{r-s-1} [क्योंकि a \cdot a^{r-s-1}=a^{r-s}=e \Rightarrow a^{r-s-1}=a^{-1} e=a^{-1} ]
अतः a^{-1} \in H
H के प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम H में विद्यमान है।परिणामतः H,G का एक उपग्रुप है।
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2.उनग्रुप (उपसमूह) के उदाहरण (Subgroup Examples),उपग्रुप की परिभाषा के उदाहरण (Subgroup Definition Examples):

निम्न में सिद्ध कीजिए कि समुच्चय H के सम्मुख लिखे हुए ग्रुप G का एक उपग्रुप है जहाँ
(Prove that in the following H is a subgroup of the group G mentioned against it)
Example:1.H=\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in R\right\} \quad ; \quad G=\left(C_{0 },\cdot \right)
Solution:H=\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in R\right\} \quad ; \quad G=\left(C_{0 }, \cdot \right)
स्पषटत: H \neq \phi तथा H \subset C_{0}
माना x_{1}=e^{i \theta_{1}} ; x_{2}=e^{i \theta_{2}} \\ x_{1}=\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}, x_{2}=\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2} जहाँ \theta_{1}, \theta_{2} \in R \\ x_{2}^{-1} =\frac{1}{\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}} \times \frac{\cos \theta_{2}-i \sin \theta_{2}}{\cos \theta_{2}-i \sin \theta_{2}} \\ =\frac{\cos \theta_{2}-i \sin \theta_{2}}{\cos ^{2} \theta_{2}+\sin ^{2} \theta_{2}} \\ \Rightarrow x_{2}^{-1}=\cos \theta_{2}-i \sin \theta_{2} \\ x_{1} x_{2}^{-1}=\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right)\left(\cos \theta_{2}-i \sin \theta_{2}\right) \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) , \theta_{1}-\theta_{2} \in R
अतः x_{1} \in H ,x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H ग्रुप \left(C_{0 }, \cdot \right) का एक उपग्रुप है
Example:2.H=\{5 a \mid a \in z\} ; G=(z, +)
Solution:H=\{5 a \mid a \in z\} ; G=(z, +)
स्पषटत: H\neq \phi तथा H \subset Z
माना x_{1}, x_{2} \in H , x_{1}=5 a_{1}, x_{2}=5 a_{2}, a_{1}, a_{2} \in z \\ x_{1}-x_{2} =5 a_{1}-5 a_{2} \\ =5\left(a_{1}-a_{2}\right) जहाँ a_{1}-a_{2} \in Z
अतः x_{1} \in H ,x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} -x_{2} \in Z
फलतः H ग्रुप (z, +) का एक उपग्रुप है
Example:3.H=\left\{\frac{1+2 m}{1+2 n}, m, n \in z\right\} ; G=\left(C_{0 }, \cdot \right)
Solution:H=\left\{\frac{1+2 m}{1+2 n}, m, n \in z\right\} ; G=\left(C_{0 }, \cdot \right)
स्पषटत: H \neq \phi तथा x \in C_{0} \\ x_{1}=\frac{1+2 m_{1}}{1+2 n_{1}}, x_{2}=\frac{1+2 m_{2}}{1+2 n_{2}}
जहाँ m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} \in z \\x_{2}^{-1}=\frac{1+2 n_{2}}{1+2 m_{2}} \\ x_{1} x_{2}^{-1}= \left(\frac{1+2 m_{1}}{1+2 n_{1}}\right)\left(\frac{1+2 n_{2}}{1+2 m_{2}}\right) \\ =\frac{1+ 2 m_{1}+2 n_{2}+4 m_{1} n_{2}}{\left(1+2 n_{1}\right)\left(1+2 m_{2}\right)} \\ \frac{1+2\left( m_{1}+n_{2}+m_{2} n_{2}\right)}{\left(1+2 n_{1}\right)\left(1+2 m_{2} \right)} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\frac{1+2 \left(m_{1}+n_{2}+2 m_{2} n_{2}\right)}{1+2\left(m_{2}+n_{1}+2 m_{2} n_{1}\right)}
अतः x_{1} \in H , x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H ग्रुप \left(C_{0 }, \cdot \right) का एक उपग्रुप है

Subgroup

Example:4.H=\left\{2^{n}, n \in z\right\} \quad ; G=\left(R_{0}, \cdot \right)
Solution:H=\left\{2^{n}, n \in z\right\} \quad ; G=\left(R_{0}, \cdot \right)
स्पषटत: H \neq \phi तथा H \subset R_{0} 
माना x_{1}=2^{n_{1}}, \quad x_{2}=2^{n_{2}} जहाँ n_{1} n_{2} \in Z \\ x_{2}^{-1} =\left(2^{n_{2}} \right)^{-1}=\frac{1}{2^{n_{2}}} \\ x_{1} x_{2}^{-1} =\left(2^{n_{1}}\right)\left(\frac{1}{2^{n_{2}}}\right) \\ =2^{n_{1}-n_{2}}, n_{1}-n_{2} \in Z
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H, \quad \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H ग्रुप \left(R_{0}, \cdot \right) का एक उपग्रुप है
Example:5.H=\left\{a+i b, a, b \in Q, a^{2}+b^{2} \neq 0\right\} \quad ; G=\left(C_{0 }, \cdot \right)
Solution:H=\left\{a+i b, a, b \in Q, a^{2}+b^{2} \neq 0\right\} \quad ; G=\left(C_{0 }, \cdot \right)
माना x_{1}=a_{1}+i b_{1}, x_{2}=a_{2}+i b_{2} जहाँ a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} \in Q,a^{2}+b^{2} \neq 0 \\ x_{2}^{-1}=\frac{1}{a_{2}+ i b_{2}}=\frac{1}{a_{2}+i b_{2}} \times \frac{a_{2}-i b_{2}}{a_{2}-i b_{2}} \\ \Rightarrow x_{2}^{-1}=\frac{a_{2}-i b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} \\ x_{1} x_{2}^{-1}=\left(a_{1}+i b_{1}\right)\left(\frac{a_{2}-i b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}\right) \\ =\frac{(a_{1}+i b_{1})\left(a_{2}-i b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}=\frac{a_{1} a_{2}-ia_{1} b_{2}+i a_{2} b_{1}+b_{1} b_{2}}{ a_{2}^{2} +b_{2}^{2}} \\ =\frac{\left(a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i \frac{\left(a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}
यहाँ a_{2}^{2}+b_{2}^{2} \neq 0 क्योंकि यदि a_{2}^{2}+b_{2}^{2} = 0 \Rightarrow a_{2}=\pm i b_{2} \Rightarrow a_{2}=i b_{2} \notin Q
जो कि असत्य है अतः a_{2}^{2} \neq 0, b_{2} \neq 0
अतः x_{1} \in H, \quad x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H ग्रुप \left(C_{0 }, \cdot \right) का एक उपग्रुप है
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उपग्रुप (उपसमूह) (Subgroup),उपग्रुप की परिभाषा (Subgroup Definition) को समझ सकते हैं।

3.उनग्रुप (उपसमूह) की समस्याएं (Subgroup Problems),उपग्रुप की परिभाषा की समस्याएं (Subgroup Definition Problems):

Subgroup

(1.)सिद्ध कीजिए कि H= \left\{ a+i b \mid a, b \in Q\right\}  समूह (C,+) का उपसमूह है।
(Prove that H= \left\{ a+i b \mid a, b \in Q\right\}  is subgroup of (C,+))
(2.)सिद्ध कीजिए कि H ग्रुप \left(C_{0 }, \cdot \right) का उपग्रुप है जहाँ H=\{a+b \sqrt{2} \mid a \in Q, b \in Q,a^{2}+b^{2} \neq 0
(Prove that H is a subgroup of the group \left(C_{0 }, \cdot \right) where H=\{a+b \sqrt{2} \mid a \in Q, b \in Q,a^{2}+b^{2} \neq 0)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर उपग्रुप (उपसमूह) (Subgroup),उपग्रुप की परिभाषा (Subgroup Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.उपग्रुप (उपसमूह) (Subgroup),उपग्रुप की परिभाषा (Subgroup Definition) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Subgroup

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा उपग्रुप (उपसमूह) ,उपग्रुप की परिभाषा  के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।