1.चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations)-

Separation of Variables Method

चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method)-समीकरण जिनमें चर पृथक किए जा सकें,वे समीकरण हैं जो ऐसे रूप में प्रदर्शित किए जा सकें,जिनमें dx का गुणांक (Coefficient of dx) केवल चर x का फलन तथा dy का गुणांक (Coefficient of dy) केवल चर y का फलन हो।ऐसे समीकरणों का व्यापक रूप होगा-

f_{1}(x) \cdot d x+f_{2}(y) d y=0 \ldots \ldots(1)
इसको हल करने के लिए हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हैं-

f_{1}(x)+f_{2}(y) \frac{d y}{d x}=0
इसका x के सापेक्ष समाकलन करने पर

\int f_{1}(x) d x+\int f_{2}(y) \frac{d y}{d x} \cdot d x=c
या \int f_{1}(x) d x+\int f_{2}(y) d y=c \cdots(2)
जहां C स्वेच्छ चर (arbitrary constant) है।सम्बन्ध (2),समीकरण (1) का व्यापक हल है।
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2.चरों के पृथक्करण की विधि के उदाहरण (Separation of Variables Method Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}
Solution–\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\int \frac{1}{1+y^{2}} d y \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=c \\ \Rightarrow(x-y)=c(1+x y)
Example-2.(1-x)dy-(3+y)dx=0
Solution–(1-x) d y-(3+y) d x=6 \\ \int \frac{d y}{(3+y)}=\int \frac{d x}{1-x} \\ \Rightarrow \log (3+y)=-\log (1-x)+\log C_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{3+y}{1}\right)(1-x)=\log c_{1} \\ \Rightarrow 3-3 x+y-x y=c_{1} \\ \Rightarrow y-3 x-x y=c
Example-3.x \cos ^{2} y d x-y \cos ^{2} x d y=0
Solution–x \cos ^{2} y d x-y \cos ^{2} x d y=0 \\ \Rightarrow x \cos ^{2} y d x=y \cos ^{2} x d y \\ \Rightarrow \int \frac{x d x}{\cos ^{2} x}=\int \frac{y}{\cos ^{2} y} d y \\ \Rightarrow \int x \sec ^{2} x d x=\int y \sec ^{2} y d y \\ \Rightarrow x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x=y \int \sec^{2} y d y-\int \left[\frac{d}{d y}(y) \int \sec ^{2} y\right] dy \\ \Rightarrow x \tan x-\int \tan x d x=y \tan y-\int \tan y d y+c \\ \Rightarrow x \tan x-\log (\sec x)=y \tan y-\log (\sec y)+c
Example-4.a\left(x \frac{d y}{d x}+2 y\right)=x y \frac{d y}{d x}
Solution–a\left(x \frac{d y}{d x}+2 y\right)=x y\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow d x \frac{d y}{d x}+2 a y=x y\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow a x d y+2 a y d x=x y d y \\ \Rightarrow 2ay d x=x y d y-a x d y \\ \Rightarrow 2 a y d x=x(y-a) d y \\ \Rightarrow \int \frac{2 a}{x} dx=\int\left(\frac{y-a}{y} \right) d y \\ \Rightarrow 2 a \log x=\int 1 d y-a \int \frac{1}{y} d y \\ \Rightarrow 2 a \log x=y-a \log y+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(x^{2 a}\right)+a \log y-\log c_{1}=y \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x^{2a} \cdot y^{a}}{c_{1}}\right)=y \\ \Rightarrow x^{2 a} y^{a}=c_{1} e^{y} \\ \Rightarrow x^{2} y=c e^{\frac{y}{a}}
Example-5.\frac{d y}{d x}+\sqrt{\left(\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}\right)}=0
Solution–\frac{d y}{d x}+\sqrt{\left(\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}\right)}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=0 \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\int \frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=0 \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=c

Separation of Variables Method

Example-6. \frac{d y}{d x}=\frac{x y+y}{x y+x}
Solution– \frac{d y}{d x}=\frac{x y+y}{x y+x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y(x+1)}{x(y+1)} \\ \Rightarrow \frac{(x+1) d x}{x}=\int \frac{y+1}{y} d y \\ \Rightarrow \int\left(1+\frac{1}{x}\right) d x=\int\left(1+\frac{1}{y}\right) d y \\ \Rightarrow x+\log x=y+\log y+\log c_{1} \\ \Rightarrow y-x=\log x-\log y+\log c \\ \Rightarrow y-x=\log \left(\frac{c x}{y}\right)
Example-7.\frac{d y}{d x} =e^{x+y}+x^{2} e^{y}
Solution–\frac{d y}{d x} =e^{x+y}+x^{2} e^{y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{y}\left(e^{x}+x^{2}\right) \\ \Rightarrow \left(e^{x}+x^{2}\right) d x=e^{-y} d y \\ \Rightarrow \int e^{x} d x+\int x^{2} d x=\int e^{y} d y \\ \Rightarrow e^{x}+\frac{1}{3} x^{3}=-e^{-y}+c \\ \Rightarrow e^{x}+\frac{1}{3} x^{3}+e^{-y}=c
Example-8.y-x \cdot \frac{d y}{d x}=3\left(1+x^{2} \frac{d y}{d x}\right)
Solution-y-x \frac{d y}{d x}=3\left(1+x^{2} \frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=3+3 x^{2} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow\left(x+3 x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=y-3 \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{x+3 x^{2}}=\int \frac{1}{y-3} d y \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x(x+3 x)} d x=\int \frac{1}{y-3} d y \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{x}-\frac{3}{1+3 x}\right) d x=\log (y-3)+\log c \\ \Rightarrow \log x-\log (1+3 x)=\log (y-3) c \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{1+3 x}\right)=\log c(y-3) \\ \Rightarrow x=(1+3 x)(y-3) c
Example-9.\left(2 a x+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=a^{2}+2 a x
Solution–\left(2 a x+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=a^{2}+2 a x \\ \Rightarrow \int\left(\frac{a^{2}+2 a x}{2 a x+x^{2}}\right) d x=\int d y \\ \Rightarrow \int a\left(\frac{a+2 x}{x(2 a+x)}\right) d x=\int d y \\ \Rightarrow \int \frac{a+2 x}{x(2 a+x)} d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2(2 a+x)}\right] d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2(2 a+x)}\right] d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x} d x+3 \int\left(\frac{1}{2 a+x}\right) d x=\frac{2}{a} \int d y \\ \Rightarrow \log x+3 \log (2 a+x)=\frac{2}{a} y+\log c \\ \Rightarrow \log \frac{x(2 a+x)^{3}}{a}=\frac{2 y}{a} \\ \Rightarrow x(2 a+x)^{3}=c e^{\frac{2y}{a}}
Example-10.यदि \frac{d y}{d x}=e^{x+y} तथा यह दिया हुआ है कि x=1 के लिए y=1 तो y का मान ज्ञात कीजिए जबकि x=-1
(If \frac{d y}{d x}=e^{x+y} and it is given that for x=1,y=1 then find y when x=-1):
Solution–\frac{d y}{d x}=e^{x+y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{x} \cdot e^{y} \\ \Rightarrow e^{x} d x=e^{-y} d y \\ \Rightarrow e^{x} d x=\int e^{-y} d y \\ \Rightarrow e^{x} =-e^{-y}+c \cdots (1)
जब x=1,y=1 तो

\Rightarrow e=-e^{-1}+c \\ \Rightarrow c=e+e^{-1}
समीकरण (1) में C का मान रखने पर-

\Rightarrow e^{x}=-e^{-y}+e+e^{-1}
जब x=-1

\Rightarrow e^{-1}=-e^{-y}+e+ e^{-1} \\ \Rightarrow e^{-y}=e \\ \Rightarrow y=-1
Example-11.हल कीजिए (Solve):

y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2}+\frac{d y}{d x}\right)
Solution–y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2}+\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2} +\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=a y^{2}+a d y \\ \Rightarrow y-a y^{2}=x \frac{d y}{d x}+a \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow y(1-a y)=(x+a) \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{x+a}=\int \frac{d y}{y(1-a y)} \\ \frac{1}{y(1-a y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-a y} \\ \Rightarrow \frac{1}{y(1-a y)}=\frac{A(1-a y)+B y}{y(1-a y)} \\ \Rightarrow 1=A-A a y+B y \\ \Rightarrow 1=A+y(-A a+B)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-

A=1, -Aa+B=0 \\ \Rightarrow -a+B=0 \Rightarrow B=a \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x+a} d x=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{a}{1-a y}\right) d y \\ \Rightarrow \log (x+a)=\log y-\log (1-a y)+\log c \\ \Rightarrow \log (x+a)=\log \left(\frac{c y}{1-a y}\right) \\ \Rightarrow(x+a)=\frac{c y}{(1-a y)} \\ \Rightarrow(x+a)(1-a y)=c y

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables) को समझ सकते हैं।

3.चरों के पृथक्करण की विधि की समस्याएं (Separation of Variables Method Problems)-

Separation of Variables Method

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
\text { (1.) }(x+y)(d x-d y)=d x+d y \\ \text { (2.) }\left(x y^{2}+x\right) d x+\left(y x^{2}+y\right) d y=0 \\ \text { (3.) } \frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^{2} e^{-y} \\ \text { (4.) }\left(e^{y}+1\right) \cos x d x+e^{y} \sin x d y=0 \\ \text { (5.) } \sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \cdot \tan x d y=0 \\ \text { (6) } 3 e^{x} \tan y d x+\left(1-e^{x}\right) \cdot \sec ^{2} y d y=0
उत्तर (Answers): \text { (1.) } c(x+y)=e^{x-y} \\ \text { (2.) }\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)=c \\ \text { (3.) } e^{y}=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+c \\ \text { (4.) }\left(1+e^{y}\right) \sin x=c \\ \text { (5) } \tan x \tan y=c \\ \text { (6.) } y=\tan ^{-1}\left[c\left(1-e^{x}\right)^{3}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ‌चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables) को ठीक से समझा जा सकता है।

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4.चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Separation of Variables Method

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations) को समझ सकते हैं।