1.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation)-

Derivative of Logarithmic Functions

प्रारम्भिक फलन y=f(x) के लघुगुणकीय अवकलन को लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) कहा जाता है।यह अवकलन विधि चर-घातांकीय फलनों को प्रभावी ढ़ंग से ज्ञात करने में सहायक है।
जब फलन चर-घातांकीय रूप में हो तब ऐसे फलन का अवकलन ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम फलन का लघुगुणक लेते हैं तथा इससे प्राप्त परिणाम का अवकलन करते हैं।इसको लघुगुणकीय अवकलन कहते हैं।यदि फलन,गुणनखण्डों का गुणन हो तब भी यह विधि उपयोगी सिद्ध होती है।
लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) की विधि-
माना कि y=u^{v} , जहां u तथा v,x के फलन हैं।
दोनों तरफ़ लघुगुणक लेने पर-

\log _{e} y=\log _{e} u^{v} \\ \Rightarrow \log _{e} y=v \log _{e} u
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=v \cdot \frac{1}{u}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\log _{e} u \frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left\{\frac{v}{u} \frac{d u}{d x}+\log _{e} u \frac{d v}{d x}\right\} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=u^{v}\left\{\frac{v}{u} \frac{d u}{d x}+\log _{e} u \frac{d v}{d x}\right\}
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2.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज के उदाहरण (Derivative of Logarithmic Functions Examples),लघुगणकीय अवकलन समस्याएं और हल (Logarithmic Differentiation Problems and Solutions),लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12)-

निम्नलिखित फलनों से ज्ञात कीजिए:
Example-1.2 x+3 y=\sin y
Solution–2 x+3 y=\sin y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

2+3 \frac{d y}{d x}=\cos y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow 3 \frac{d y}{d x}=\cos y \frac{d y}{d x}=-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(3-\cos y)=-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{3-\cos y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\cos y-3}
Example-2.x^{2}+x y+y^{2}=200
Solution–x^{2}+x y+y^{2}=200
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 2 x+y+x \frac{d y}{d x}+2 y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x+2 y)=-(2 x+y) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(2 x+y)}{x+2 y}
Example-3.\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
Solution–\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}+\frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}
Example-4.\tan (x+y)+\tan (x-y)=4
Solution–\tan (x+y)+\tan (x-y)=4
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\sec ^{2}(x+y)\left[1+\frac{d y}{d x}\right]+\sec ^{2}(x-y) \frac{d}{d x}(x-y)=0 \\ \Rightarrow \sec ^{2}(x+y)\left(1+ \frac{d y}{d x}\right)+\sec ^{2}(x-y)\left[1-\frac{d y}{d x}\right]=0 \\ \Rightarrow \sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x+y) \frac{d y}{d x}+\sec ^{2}(x-y)-\sec ^{2}(x-y) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left[\sec ^{2}(x+y)-\sec ^{2}(x-y)\right]=-\left[\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left[\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)\right]}{\sec ^{2}(x+y)-\sec ^{2}(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)}{\sec ^{2}(x-y)-\sec ^{2}(x+y)}
Example-5.\sin x +2 \cos ^{2} y+x y=0
Solution–\sin x+2 \cos ^{2} y+x y=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \cos x+4 \cos y \frac{d}{dx}(\cos y)+y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \cos x+4 \cos y(-\sin y) \frac{dy }{d x}+y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x-4 \cos y \sin y)=-(y+\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(y+\cos x)}{x-4 \cos y \sin y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(y+\cos x)}{x-2 \sin 2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y+\cos x}{2 \sin 2 y-x}
Example-6.x \sqrt{y}+y \sqrt{x}=1
Solution–x \sqrt{y}+y \sqrt{x}=1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \sqrt{y}+x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(\frac{d y}{dx}\right)+\sqrt{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)+y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{x}{2 \sqrt{y}}+\sqrt{x}\right)=-\left(\sqrt{y}+\frac{y}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) \sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}+1\right)=-\sqrt{y}\left(1 +\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)(\sqrt{x})\left(\frac{5 x+2 \sqrt{y}}{2 \sqrt{y}} \right)=-\sqrt{y}\left(\frac{2 \sqrt{x}+ \sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}\left(\frac{\sqrt{y}+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}\right)

Derivative of Logarithmic Functions

Example-7.\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x y
Solution–\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x y
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\log (x y) \\ \Rightarrow 2 \log \left(x^{2}+y^{2}\right)=\log x+\log y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \cdot\left(2 x+2 y \frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{4 x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4 y}{x^{2}+y^{2}}\left(\frac{d y}{dx}\right)-\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{4 y}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x}-\frac{4 x}{x^{2}+y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{4 y^{2}-x^{2}-y^{2}}{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) =\frac{x^{2}+ y^{2}-4 x^{2}}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y\left(x^{2}+ y^{2}\right)} \right)=\frac{y^{2}-3 x^{2}}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y\left(y^{2}-3 x^{2}\right)}{x\left(3 y^{2}-x^{2}\right)}
Example-8.y=x^{y}
Solution–y=x^{y}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y=\log x^{y} \\ \Rightarrow \log y=y \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\log x \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{y} d y-\log x \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}-\log x\right) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \quad\left(\frac{1-y \log x}{y}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(1-y \log x)}
Example-9.x^{a} \cdot y^{b}=(x-y)^{a+b}
Solution–x^{a} \cdot y^{b}=(x-y)^{a+b}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log \left(x^{a} \cdot y^{b}\right)=\log (x-y)^{a+b} \\ \Rightarrow \log x^{a}+\log y^{b}=(a+b) \log (x-y) \\ \Rightarrow a \log x+b \log y=(a+b) \log (x-y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=(a+b) \cdot \frac{1}{(x-y)}\left[1-\frac{d y}{d x}\right] \\ \Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\left(\frac{d y}{dx}\right)=\frac{a+b}{x-y}-\left(\frac{a+b}{x-y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow \frac{b}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{a+b}{x-y}\right) \frac{d y}{x}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left[\frac{b}{y}+\frac{a+b}{x-y}\right]=\frac{a x+b x-a x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)\left[\frac{b x-b y+a y+b y}{y(x-y)}\right]=\frac{b x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)\left[\frac{b x+a y}{y(x-y)}\right]=\frac{b x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{y}{x}
Example-10.e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
Solution–e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d y}{d x}=e^{x}+e^{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+e^{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) +e^{x^{4}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{4}\right)+e^{x^{5}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{5}\right)\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =e^{x}+e^{x^{2}} \cdot 2 x+e^{x^{3}} 3x^{2}+e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}+e^{x^{5}} \cdot 5 x^{4} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =e^{x}+2 x e^{x^{2}}+3 x^{2} e^{x^{3}}+4 x^{3} e^{x^{4}}+5 x^{4} e^{x^{5}}
Example-11.\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
Solution–y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y=\log \left(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\right) \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log \left(e^{\sqrt{x}} \right) \\ \Rightarrow \log y=\frac{\sqrt{x}}{2} \log _{e} e \\ \Rightarrow \log y=\frac{\sqrt{x}}{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{4 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4 \sqrt{x}}
Example-12.\frac{\cos x}{\log x}, x>0
Solution–y=\frac{\cos x}{\log x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{\log x \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(\log x)}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \frac{(\log x)(-\sin x)-\cos x \cdot \frac{1}{2 x}}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{(x \sin x \log x+\cos x)}{x(\log x)^{2}}
Example-13.y={{{\sqrt{x}^{\sqrt{x}}}^{\sqrt{x} \cdots}}^{\infty}}
Solution–y={{{\sqrt{x}^{\sqrt{x}}}^{\sqrt{x} \cdots}}^{\infty}} \\ \Rightarrow y=\sqrt{x^{y}} \\ \Rightarrow y=x^{\frac{y}{2}}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y= \frac{y}{2} \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

 \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{y}{2 x}+\log x \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{2} \frac{d y}{d x} \log x=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{2} \log x\right)=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{2-y \log x}{2 y}\right)=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(2-y \log x)}
Example-14.y \sqrt{1-x^{2}}=\sin ^{-1} x
Solution–y \sqrt{1-x^{2}}=\sin ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}(-2 x)+\sqrt{1-x^{2}} \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{x y}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{x y}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1+x y}{1-x^{2}}
Example-15.y \sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}
Solution–y \sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log [y \sqrt{1+x}]=\log \sqrt{1-x} \\ \Rightarrow \log y+\log \sqrt{1+x}=\frac{1}{2} \log (1-x) \\ \Rightarrow \log y+\frac{1}{2} \log (1+x)=\frac{1}{2} \log (1-x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{dx}\right)+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2(1-x)}(-1) \\ \Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{1}{2(1-x)}-\frac{1}{2(1+x)} \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{[1+x+1-x]}{2\left(1-x^{2}\right)} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{2 y}{2\left(1-x^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को समझ सकते हैं।

3.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज की समस्याएं (Derivative of Logarithmic Functions Problems)-

निम्न फलनों के x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:

Derivative of Logarithmic Functions

(1)\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x \\ (2)(\log x)^{\cos x} \\ (3)\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}} \\ (4)x^{y}=y^{x} \\ (5)y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}} \\ (6) (\cos x)^{y}=(\sin y)^{x}
उत्तर (Answers):

(1) -\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x(\tan x+2 \tan 2 x+3 \tan 3 x) \\ (2)(\log x)^{\cos x}\left[\frac{\cos x}{x \log x}-\sin x \log (\log x)\right] \\ (3) \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\left[\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-2)}-\frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-4)}-\frac{1}{(x-5)}\right] \\ (4) \frac{y(x \log y-y)}{x(y \log x-x)} \\ (5) \frac{1}{2 y-1} \\ (6) \frac{\log (\sin y)+y \tan x}{\log (\cos x)-x \cot y}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Derivative of Logarithmic Functions

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को भली-भांति समझ सकते हैं।